Станда́ртне відхи́лення (англ. standard deviation) або середнє квадратичне відхилення — у теорії ймовірностей і статистиці один із найпоширеніших показників розсіювання (розкиду) значень випадкової величини відносно її математичного сподівання, тобто центру розподілу. Має ту ж розмірність, що і випадкова величина. У літературі для позначення стандартного відхилення використовується літера грецької абетки сигма σ.
За визначенням середнє квадратичне відхилення є додатнім квадратним коренем із дисперсії. Як і дисперсія характеризує розсіяння значень навколо центру розподілу: більшому значенню стандартного відхилення відповідає більший їх розкид. Практична перевага стандартного відхилення як міри розсіяння в порівнянні з дисперсією полягає в тому, що його розмірність збігається з розмірністю випадкової величини, в той час як розмірність дисперсії — квадрат розмірності випадкової величини.
Іноді середнє квадратичне відхилення називають «стандартною похибкою» або «стандартною помилкою». Ці назви вживати не рекомендується, оскільки це може призвести до плутанини і неправильного тлумачення результатів того чи іншого дослідження.
Слід зауважити, що стандартне відхилення випадкової величини не є випадковою величиною.
Історія
Термін стандартне відхилення вперше у монографіях використав Карл Пірсон в 1894 році, перед тим почав використовувати його при читанні лекцій. Цим він замінив альтернативні назви подібного поняття, що існували раніше: наприклад, Гаусс використовував термін середня похибка.
Визначення
Нехай — випадкова величина з математичним сподіванням μ:
- ,
де — оператор математичного сподівання.
Тоді
- ,
- де — дисперсія випадкової величини .
Отже, стандартне відхилення — це додатній квадратний корінь із дисперсії, тобто додатній квадратний корінь із математичного сподівання квадрату відхилення випадкової величини від її математичного сподівання.
Стандартне відхилення існує не для будь-якої випадкової величини. Як видно, умовою існування стандартного відхилення випадкової величини є існування її математичного сподівання. Прикладом розподілу, для якого не існує математичне сподівання, а отже не існує і стандартне відхилення, є розподіл Коші.
Неперервна випадкова величина
Для випадку неперервної випадкової величини з функцією густини ймовірностей формула для стандартного відхилення набуває вигляду
де — математичне сподівання, а інтеграли є невласними з границями інтегрування від до .
Приклад.
Для неперервної випадкової величини , яка рівномірно розподілена в діапазоні від -1 до + 1, стандартне відхилення
.
Тут було враховано, що в даному випадку , за межами відрізка та дорівнює 1/2 в межах цього відрізка.
Дискретна випадкова величина
Нехай — дискретна випадкова величина, для якої ймовірність події становить . Тоді вираз для стандартного відхилення набуває вигляду:
,
де — математичне сподівання.
Приклад.
Під час кидання грального кубика для гри в кості, якщо кубик симетричний, з однаковою ймовірністю 1/6 може випасти будь-яке число від 1 до 6. Фактично, число , що випадає під час кидання кубика, — дискретна рівномірно розподілена випадкова величина, яка може приймати цілі значення в діапазоні від 1 до 6. З урахуванням, що математичне сподівання , стандартне відхилення цієї величини .
Використання
Стандартне відхилення використовують під час розрахунку середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного, для побудови довірчих інтервалів, статистичної перевірки гіпотез, виміру лінійного взаємозв'язку між випадковими величинами.
Оцінювання
Стандартне відхилення усієї сукупності може застосовуватися у випадках, де відібрано кожного представника сукупності (стандартизоване тестування). У випадках коли це не можливо, стандартне відхилення σ оцінюють на основі випадкової вибірки із сукупності і розраховують статистику для вибірки, яка використовуються для оцінки стандартного відхилення сукупності. Це називається статистичною оцінкою, а оцінене значення називається стандартним відхиленням вибірки, що позначається як s (іноді зі позначеннями). Однак, на відміну від випадку із оцінкою математичного сподівання для сукупності, де оцінкою для вибірки є вибіркове середнє, яке є простою оцінкою із багатьма властивостями для різних задач (незміщена, ефективна, максимальної правдоподібності), але не існує єдиної оцінки з усіма цими властивостями для стандартного відхилення, а незміщена оцінка для стандартного відхилення пов'язана із технічними складностями. Найчастіше, стандартне відхилення оцінюється за допомогою корегованого вибіркового стандартного відхилення (із використанням корекції N − 1), визначеного нижче. Однак інші оцінки можуть бути кращими за інших умов: некорегована оцінка (з використанням N) призводить до менших значень середньоквадратичної похибки, а використання N − 1.5 (для нормального розподілу) майже повністю усуває зміщення.
Некореговане стандартне відхилення для вибірки
Формулу для стандартного відхилення сукупності (для скінченної сукупності) можливо застосувати до вибірки, використавши як розмір вибірки розмір даної вибірки (хоча фактичний розмір сукупності для якої було отримано вибірки є набагато більшим). Ця оцінка, позначається як sN, і відома як некореговане вибіркове стандартне відхилення, або іноді стандартне відхилення вибірки (що представляє і розглядається як ціла сукупність), і визначається так:
де значення спостережень даної вибірки а середнє значення цих спостережень, а в знаменнику N означає об'єм вибірки. Середньоквадратичне відхилення — дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини для вибірки, що в свою чергу є середнім значенням для квадратичних відхилень від вибіркового середнього.
Це конзистентна оцінка (вона збігається за імовірністю до значення, що відповідає сукупності із збільшенням об'єму вибірки до нескінченності), і ця оцінка є оцінкою максимальної правдоподібності якщо сукупність має нормальний розподіл. Однак, вона є зміщеною оцінкою, оскільки оцінені значення як правило значно занижені. Зміщення зменшується із збільшенням об'єму вибірки, зменшуючись у порядку пропорційному до 1/N, і таким чином зміщення є найбільш відчутним для малих і середніх вибірок; для зміщення буде меншим за 1 %. Таким чином, для дуже великих вибірок, це некореговане вибіркове стандартне відхилення є в загальному випадку прийнятним. Ця оцінка має також рівномірно меншу середньоквадратичну похибку ніж кореговане стандартне відхилення вибірки.
Кореговане стандартне відхилення для вибірки
При невеликій вибірці () вводиться поправка Бесселя:
де:
— стандартне відхилення, незміщена оцінка средньоквадратичного відхилення випадкової величини відносно її математичного сподівання;
— дисперсія;
— -й елемент вибірки;
— середнє арифметичне вибірки:
— обсяг (розмір) вибірки.
Слід звернути увагу на відмінність стандартного відхилення (у знаменнику ) від кореня з дисперсії (у знаменнику ). Для малих обсягів вибірки оцінка дисперсії є дещо зміщеною на величину , для нескінченно великого обсягу вибірки різниця між вказаними величинами зникає.
Вибірка — лише частина генеральної сукупності. Генеральна сукупність — абсолютно всі можливі результати. Отримати результат, що не входить в генеральну сукупність — неможливо. Для випадку з киданням монети генеральною сукупністю є: цифра, ребро, орел. А ось пара орел-цифра — вже лише вибірка. Для генеральної сукупності математичне очікування збігається зі справжнім значенням оцінюваного параметра. А для вибірки — необов'язково. Математичне очікування вибірки має зміщення щодо дійсного значення параметра. Через це середньоквадратична помилка більша ніж дисперсія, оскільки дисперсія — математичне очікування квадрата відхилення від середнього значення, а середньоквадратичне відхилення — математичне очікування відхилення від справжнього значення. Різниця в тому, від чого шукаємо відхилення: коли дисперсія, то від середнього (і не важливо достеменне це середнє чи помилкове), а коли середньоквадратичне відхилення, то це відхилення від справжнього середнього значення.
Незміщене вибіркове стандартне відхилення
На відміну від середнього і дисперсії, не існує формули незміщеної оцінки стандартного відхилення, яка б виконувалася для всіх розподілів. Замість неї, використовують s як базис, який масштабують за допомогою коефіцієнту поправки з метою утворити незміщену оцінку. Для нормального розподілу, незміщена оцінка задається як s/c4, де коефіцієнт поправки (який залежить від N) визначено за допомогою Гамма-функції, і дорівнює:
Це отримане із того, що вибірковий розподіл для стандартного відхилення вибірки відповідає (масштабованому) Хі розподілу, а коефіцієнт поправки є середнім даного хі розподілу.
Наближення можна виконати замінивши N − 1 на N − 1.5, в результаті буде отримано:
Похибка цього наближення зменшується квадратично (із 1/N2), і підходить для всіх вибірок, крім найменших або при необхідності мати найвищу точність: для N = 3 зміщення дорівнює 1.3 %, а для N = 9 зміщення уже буде меншим за 0.1 %.
Для інших розподілів, правильна формула буде залежати від розподілу, але основним правилом є використовувати таку поправку для наближення:
де γ2 означає поправку ексцесу для популяції. Цей параметр може бути або відомим заздалегідь для певного розподілу, або оціненим із даних.
Довірчий інтервал стандартного відхилення вибірки
Стандартне відхилення (СВ), яке ми отримуємо за допомогою вибірки розподілу, саме по собі не є абсолютно точним з двох причин: математичної (описаній тут за допомогою довірчого інтервалу) і з практичної причини вимірювання (похибки вимірювання). Математичний вплив описують за допомогою довірчого інтервалу або ДІ. Аби показати, як збільшення вибірки призведе до звуження довірчого інтервалу, наведемо такі приклади: Невелика сукупність розміром N = 2 має лише один ступінь свободи для оцінки стандартного відхилення. В результаті 95 % довірчого інтервалу для стандартного відхилення знаходиться в межах від 0.45 × СВ до 31.9 × СВ; і виглядає так:
де є p-им квантилем розподілу хі-квадрат із k ступенями свободи, а є рівнем довіри. Це є еквівалентно наступному виразу:
Із k = 1, і . Обернене значення квадратних коренів цих двох чисел дають нам множники 0.45 і 31.9 вказані вище.
Більша сукупність при N = 10 має 9 ступенів свободи при визначенні стандартного відхилення. Такий самий розрахунок, як наведено вище дозволяє отримати, що в цьому випадку 95 % ДІ знаходиться в межах від 0.69*СВ до 1.83*СВ. Тому навіть при сукупності вибірки розміром в 10, фактичне СВ може залишатися майже вдвічі більшим ніж отримане вибіркове СВ. Для сукупності вибірки N=100, це зменшується до 0.88*СВ до 1.16*СВ. Аби бути впевненим, що вибіркове стандартне відхилення близьке до фактичного необхідно мати вибірку із великою кількістю точок.
Ці ж формули можна застосувати для отримання довірчих інтервалів для дисперсії залишків для методу найменших квадратів, де k тепер буде задавати кількість ступенів свободи для похибки.
Суть стандартного відхилення (приклади)
Розглянемо наступний приклад, де є дві вибірки даних:
- 1, 2, 3, 4, 5
- -235, -103, 3, 100, 250
З сукупностей очевидно, що вони різні. Якщо порахувати середнє арифметичне, то отримаємо в обох випадках 3. Проте, в другій вибірці дані більше розсіяні довкола центру, а в першому випадку більше сконцентровані в центрі. Тому кажуть, що в другої вибірки велике стандартне відхилення, а в першої незначне. Якщо обчислити дані відхилення, то отримаємо σ1=1,6, а σ2=186. Різниця суттєва.
Здебільшого вибірки не відрізняються настільки, як у попередньому випадку. Наприклад, при проведенні ряду вимірювань отримали дві вибірки:
- x1: 10, 15, 20, 25, 30, 40, 45, 50
- x2: 10, 28, 28, 30, 30, 32, 32, 50
В обох випадках середні значення рівні 30, крім того у них однакові границі. Проте σ1=13,7, а σ2=10,1. Тобто, видно, що при однакових границях і ширині варіації дисперсія і стандартне відхилення виявляються неоднакові: на величини цих показників вплинув різний характер варіювання ознак об'єкта (іншими словами мінливість даних в вибірці).
Стандартне відхилення в ряді випадків виявляється кращим для використання ніж дисперсія, з тієї причини, що воно виражається в тих самих одиницях, що й середня арифметична величина.
Порівняння особливостей розподілу варіант у різних вибірках лише за показниками нормованого відхилення (σ) недостатньо, а іноді неможливе (коли необхідно порівнювати варіаційні ряди, де ознаки вимірювалися в різних одиницях вимірювання, наприклад, одна вибірка — маса людини в кілограмах, а інша — зріст людини в сантиметрах). Для таких порівнянь застосовується відносний показник, який позначається символом t і зветься .
Правило 3-х сигм
Правило 3-х сигм () — практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі . Точніше — не менш, ніж із 99,7 % достовірністю, значення нормально розподіленої випадкової величини лежить у вказаному інтервалі (за умови що величина достеменно відома, а не отримана в результаті обробки вибірки). Якщо істинне значення величини невідоме, то слід користуватися не , а . Таким чином правило 3-х сигм перетвориться в правило трьох .
Інтерпретація і застосування
Великі значення стандартного відхилення означають, що точки можуть бути розподілені далеко від середнього, а малі значення стандартного відхилення означають, що точки зосереджені близько до середнього значення вибірки.
Наприклад, кожна із наступних трьох сукупностей {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} і {6, 6, 8, 8} має середнє значення 7. Їх стандартні відхилення дорівнюють 7, 5, і 1, відповідно. Третя сукупність має набагато менше стандартне відхилення ніж інші дві, оскільки всі її значення знаходяться близько до значення 7. Воно матиме ті самі одиниці вимірювання, що і самі дані вибірки. Якщо, наприклад, вибірка даних {0, 6, 8, 14} представляє вік чотирьох дітей в роках, стандартне відхилення дорівнюватиме 5 рокам. Інший приклад, сукупність {1000, 1006, 1008, 1014} може означати відстань, яку здолали чотири атлети в метрах. Вона має середнє значення в 1007 метрів, і стандартне відхилення в 5 метрів.
Стандартне відхилення може слугувати мірою невизначеності. Наприклад у фізиці, отримане стандартне відхилення серії повторюваних вимірювань визначає точність цих вимірювань. Якщо потрібно вирішити, чи відповідають вимірювання теоретичному передбаченню, стандартне відхилення цих вимірювань має не аби яку важливість: якщо середнє значення вимірювань знаходиться занадто далеко від передбачуваного (де відстань вимірюється як стандартне відхилення), тоді, ймовірно, необхідно переглянути теорію, що перевіряється. Це пояснюється тим, що вони виходять за межі значень, які логічно повинні були очікуватися, якби припущення було вірним і стандартне відхилення визначалося б належним чином.
Хоча стандартне відхилення означає наскільки далеко від середнього можуть бути розподілені дані вимірювань, існують також і інші міри. Наприклад, існує також середнє абсолютне відхилення, яке можна розглядати як більш пряму міру середньої відстані, якщо порівнювати із стандартним відхиленням.
Приклад застосування
Практичне використання стандартного відхилення для вибірки даних полягає в оцінці величини того, на скільки вони відхиляються від середнього значення.
Експеримент і перевірка гіпотез
Стандартне відхилення часто використовується для порівняння реальних даних вимірювання із моделлю, з метою її перевірки. Наприклад, в задачах виробництва вага виробів, що виходять із виробничої лінії повинна відповідати встановленому значенню. Зваживши деяку частку виробів можна знайти значення середньої ваги, яка завжди дещо відрізнятиметься від середнього на великій вибірці. Розрахувавши стандартне відхилення, можна отримати мінімальне і максимальне значення в якому середня вага знаходиться із дуже високою ймовірністю (99.9 % або більше). Якщо вона випадає за рамки цих значень, тоді процес виробництва необхідно відлагодити. Статистичні тести подібні до цього є важливими, коли тестування є відносно дорогим. Наприклад, якщо продукт необхідно відкрити, засушити і зважити, або якщо в рамках тесту його необхідно використовувати якимось чином.
В експериментальній науці, застосовують теоретичну модель реальності. У фізиці елементарних часток традиційно використовують стандартне відхилення в «5 сигм» для перевірки відкриття. Це означає, що може існувати один шанс на 3.5 мільйонів що випадкова флуктуація буде відхилятися від результату. Цей рівень правдоподібності необхідно було підтвердити аби мати змогу стверджувати, що частка яка відповідає Бозону Хіггса була відкрита у двох незалежних експериментах в CERN,, а також це було мірою впевненості для оголошення про перше виявлення гравітаційних хвиль.
Погода
В якості простого прикладу можна розглянути середньодобові максимуми температури двох міст, одне з яких знаходиться в прибережній зоні, а друге в глибині суші. Це корисно для розуміння, що діапазон щоденних максимумів температури у містах біля берега є меншим ніж у містах в середині суші. Таким чином, хоч ці два міста можуть мати однакову середню максимальну температуру, стандартне відхилення щоденного максимуму температури для прибережного міста буде меншим ніж у міста в глибині суші, в будь-який обраний день, фактична максимальна температура скоріше за все буде більш відмінною від середньої максимальної температури у місті в глибині суші, на відміну від прибережної зони.
Геометрична інтерпретація
Аби скласти геометричне уявлення та роз'яснення, розглянемо сукупність із трьох значень, x1, x2, x3. Вони визначають точку P = (x1, x2, x3) в просторі R3. Розглянемо пряму L = {(r, r, r) : r ∈ R}. Це «головна діагональ» що проходить через початок координат. Якщо всі три наші значення є рівними, тоді стандартне відхилення дорівнюватиме нулю і P лежатиме на прямій L. Таким чином можна висунути припущення, що стандартне відхилення пов'язане із відстанню точки P до L. Це дійсно так. Аби виміряти відстань від L ортогонально до точки P, почнемо з точки:
її координати є середніми значеннями, з яких ми почнемо.
Виведення що |
---|
знаходиться на тому із Пряма буде ортогональною вектору від точки до . Таким чином:
|
Розрахунки показують, що відстань між P і M (що є ортогональною відстанню від P до прямої L) дорівнює стандартному відхиленню вектору x1, x2, x3, помноженому на квадратний корінь від кількості вимірів вектора (в даному випадку це 3.)
Нерівність Чебишова
Спостереження рідко відхиляється від середнього значення більше ніж на декілька стандартних відхилень. Нерівність Чебишова доводить що, для всіх розподілів, для яких визначено стандартне відхилення, кількість спостережень, що знаходяться в діапазоні, яке відповідає числу стандартних відхилень від середнього значення, буде становити щонайменше таку кількість в процентах, яку вказано в такій таблиці.
Відстань від середнього | Мінімальна кількість від сукупності |
---|---|
50 % | |
2σ | 75 % |
3σ | 89 % |
4σ | 94 % |
5σ | 96 % |
6σ | 97 % |
Правила, що стосуються нормально розподілених величин
Центральна гранична теорема доводить, що розподіл середнього для багатьох незалежних, однаково розподілених нормальних величин прямує до нормального розподілу із густиною імовірностей, що визначається як
де μ — математичне сподівання випадкових величин, σ дорівнює стандартному відхиленню їх розподілів, розділеному на n1/2, а n — кількість випадкових величин. Таким чином, стандартне відхилення є лише змінною масштабування, яка вказує наскільки широко розтягнутою буде крива розподілу, хоча воно також з'являється і в [en].
Якщо розподіл даних є наближеним до нормального, тоді частка даних, які потраплять в діапазон шириною в z стандартних відхилень від середнього задається так:
де — функція помилок. Частка даних, які будуть менше або дорівнюватимуть довільному значенню x, задаються за допомогою кумулятивної функції розподілу імовірностей:
- .
Якщо розподіл даних наближений до нормального, тоді кількість даних, що знаходяться в діапазоні одного стандартного відхилення від середнього значення складатиме 68 процентів від усіх даних (математично цей інтервал описується як μ ± σ, де μ це арифметичне середнє), близько 95 процентів знаходяться в межах двох стандартних відхилень (μ ± 2σ), і близько 99.7 процентів знаходяться в межах трьох стандартних відхилень (μ ± 3σ). Це відомо як правило 68–95–99.7, або емпіричне правило.
Для різних значень z, проценти значень які знаходяться в межах і за межами симетричного інтервалу, CI = (−zσ, zσ), є такими:
Довірчий інтервал | Частка значень у межах | Частка значень поза межами | |
---|---|---|---|
Процент | Процент | Частка | |
0.318 639σ | 25 % | 75 % | 3 / 4 |
0.674490σ | 50% | 50% | 1 / 2 |
0.994458σ | 68 % | 32 % | 1 / 3.125 |
1σ | 68.2689492% | 31.7310508% | 1 / 3.1514872 |
1.281552σ | 80 % | 20 % | 1 / 5 |
1.644854σ | 90 % | 10 % | 1 / 10 |
1.959964σ | 95 % | 5 % | 1 / 20 |
2σ | 95.4499736% | 4.5500264% | 1 / 21.977895 |
2.575829σ | 99 % | 1 % | 1 / 100 |
3σ | 99.7300204% | 0.2699796% | 1 / 370.398 |
3.290527σ | 99.9 % | 0.1 % | 1 / 1000 |
3.890592σ | 99.99 % | 0.01 % | 1 / 10000 |
4σ | 99.993666% | 0.006334% | 1 / 15787 |
4.417173σ | 99.999 % | 0.001 % | 1 / 100000 |
4.5σ | 99.9993204653751% | 0.0006795346249% | 3.4 / 1000000 (з кожного боку від середнього значення) |
4.891638σ | 99.9999% | 0.0001% | 1 / 1000000 |
5σ | 99.9999426697% | 0.0000573303% | 1 / 1744278 |
5.326724σ | 99.99999% | 0.00001% | 1 / 10000000 |
5.730729σ | 99.999999% | 0.000001% | 1 / 100000000 |
6σ | 99.9999998027% | 0.0000001973% | 1 / 506797346 |
6.109410σ | 99.9999999% | 0.0000001% | 1 / 1000000000 |
6.466951σ | 99.99999999% | 0.00000001% | 1 / 10000000000 |
6.806502σ | 99.999999999% | 0.000000001% | 1 / 100000000000 |
7σ | 99.9999999997440% | 0.000000000256% | 1 / 390682215445 |
Див. також
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Посилання
- Dodge, Yadolah (2003). The Oxford Dictionary of Statistical Terms. Oxford University Press. ISBN .
- Pearson, Karl (1894). On the dissection of asymmetrical frequency curves. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 185: 71—110. Bibcode:1894RSPTA.185...71P. doi:10.1098/rsta.1894.0003.
- Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.
- Стандартное отклонение
- Лакин Г. Ф. Биометрия: Учеб. пособие для биол. спец. вузов. — М: Высш. шк., 1990. — 352 с. — с. 42
- Калінін М. І., Єлісєєв В. В. Біометрія: Підручник для студентів вузів біологічних і екологічних напрямків. — Миколаїв: Вид-во МФ НаУКМА, 2000. — 204 с. — C. 50-51[недоступне посилання з липня 2019]
- CERN | Accelerating science. Public.web.cern.ch. Процитовано 10 серпня 2013.
- . Press.web.cern.ch. 4 липня 2012. Архів оригіналу за 25 березня 2016. Процитовано 30 травня 2015.
- ((LIGO Scientific Collaboration)), ((Virgo Collaboration)) (2016), Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Physical Review Letters, 116 (6): 061102, arXiv:1602.03837, Bibcode:2016PhRvL.116f1102A, doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102, PMID 26918975
- Ghahramani, Saeed (2000). Fundamentals of Probability (2nd Edition). Prentice Hall: New Jersey. p. 438.
- Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. Процитовано 30 вересня 2014.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Standa rtne vidhi lennya angl standard deviation abo serednye kvadratichne vidhilennya u teoriyi jmovirnostej i statistici odin iz najposhirenishih pokaznikiv rozsiyuvannya rozkidu znachen vipadkovoyi velichini vidnosno yiyi matematichnogo spodivannya tobto centru rozpodilu Maye tu zh rozmirnist sho i vipadkova velichina U literaturi dlya poznachennya standartnogo vidhilennya vikoristovuyetsya litera greckoyi abetki sigma s Kriva normalnogo rozpodilu dzvinopodibna kriva de kozhna vertikalna smuga maye shirinu sho dorivnyuye 1 standartnomu vidhilennyu Kumulyativna funkciya normalnogo rozpodilu iz matematichnim spodivannyam 0 i standartnim vidhilennyam 1 Za viznachennyam serednye kvadratichne vidhilennya ye dodatnim kvadratnim korenem iz dispersiyi Yak i dispersiya harakterizuye rozsiyannya znachen navkolo centru rozpodilu bilshomu znachennyu standartnogo vidhilennya vidpovidaye bilshij yih rozkid Praktichna perevaga standartnogo vidhilennya yak miri rozsiyannya v porivnyanni z dispersiyeyu polyagaye v tomu sho jogo rozmirnist zbigayetsya z rozmirnistyu vipadkovoyi velichini v toj chas yak rozmirnist dispersiyi kvadrat rozmirnosti vipadkovoyi velichini Inodi serednye kvadratichne vidhilennya nazivayut standartnoyu pohibkoyu abo standartnoyu pomilkoyu Ci nazvi vzhivati ne rekomenduyetsya oskilki ce mozhe prizvesti do plutanini i nepravilnogo tlumachennya rezultativ togo chi inshogo doslidzhennya Slid zauvazhiti sho standartne vidhilennya vipadkovoyi velichini ne ye vipadkovoyu velichinoyu IstoriyaTermin standartne vidhilennya vpershe u monografiyah vikoristav Karl Pirson v 1894 roci pered tim pochav vikoristovuvati jogo pri chitanni lekcij Cim vin zaminiv alternativni nazvi podibnogo ponyattya sho isnuvali ranishe napriklad Gauss vikoristovuvav termin serednya pohibka ViznachennyaNehaj X displaystyle X vipadkova velichina z matematichnim spodivannyam m E X m displaystyle operatorname E X mu de E displaystyle operatorname E operator matematichnogo spodivannya Todi s D E X m 2 displaystyle begin aligned sigma amp sqrt D sqrt operatorname E X mu 2 end aligned de D displaystyle D dispersiya vipadkovoyi velichini X displaystyle X Otzhe standartne vidhilennya s displaystyle sigma ce dodatnij kvadratnij korin iz dispersiyi tobto dodatnij kvadratnij korin iz matematichnogo spodivannya kvadratu vidhilennya vipadkovoyi velichini vid yiyi matematichnogo spodivannya Standartne vidhilennya isnuye ne dlya bud yakoyi vipadkovoyi velichini Yak vidno umovoyu isnuvannya standartnogo vidhilennya vipadkovoyi velichini ye isnuvannya yiyi matematichnogo spodivannya Prikladom rozpodilu dlya yakogo ne isnuye matematichne spodivannya a otzhe ne isnuye i standartne vidhilennya ye rozpodil Koshi Neperervna vipadkova velichina Dlya vipadku neperervnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X z funkciyeyu gustini jmovirnostej p x displaystyle p bigl x bigr formula dlya standartnogo vidhilennya nabuvaye viglyadu s X x m 2 p x d x displaystyle sigma sqrt int mathbf X x mu 2 p x rm d x de m X x p x d x displaystyle mu int mathbf X x p x rm d x matematichne spodivannya a integrali ye nevlasnimi z granicyami integruvannya vid displaystyle infty do displaystyle infty Priklad Dlya neperervnoyi vipadkovoyi velichini X displaystyle X yaka rivnomirno rozpodilena v diapazoni vid 1 do 1 standartne vidhilennya s X x m 2 p x d x 1 2 1 1 x 2 d x 1 3 displaystyle sigma bigl X bigr sqrt int limits infty infty x mu bigr 2 p bigl x bigr dx sqrt tfrac 1 2 int limits 1 1 x 2 dx frac 1 sqrt 3 Tut bulo vrahovano sho v danomu vipadku m 0 displaystyle mu 0 p x 0 displaystyle p bigl x bigr 0 za mezhami vidrizka 1 1 displaystyle 1 1 ta dorivnyuye 1 2 v mezhah cogo vidrizka Diskretna vipadkova velichina Nehaj X displaystyle X diskretna vipadkova velichina dlya yakoyi jmovirnist podiyi X x i displaystyle X x i stanovit p i displaystyle p i Todi viraz dlya standartnogo vidhilennya nabuvaye viglyadu s p i x i m 2 displaystyle sigma sqrt sum p i bigl x i mu bigr 2 de m p j x j displaystyle mu sum p j x j matematichne spodivannya Priklad Pid chas kidannya gralnogo kubika dlya gri v kosti yaksho kubik simetrichnij z odnakovoyu jmovirnistyu 1 6 mozhe vipasti bud yake chislo vid 1 do 6 Faktichno chislo X displaystyle X sho vipadaye pid chas kidannya kubika diskretna rivnomirno rozpodilena vipadkova velichina yaka mozhe prijmati cili znachennya v diapazoni vid 1 do 6 Z urahuvannyam sho matematichne spodivannya m 1 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 3 5 displaystyle mu frac 1 6 cdot 1 frac 1 6 cdot 2 frac 1 6 cdot 3 frac 1 6 cdot 4 frac 1 6 cdot 5 frac 1 6 cdot 6 3 5 standartne vidhilennya ciyeyi velichini s X 1 6 1 3 5 2 1 6 2 3 5 2 1 6 3 3 5 2 1 6 4 3 5 2 1 6 5 3 5 2 1 6 6 3 5 2 1 71 displaystyle sigma bigl X bigr sqrt frac 1 6 cdot bigl 1 3 5 bigr 2 frac 1 6 cdot bigl 2 3 5 bigr 2 frac 1 6 cdot bigl 3 3 5 bigr 2 frac 1 6 cdot bigl 4 3 5 bigr 2 frac 1 6 cdot bigl 5 3 5 bigr 2 frac 1 6 cdot bigl 6 3 5 bigr 2 approx 1 71 VikoristannyaStandartne vidhilennya vikoristovuyut pid chas rozrahunku serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo dlya pobudovi dovirchih intervaliv statistichnoyi perevirki gipotez vimiru linijnogo vzayemozv yazku mizh vipadkovimi velichinami OcinyuvannyaStandartne vidhilennya usiyeyi sukupnosti mozhe zastosovuvatisya u vipadkah de vidibrano kozhnogo predstavnika sukupnosti standartizovane testuvannya U vipadkah koli ce ne mozhlivo standartne vidhilennya s ocinyuyut na osnovi vipadkovoyi vibirki iz sukupnosti i rozrahovuyut statistiku dlya vibirki yaka vikoristovuyutsya dlya ocinki standartnogo vidhilennya sukupnosti Ce nazivayetsya statistichnoyu ocinkoyu a ocinene znachennya nazivayetsya standartnim vidhilennyam vibirki sho poznachayetsya yak s inodi zi poznachennyami Odnak na vidminu vid vipadku iz ocinkoyu matematichnogo spodivannya dlya sukupnosti de ocinkoyu dlya vibirki ye vibirkove serednye yake ye prostoyu ocinkoyu iz bagatma vlastivostyami dlya riznih zadach nezmishena efektivna maksimalnoyi pravdopodibnosti ale ne isnuye yedinoyi ocinki z usima cimi vlastivostyami dlya standartnogo vidhilennya a nezmishena ocinka dlya standartnogo vidhilennya pov yazana iz tehnichnimi skladnostyami Najchastishe standartne vidhilennya ocinyuyetsya za dopomogoyu koregovanogo vibirkovogo standartnogo vidhilennya iz vikoristannyam korekciyi N 1 viznachenogo nizhche Odnak inshi ocinki mozhut buti krashimi za inshih umov nekoregovana ocinka z vikoristannyam N prizvodit do menshih znachen serednokvadratichnoyi pohibki a vikoristannya N 1 5 dlya normalnogo rozpodilu majzhe povnistyu usuvaye zmishennya Nekoregovane standartne vidhilennya dlya vibirki Formulu dlya standartnogo vidhilennya sukupnosti dlya skinchennoyi sukupnosti mozhlivo zastosuvati do vibirki vikoristavshi yak rozmir vibirki rozmir danoyi vibirki hocha faktichnij rozmir sukupnosti dlya yakoyi bulo otrimano vibirki ye nabagato bilshim Cya ocinka poznachayetsya yak sN i vidoma yak nekoregovane vibirkove standartne vidhilennya abo inodi standartne vidhilennya vibirki sho predstavlyaye i rozglyadayetsya yak cila sukupnist i viznachayetsya tak s s 2 1 N i 1 N x i x 2 displaystyle sigma sqrt sigma 2 sqrt frac 1 N sum i 1 N x i overline x 2 de x 1 x 2 x N displaystyle textstyle x 1 x 2 ldots x N znachennya sposterezhen danoyi vibirki a x displaystyle textstyle overline x serednye znachennya cih sposterezhen a v znamenniku N oznachaye ob yem vibirki Serednokvadratichne vidhilennya dorivnyuye korenyu kvadratnomu z dispersiyi vipadkovoyi velichini dlya vibirki sho v svoyu chergu ye serednim znachennyam dlya kvadratichnih vidhilen vid vibirkovogo serednogo Ce konzistentna ocinka vona zbigayetsya za imovirnistyu do znachennya sho vidpovidaye sukupnosti iz zbilshennyam ob yemu vibirki do neskinchennosti i cya ocinka ye ocinkoyu maksimalnoyi pravdopodibnosti yaksho sukupnist maye normalnij rozpodil Odnak vona ye zmishenoyu ocinkoyu oskilki ocineni znachennya yak pravilo znachno zanizheni Zmishennya zmenshuyetsya iz zbilshennyam ob yemu vibirki zmenshuyuchis u poryadku proporcijnomu do 1 N i takim chinom zmishennya ye najbilsh vidchutnim dlya malih i serednih vibirok dlya N gt 75 displaystyle N gt 75 zmishennya bude menshim za 1 Takim chinom dlya duzhe velikih vibirok ce nekoregovane vibirkove standartne vidhilennya ye v zagalnomu vipadku prijnyatnim Cya ocinka maye takozh rivnomirno menshu serednokvadratichnu pohibku nizh koregovane standartne vidhilennya vibirki Koregovane standartne vidhilennya dlya vibirki Pri nevelikij vibirci n 50 displaystyle n leqslant 50 vvoditsya popravka Besselya s n n 1 s 2 1 n 1 i 1 n x i x 2 displaystyle s sqrt frac n n 1 sigma 2 sqrt frac 1 n 1 sum i 1 n left x i bar x right 2 de s displaystyle s standartne vidhilennya nezmishena ocinka srednokvadratichnogo vidhilennya vipadkovoyi velichini X displaystyle X vidnosno yiyi matematichnogo spodivannya s 2 displaystyle sigma 2 dispersiya x i displaystyle x i i displaystyle i j element vibirki x displaystyle bar x serednye arifmetichne vibirki x 1 n i 1 n x i displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i n displaystyle n obsyag rozmir vibirki Slid zvernuti uvagu na vidminnist standartnogo vidhilennya u znamenniku n 1 displaystyle n 1 vid korenya z dispersiyi u znamenniku n displaystyle n Dlya malih obsyagiv vibirki ocinka dispersiyi ye desho zmishenoyu na velichinu n n 1 displaystyle n n 1 dlya neskinchenno velikogo obsyagu vibirki riznicya mizh vkazanimi velichinami znikaye Vibirka lishe chastina generalnoyi sukupnosti Generalna sukupnist absolyutno vsi mozhlivi rezultati Otrimati rezultat sho ne vhodit v generalnu sukupnist nemozhlivo Dlya vipadku z kidannyam moneti generalnoyu sukupnistyu ye cifra rebro orel A os para orel cifra vzhe lishe vibirka Dlya generalnoyi sukupnosti matematichne ochikuvannya zbigayetsya zi spravzhnim znachennyam ocinyuvanogo parametra A dlya vibirki neobov yazkovo Matematichne ochikuvannya vibirki maye zmishennya shodo dijsnogo znachennya parametra Cherez ce serednokvadratichna pomilka bilsha nizh dispersiya oskilki dispersiya matematichne ochikuvannya kvadrata vidhilennya vid serednogo znachennya a serednokvadratichne vidhilennya matematichne ochikuvannya vidhilennya vid spravzhnogo znachennya Riznicya v tomu vid chogo shukayemo vidhilennya koli dispersiya to vid serednogo i ne vazhlivo dostemenne ce serednye chi pomilkove a koli serednokvadratichne vidhilennya to ce vidhilennya vid spravzhnogo serednogo znachennya Nezmishene vibirkove standartne vidhilennya Na vidminu vid serednogo i dispersiyi ne isnuye formuli nezmishenoyi ocinki standartnogo vidhilennya yaka b vikonuvalasya dlya vsih rozpodiliv Zamist neyi vikoristovuyut s yak bazis yakij masshtabuyut za dopomogoyu koeficiyentu popravki z metoyu utvoriti nezmishenu ocinku Dlya normalnogo rozpodilu nezmishena ocinka zadayetsya yak s c4 de koeficiyent popravki yakij zalezhit vid N viznacheno za dopomogoyu Gamma funkciyi i dorivnyuye c 4 N 2 N 1 G N 2 G N 1 2 displaystyle c 4 N sqrt frac 2 N 1 frac Gamma left frac N 2 right Gamma left frac N 1 2 right Ce otrimane iz togo sho vibirkovij rozpodil dlya standartnogo vidhilennya vibirki vidpovidaye masshtabovanomu Hi rozpodilu a koeficiyent popravki ye serednim danogo hi rozpodilu Nablizhennya mozhna vikonati zaminivshi N 1 na N 1 5 v rezultati bude otrimano s 1 N 1 5 i 1 N x i x 2 displaystyle hat sigma sqrt frac 1 N 1 5 sum i 1 N x i bar x 2 Pohibka cogo nablizhennya zmenshuyetsya kvadratichno iz 1 N2 i pidhodit dlya vsih vibirok krim najmenshih abo pri neobhidnosti mati najvishu tochnist dlya N 3 zmishennya dorivnyuye 1 3 a dlya N 9 zmishennya uzhe bude menshim za 0 1 Dlya inshih rozpodiliv pravilna formula bude zalezhati vid rozpodilu ale osnovnim pravilom ye vikoristovuvati taku popravku dlya nablizhennya s 1 N 1 5 1 4 g 2 i 1 N x i x 2 displaystyle hat sigma sqrt frac 1 N 1 5 tfrac 1 4 gamma 2 sum i 1 N x i bar x 2 de g2 oznachaye popravku ekscesu dlya populyaciyi Cej parametr mozhe buti abo vidomim zazdalegid dlya pevnogo rozpodilu abo ocinenim iz danih Dovirchij interval standartnogo vidhilennya vibirki Div takozh Mezha pohibki Standartne vidhilennya SV yake mi otrimuyemo za dopomogoyu vibirki rozpodilu same po sobi ne ye absolyutno tochnim z dvoh prichin matematichnoyi opisanij tut za dopomogoyu dovirchogo intervalu i z praktichnoyi prichini vimiryuvannya pohibki vimiryuvannya Matematichnij vpliv opisuyut za dopomogoyu dovirchogo intervalu abo DI Abi pokazati yak zbilshennya vibirki prizvede do zvuzhennya dovirchogo intervalu navedemo taki prikladi Nevelika sukupnist rozmirom N 2 maye lishe odin stupin svobodi dlya ocinki standartnogo vidhilennya V rezultati 95 dovirchogo intervalu dlya standartnogo vidhilennya znahoditsya v mezhah vid 0 45 SV do 31 9 SV i viglyadaye tak Pr q a 2 lt k s 2 s 2 lt q 1 a 2 1 a displaystyle Pr left q alpha 2 lt k frac s 2 sigma 2 lt q 1 alpha 2 right 1 alpha de q p displaystyle q p ye p im kvantilem rozpodilu hi kvadrat iz k stupenyami svobodi a 1 a displaystyle 1 alpha ye rivnem doviri Ce ye ekvivalentno nastupnomu virazu Pr k s 2 q 1 a 2 lt s 2 lt k s 2 q a 2 1 a displaystyle Pr left k frac s 2 q 1 alpha 2 lt sigma 2 lt k frac s 2 q alpha 2 right 1 alpha Iz k 1 q 0 025 0 000982 displaystyle q 0 025 0 000982 i q 0 975 5 024 displaystyle q 0 975 5 024 Obernene znachennya kvadratnih koreniv cih dvoh chisel dayut nam mnozhniki 0 45 i 31 9 vkazani vishe Bilsha sukupnist pri N 10 maye 9 stupeniv svobodi pri viznachenni standartnogo vidhilennya Takij samij rozrahunok yak navedeno vishe dozvolyaye otrimati sho v comu vipadku 95 DI znahoditsya v mezhah vid 0 69 SV do 1 83 SV Tomu navit pri sukupnosti vibirki rozmirom v 10 faktichne SV mozhe zalishatisya majzhe vdvichi bilshim nizh otrimane vibirkove SV Dlya sukupnosti vibirki N 100 ce zmenshuyetsya do 0 88 SV do 1 16 SV Abi buti vpevnenim sho vibirkove standartne vidhilennya blizke do faktichnogo neobhidno mati vibirku iz velikoyu kilkistyu tochok Ci zh formuli mozhna zastosuvati dlya otrimannya dovirchih intervaliv dlya dispersiyi zalishkiv dlya metodu najmenshih kvadrativ de k teper bude zadavati kilkist stupeniv svobodi dlya pohibki Sut standartnogo vidhilennya prikladi Rozglyanemo nastupnij priklad de ye dvi vibirki danih 1 2 3 4 5 235 103 3 100 250 Z sukupnostej ochevidno sho voni rizni Yaksho porahuvati serednye arifmetichne to otrimayemo v oboh vipadkah 3 Prote v drugij vibirci dani bilshe rozsiyani dovkola centru a v pershomu vipadku bilshe skoncentrovani v centri Tomu kazhut sho v drugoyi vibirki velike standartne vidhilennya a v pershoyi neznachne Yaksho obchisliti dani vidhilennya to otrimayemo s1 1 6 a s2 186 Riznicya suttyeva Zdebilshogo vibirki ne vidriznyayutsya nastilki yak u poperednomu vipadku Napriklad pri provedenni ryadu vimiryuvan otrimali dvi vibirki x1 10 15 20 25 30 40 45 50 x2 10 28 28 30 30 32 32 50 V oboh vipadkah seredni znachennya rivni 30 krim togo u nih odnakovi granici Prote s1 13 7 a s2 10 1 Tobto vidno sho pri odnakovih granicyah i shirini variaciyi dispersiya i standartne vidhilennya viyavlyayutsya neodnakovi na velichini cih pokaznikiv vplinuv riznij harakter variyuvannya oznak ob yekta inshimi slovami minlivist danih v vibirci Standartne vidhilennya v ryadi vipadkiv viyavlyayetsya krashim dlya vikoristannya nizh dispersiya z tiyeyi prichini sho vono virazhayetsya v tih samih odinicyah sho j serednya arifmetichna velichina Porivnyannya osoblivostej rozpodilu variant u riznih vibirkah lishe za pokaznikami normovanogo vidhilennya s nedostatno a inodi nemozhlive koli neobhidno porivnyuvati variacijni ryadi de oznaki vimiryuvalisya v riznih odinicyah vimiryuvannya napriklad odna vibirka masa lyudini v kilogramah a insha zrist lyudini v santimetrah Dlya takih porivnyan zastosovuyetsya vidnosnij pokaznik yakij poznachayetsya simvolom t i zvetsya Pravilo 3 h sigmPravilo 3 h sigm 3 s displaystyle 3 sigma praktichno vsi znachennya normalno rozpodilenoyi vipadkovoyi velichini lezhat v intervali x 3 s x 3 s displaystyle left bar x 3 sigma bar x 3 sigma right Tochnishe ne mensh nizh iz 99 7 dostovirnistyu znachennya normalno rozpodilenoyi vipadkovoyi velichini lezhit u vkazanomu intervali za umovi sho velichina x displaystyle bar x dostemenno vidoma a ne otrimana v rezultati obrobki vibirki Yaksho istinne znachennya velichini nevidome to slid koristuvatisya ne s displaystyle sigma a s displaystyle s Takim chinom pravilo 3 h sigm peretvoritsya v pravilo troh s displaystyle s Interpretaciya i zastosuvannyaDokladnishe Dovirchij interval Priklad vibirok dvoh sukupnostej iz odnakovim serednim ale iz riznimi standartnimi vidhilennyami Chervonim pokazana sukupnist sho maye serednye znachennya 100 i standartne vidhilennya 10 sinim pokazano sukupnist iz serednim 100 i standartnim vidhilennyam 50 Grafik shilnosti jmovirnosti normalnogo rozpodilu i vidsotok potraplyannya vipadkovoyi velichini na vidrizki rivni serednokvadratichnomu vidhilennya Veliki znachennya standartnogo vidhilennya oznachayut sho tochki mozhut buti rozpodileni daleko vid serednogo a mali znachennya standartnogo vidhilennya oznachayut sho tochki zoseredzheni blizko do serednogo znachennya vibirki Napriklad kozhna iz nastupnih troh sukupnostej 0 0 14 14 0 6 8 14 i 6 6 8 8 maye serednye znachennya 7 Yih standartni vidhilennya dorivnyuyut 7 5 i 1 vidpovidno Tretya sukupnist maye nabagato menshe standartne vidhilennya nizh inshi dvi oskilki vsi yiyi znachennya znahodyatsya blizko do znachennya 7 Vono matime ti sami odinici vimiryuvannya sho i sami dani vibirki Yaksho napriklad vibirka danih 0 6 8 14 predstavlyaye vik chotiroh ditej v rokah standartne vidhilennya dorivnyuvatime 5 rokam Inshij priklad sukupnist 1000 1006 1008 1014 mozhe oznachati vidstan yaku zdolali chotiri atleti v metrah Vona maye serednye znachennya v 1007 metriv i standartne vidhilennya v 5 metriv Standartne vidhilennya mozhe sluguvati miroyu neviznachenosti Napriklad u fizici otrimane standartne vidhilennya seriyi povtoryuvanih vimiryuvan viznachaye tochnist cih vimiryuvan Yaksho potribno virishiti chi vidpovidayut vimiryuvannya teoretichnomu peredbachennyu standartne vidhilennya cih vimiryuvan maye ne abi yaku vazhlivist yaksho serednye znachennya vimiryuvan znahoditsya zanadto daleko vid peredbachuvanogo de vidstan vimiryuyetsya yak standartne vidhilennya todi jmovirno neobhidno pereglyanuti teoriyu sho pereviryayetsya Ce poyasnyuyetsya tim sho voni vihodyat za mezhi znachen yaki logichno povinni buli ochikuvatisya yakbi pripushennya bulo virnim i standartne vidhilennya viznachalosya b nalezhnim chinom Hocha standartne vidhilennya oznachaye naskilki daleko vid serednogo mozhut buti rozpodileni dani vimiryuvan isnuyut takozh i inshi miri Napriklad isnuye takozh serednye absolyutne vidhilennya yake mozhna rozglyadati yak bilsh pryamu miru serednoyi vidstani yaksho porivnyuvati iz standartnim vidhilennyam Priklad zastosuvannya Praktichne vikoristannya standartnogo vidhilennya dlya vibirki danih polyagaye v ocinci velichini togo na skilki voni vidhilyayutsya vid serednogo znachennya Eksperiment i perevirka gipotez Standartne vidhilennya chasto vikoristovuyetsya dlya porivnyannya realnih danih vimiryuvannya iz modellyu z metoyu yiyi perevirki Napriklad v zadachah virobnictva vaga virobiv sho vihodyat iz virobnichoyi liniyi povinna vidpovidati vstanovlenomu znachennyu Zvazhivshi deyaku chastku virobiv mozhna znajti znachennya serednoyi vagi yaka zavzhdi desho vidriznyatimetsya vid serednogo na velikij vibirci Rozrahuvavshi standartne vidhilennya mozhna otrimati minimalne i maksimalne znachennya v yakomu serednya vaga znahoditsya iz duzhe visokoyu jmovirnistyu 99 9 abo bilshe Yaksho vona vipadaye za ramki cih znachen todi proces virobnictva neobhidno vidlagoditi Statistichni testi podibni do cogo ye vazhlivimi koli testuvannya ye vidnosno dorogim Napriklad yaksho produkt neobhidno vidkriti zasushiti i zvazhiti abo yaksho v ramkah testu jogo neobhidno vikoristovuvati yakimos chinom V eksperimentalnij nauci zastosovuyut teoretichnu model realnosti U fizici elementarnih chastok tradicijno vikoristovuyut standartne vidhilennya v 5 sigm dlya perevirki vidkrittya Ce oznachaye sho mozhe isnuvati odin shans na 3 5 miljoniv sho vipadkova fluktuaciya bude vidhilyatisya vid rezultatu Cej riven pravdopodibnosti neobhidno bulo pidtverditi abi mati zmogu stverdzhuvati sho chastka yaka vidpovidaye Bozonu Higgsa bula vidkrita u dvoh nezalezhnih eksperimentah v CERN a takozh ce bulo miroyu vpevnenosti dlya ogoloshennya pro pershe viyavlennya gravitacijnih hvil Pogoda V yakosti prostogo prikladu mozhna rozglyanuti serednodobovi maksimumi temperaturi dvoh mist odne z yakih znahoditsya v priberezhnij zoni a druge v glibini sushi Ce korisno dlya rozuminnya sho diapazon shodennih maksimumiv temperaturi u mistah bilya berega ye menshim nizh u mistah v seredini sushi Takim chinom hoch ci dva mista mozhut mati odnakovu serednyu maksimalnu temperaturu standartne vidhilennya shodennogo maksimumu temperaturi dlya priberezhnogo mista bude menshim nizh u mista v glibini sushi v bud yakij obranij den faktichna maksimalna temperatura skorishe za vse bude bilsh vidminnoyu vid serednoyi maksimalnoyi temperaturi u misti v glibini sushi na vidminu vid priberezhnoyi zoni Geometrichna interpretaciya Abi sklasti geometrichne uyavlennya ta roz yasnennya rozglyanemo sukupnist iz troh znachen x1 x2 x3 Voni viznachayut tochku P x1 x2 x3 v prostori R3 Rozglyanemo pryamu L r r r r R Ce golovna diagonal sho prohodit cherez pochatok koordinat Yaksho vsi tri nashi znachennya ye rivnimi todi standartne vidhilennya dorivnyuvatime nulyu i P lezhatime na pryamij L Takim chinom mozhna visunuti pripushennya sho standartne vidhilennya pov yazane iz vidstannyu tochki P do L Ce dijsno tak Abi vimiryati vidstan vid L ortogonalno do tochki P pochnemo z tochki M x x x displaystyle M overline x overline x overline x yiyi koordinati ye serednimi znachennyami z yakih mi pochnemo Vivedennya sho M x x x displaystyle M overline x overline x overline x M displaystyle M znahoditsya na L displaystyle L tomu M l l l displaystyle M l l l iz l R displaystyle l in textbf R Pryama L displaystyle L bude ortogonalnoyu vektoru vid tochki M displaystyle M do P displaystyle P Takim chinom L P M 0 r r r x 1 l x 2 l x 3 l 0 r x 1 l x 2 l x 3 l 0 r i x i 3 l 0 i x i 3 l 0 1 3 i x i l x l displaystyle begin aligned L cdot P M amp 0 r r r cdot x 1 l x 2 l x 3 l amp 0 r x 1 l x 2 l x 3 l amp 0 r sum limits i x i 3l amp 0 sum limits i x i 3l amp 0 frac 1 3 sum limits i x i amp l overline x amp l end aligned Rozrahunki pokazuyut sho vidstan mizh P i M sho ye ortogonalnoyu vidstannyu vid P do pryamoyi L i x i x 2 displaystyle sqrt sum limits i x i overline x 2 dorivnyuye standartnomu vidhilennyu vektoru x1 x2 x3 pomnozhenomu na kvadratnij korin vid kilkosti vimiriv vektora v danomu vipadku ce 3 Nerivnist Chebishova Dokladnishe Nerivnist Chebishova Sposterezhennya ridko vidhilyayetsya vid serednogo znachennya bilshe nizh na dekilka standartnih vidhilen Nerivnist Chebishova dovodit sho dlya vsih rozpodiliv dlya yakih viznacheno standartne vidhilennya kilkist sposterezhen sho znahodyatsya v diapazoni yake vidpovidaye chislu standartnih vidhilen vid serednogo znachennya bude stanoviti shonajmenshe taku kilkist v procentah yaku vkazano v takij tablici Vidstan vid serednogo Minimalna kilkist vid sukupnosti 2 s displaystyle sqrt 2 sigma 50 2s 75 3s 89 4s 94 5s 96 6s 97 k s displaystyle k sigma 1 1 k 2 displaystyle 1 frac 1 k 2 1 1 ℓ s displaystyle frac 1 sqrt 1 ell sigma ℓ displaystyle ell Pravila sho stosuyutsya normalno rozpodilenih velichin Centralna granichna teorema dovodit sho rozpodil serednogo dlya bagatoh nezalezhnih odnakovo rozpodilenih normalnih velichin pryamuye do normalnogo rozpodilu iz gustinoyu imovirnostej sho viznachayetsya yak f x m s 2 1 s 2 p e 1 2 x m s 2 displaystyle f x mu sigma 2 frac 1 sigma sqrt 2 pi e frac 1 2 left frac x mu sigma right 2 de m matematichne spodivannya vipadkovih velichin s dorivnyuye standartnomu vidhilennyu yih rozpodiliv rozdilenomu na n1 2 a n kilkist vipadkovih velichin Takim chinom standartne vidhilennya ye lishe zminnoyu masshtabuvannya yaka vkazuye naskilki shiroko roztyagnutoyu bude kriva rozpodilu hocha vono takozh z yavlyayetsya i v en Yaksho rozpodil danih ye nablizhenim do normalnogo todi chastka danih yaki potraplyat v diapazon shirinoyu v z standartnih vidhilen vid serednogo zadayetsya tak Proportion erf z 2 displaystyle text Proportion operatorname erf left frac z sqrt 2 right de erf displaystyle scriptstyle operatorname erf funkciya pomilok Chastka danih yaki budut menshe abo dorivnyuvatimut dovilnomu znachennyu x zadayutsya za dopomogoyu kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu imovirnostej Proportion x 1 2 1 erf x m s 2 1 2 1 erf z 2 displaystyle text Proportion leq x frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac x mu sigma sqrt 2 right right frac 1 2 left 1 operatorname erf left frac z sqrt 2 right right Yaksho rozpodil danih nablizhenij do normalnogo todi kilkist danih sho znahodyatsya v diapazoni odnogo standartnogo vidhilennya vid serednogo znachennya skladatime 68 procentiv vid usih danih matematichno cej interval opisuyetsya yak m s de m ce arifmetichne serednye blizko 95 procentiv znahodyatsya v mezhah dvoh standartnih vidhilen m 2s i blizko 99 7 procentiv znahodyatsya v mezhah troh standartnih vidhilen m 3s Ce vidomo yak pravilo 68 95 99 7 abo empirichne pravilo Dlya riznih znachen z procenti znachen yaki znahodyatsya v mezhah i za mezhami simetrichnogo intervalu CI zs zs ye takimi Procent v mezhah z z Procent v mezhah Dovirchij interval Chastka znachen u mezhah Chastka znachen poza mezhami Procent Procent Chastka 0 318 639s 25 75 3 4 0 674490 s 50 50 1 2 0 994458 s 68 32 1 3 125 1s 68 2689492 31 7310508 1 3 1514872 1 281552 s 80 20 1 5 1 644854 s 90 10 1 10 1 959964 s 95 5 1 20 2s 95 4499736 4 5500264 1 21 977895 2 575829 s 99 1 1 100 3s 99 7300204 0 2699796 1 370 398 3 290527 s 99 9 0 1 1 1000 3 890592 s 99 99 0 01 1 10000 4s 99 993666 0 006334 1 15787 4 417173 s 99 999 0 001 1 100000 4 5s 99 999320 465 3751 0 000679 534 6249 3 4 1000 000 z kozhnogo boku vid serednogo znachennya 4 891638 s 99 9999 0 0001 1 1000 000 5s 99 999942 6697 0 000057 3303 1 1744 278 5 326724 s 99 99999 0 00001 1 10000 000 5 730729 s 99 999999 0 000001 1 100000 000 6s 99 999999 8027 0 000000 1973 1 506797 346 6 109410 s 99 9999999 0 0000001 1 1000 000 000 6 466951 s 99 999999 99 0 000000 01 1 10000 000 000 6 806502 s 99 999999 999 0 000000 001 1 100000 000 000 7s 99 999999 999 7440 0 000000 000 256 1 390682 215 445Div takozhPortal Matematika Centralnij moment Rozmah PromahDzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros PosilannyaDodge Yadolah 2003 The Oxford Dictionary of Statistical Terms Oxford University Press ISBN 0 19 920613 9 Pearson Karl 1894 On the dissection of asymmetrical frequency curves Philosophical Transactions of the Royal Society A 185 71 110 Bibcode 1894RSPTA 185 71P doi 10 1098 rsta 1894 0003 Miller Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Standartnoe otklonenie Lakin G F Biometriya Ucheb posobie dlya biol spec vuzov M Vyssh shk 1990 352 s s 42 Kalinin M I Yelisyeyev V V Biometriya Pidruchnik dlya studentiv vuziv biologichnih i ekologichnih napryamkiv Mikolayiv Vid vo MF NaUKMA 2000 204 s C 50 51 nedostupne posilannya z lipnya 2019 CERN Accelerating science Public web cern ch Procitovano 10 serpnya 2013 Press web cern ch 4 lipnya 2012 Arhiv originalu za 25 bereznya 2016 Procitovano 30 travnya 2015 LIGO Scientific Collaboration Virgo Collaboration 2016 Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger Physical Review Letters 116 6 061102 arXiv 1602 03837 Bibcode 2016PhRvL 116f1102A doi 10 1103 PhysRevLett 116 061102 PMID 26918975 Ghahramani Saeed 2000 Fundamentals of Probability 2nd Edition Prentice Hall New Jersey p 438 Eric W Weisstein Distribution Function MathWorld A Wolfram Web Resource Procitovano 30 veresnya 2014 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi