Ретракт

В математиці, а саме в топології ретрактом називають підпростір топологічного простору для якого існує ретракція — неперервне відображення з більшого простору в підпростір, що є тотожним відображенням на підпросторах. Ретракти і їх особливі види, як наприклад деформаційні ретракти і абсолютні ретракти мають важливе застосування в багатьох розділах топології, зокрема теорії гомотопій і теорії гомологій.

Означення

Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір і ${\displaystyle A}$ — його підпростір. Неперервне відображення

${\displaystyle r\colon X\to A}$

називається ретракцією якщо звуження функції r на множину ${\displaystyle A}$ є тотожним відображенням на ${\displaystyle A}$, тобто ${\displaystyle r(a)=a,\;\forall a\in A}$. Еквівалентно, позначивши

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

вкладення ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle X}$, ретракцією r є відображення для якого

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A}.}$

Ретрактом топологічного простору ${\displaystyle X}$ називається підпростір ${\displaystyle A}$ цього простору, для якого існує ретракція ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle A}$.

Пов'язані означення

• Підпростір ${\displaystyle A}$ простору ${\displaystyle X}$ називається околичним ретрактом цього простору, якщо в ${\displaystyle X}$ існує відкритий підпростір, що містить ${\displaystyle A}$, і для якого ${\displaystyle A}$ є ретрактом.
• Якщо ретракція простору ${\displaystyle X}$ на його підпростір ${\displaystyle A}$ гомотопна тотожному відображенню простору ${\displaystyle X}$ на себе, то ${\displaystyle A}$ називається деформаційним ретрактом простору ${\displaystyle X}$. Згідно означень в цьому випадку існує неперервне відображення ${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\to X\,}$ що задовольняє умови ${\displaystyle F(x,0)=x,\;F(x,1)\in A,\;F(a,1)=a,\quad \forall x\in X,a\in A.}$ Якщо додатково виконується умова ${\displaystyle F(a,t)=a,\quad \forall t\in [0,1],a\in A,}$ то ${\displaystyle A}$ називається сильним деформаційним ретрактом простору ${\displaystyle X}$
• Метризовний простір ${\displaystyle X}$ називається абсолютним ретрактом (абсолютним околичним ретрактом), якщо він є ретрактом (відповідно околичним ретрактом) будь-якого метризовного простору, для якого ${\displaystyle X}$ є замкнутим підпростором.

Властивості

• Якщо простір ${\displaystyle X}$ є гаусдорфовим, то будь-який ретракт простору ${\displaystyle X}$ є замкнутим в ${\displaystyle X}$.
• При переході від простору до його ретрактів зберігаються багато важливих властивостей. Зокрема, будь-яка властивість, яка зберігається при переході до неперервного образу, так само як і будь-яка властивість, що успадковується замкнутими підпросторами, зберігається і при переході до ретрактів. Тому компактність, зв'язність, лінійна зв'язність, сепарабельність, обмеження зверху на розмірність, паракомпактність, нормальність, локальна компактність , зберігаються при переході до ретрактів.
• Якщо простір ${\displaystyle X}$ має властивість нерухомої точки, тобто для кожного неперервного відображення існує точка така, що ${\displaystyle f(x)=x}$, то і кожен ретракт простору ${\displaystyle X}$ має властивість нерухомої точки.
• Поняття ретракту має пряме відношення до питання про можливість продовження неперервних відображень. Так, підпростір ${\displaystyle A}$ простору ${\displaystyle X}$ є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке неперервне відображення простору ${\displaystyle A}$ в довільний топологічний простір ${\displaystyle Y}$ можна продовжити до неперервного відображення всього простору ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Властивості деформаційних ретрактів

• Деформаційний ретракт простору гомотопічно еквівалентний цьому простору, тобто має з ним один і той же гомотопічний тип.
• Навпаки, два гомотопічно еквівалентних простори завжди можна вкласти в деякий третій простір таким чином, що обидва вони будуть його деформаційними ретрактами.

Властивості абсолютних ретрактів

• Для того щоб метризовний простір простір ${\displaystyle X}$ був абсолютним ретрактом, необхідно, щоб він був ретрактом деякого опуклого підпростору лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб ${\displaystyle X}$ був ретрактом опуклого підпростору локально опуклого лінійного простору.
• Довільний ретракт абсолютного ретракта знову є абсолютним ретрактом.
• Кожен абсолютний ретракт є стягуваним по собі і локально стягуваним.
• Всі редуковані гомологічні, редуковані когомологічіні, гомотопічні і когомотопічні групи абсолютного ретракта є тривіальними.
• Метризовний простір ${\displaystyle Y}$ є абсолютним ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо, які б не були метризовний простір ${\displaystyle X}$, його замкнутий підпростір ${\displaystyle A}$ і неперервне відображення простору ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle Y}$, його можна продовжити до неперервного відображення всього простору ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.
• Метризовний простір є абсолютним ретрактом тоді і тільки тоді коли він є стягуваним і абсолютним околичним ретрактом.
• Абсолютні околичні ретракти є ретрактами відкритих підмножин опуклих підпросторів лінійних нормованих просторів. До їх числа відносяться всі компактні поліедри. Істотною їх властивістю є локальна стягуваність.
• Будь-яка відкрита підмножина абсолютного околичного ретракта є абсолютним околичним ретрактом. Якщо для метризовного простору існує покриття абсолютними околичними ретрактами то і сам простір є абсолютним околичним ретрактом.
• Довільний абсолютний околичний ретракт має тип гомотопії деякого CW-комплекса. Якщо до того ж простір є компактним то він має тип гомотопії скінченного CW-комплекса, а у випадку локальної компактності він має тип гомотопії локально скінченного CW-комплекса. Метризовний прості є абсолютним околичним ретрактом тоді і тільки тоді коли кожна його відкрита підмножина має тип гомотопії деякого CW-комплекса.

Приклади

• Ретракт простору може бути набагато простішим його самого і більш зручним для конкретного дослідження. Так, одноточкова множина є ретрактом відрізка, прямої, площини.
• Будь-яка непорожня замкнута підмножина досконалої множини Кантора є її ретрактом.
• n-вимірна сфера Sⁿ не є ретрактом (n+1)-вимірної кулі Bⁿ⁺¹евклідового простору, де ${\displaystyle n=0,1,...,}$ так як замкнута куля має властивість нерухомої точки (теорема Брауера), а сфера цієї властивості не має.
• Деяка (насправді довільна) точка простору ${\displaystyle X}$ є деформаційним ретрактом тоді і тільки тоді коли простір ${\displaystyle X}$ є стягуваним.
• n-вимірна сфера Sⁿ є сильним деформаційним ретрактом простору Rⁿ⁺¹\{0}; за гомотопне відображення можна взяти відображення

${\displaystyle F(x,t)=\left((1-t)+{t \over \|x\|}\right)x.}$

• Всі опуклі підпростори локально опуклих лінійних просторів є абсолютними ретрактами; зокрема, такі як точка, відрізок, куля, пряма. Будь-який нормований простір є абсолютним ретрактом.
• Будь-який топологічний многовид є абсолютним околичним ретрактом.
• Будь-який локально скінченний CW-комплекс є абсолютним околичним ретрактом.

Література

• Борсук, Кароль (1971), Теория ретрактов, Москва: Мир
• Hu, Sze-Tsen (1965), Theory of Retracts, Wayne State University Press, MR 0181977