Густина ймовірності або щільність неперервної випадкової величини — це функція, що визначає ймовірнісну міру відносної правдоподібності, того що значення випадкової величини буде відповідати заданій події, для кожної окремої події (або точки) у просторі подій (множини всіх можливих значень, які може приймати випадкова величина). Іншими словами, в той час, як абсолютна правдоподібність, що неперервна випадкова величина може прийняти одне конкретне значення дорівнює 0 (оскільки існує нескінченна множина можливих значень), значення функції щільності у двох окремих точках можна використати аби припустити, наскільки ймовірніше ця випадкова величина дорівнює одному значенню порівнюючи з іншим.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekZoTDBKdmVIQnNiM1JmZG5OZlVFUkdMbk4yWnk4ek5UQndlQzFDYjNod2JHOTBYM1p6WDFCRVJpNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Ця стаття є сирим з англійської мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. (серпень 2021) |
У більш точному розумінні, функція густини ймовірності використовується для визначення ймовірності того, що випадкова величина потрапить у заданий діапазон значень, замість того щоб визначати чи прийме вона одне конкретне значення. Ця ймовірність задається за допомогою інтеграла функції густини цієї величини по тому діапазону — тобто вона задає площу що обмежена функцією густини й горизонтальною віссю координат і обмеженою заданим діапазоном. Функція густини імовірностей є невід'ємною на всій області визначення, а її інтеграл по всьому простору подій дорівнює одиниці.
У випадку, коли ймовірнісна міра є розподілом випадкової величини, говорять про щільність випадкової величини.
Приклад
Припустимо, що представники бактерій зазвичай живуть від 4 до 6 годин. Яка ймовірність того, що бактерія житиме точно 5 годин? Відповідь — ця імовірність дорівнює 0 %. Багато бактерій житимуть приблизно 5 годин, але немає ймовірності, що будь-яка окрема бактерія проживе точно 5,0000000000… годин.
Замість того можна поставити питання: яка ймовірність того, що бактерія проживе часу від 5 годин до 5,01 години? Допустимо ця ймовірність становить 0,02 (тобто 2 %). Далі, а яка імовірність, що бактерія проживе від 5 годин до 5,001 години? Оскільки інтервал у десять разів менший за попередній, ця ймовірність дорівнюватиме 0,002. Імовірність того, що бактерія житиме від 5 годин до 5,0001 годин повинна дорівнювати близько 0,0002, і так далі.
У цих трьох прикладах, відношення (імовірності прожити кількість часу у заданому інтервалі) до (величини цього інтервалу) приблизно є сталим, і дорівнює 2 на годину (або 2 години−1). Наприклад, імовірність, що якась бактерія загине в інтервалі довжиною 0,01-години між 5 і 5,01 годинами життя дорівнює 0,02, а (імовірність 0,02 / 0,01 години) = 2 години−1. Ця величина 2 години−1 називається густиною імовірності того, що бактерія проживе близько 5 годин.
Щодо відповіді на питання «Яка імовірність того, що бактерія загине, проживши рівно 5 годин?», правильна, але мало зрозуміла відповідь — «0», але кращу відповідь можна записати як (2 години−1) . Це ймовірність того, що бактерія загине у нескінченно малому проміжку довкола 5 годин, де
це величина цього проміжку.
Наприклад, ймовірність того, що вона проживе довше 5 годин, але менше ніж (5 годин + 1 наносекунда), дорівнює (2 години−1)×(1 наносекунда) ≃ 6×10−13 (якщо застосувати приведення одиниць вимірювання 3,6×1012 наносекунд = 1 годині).
Це є функцією густини імовірностей , де
(5 годин) = 2 години−1. Інтеграл функції
по заданому діапазону часу (не лише для нескінченно малого діапазону, але і для великих діапазонів значень) є ймовірністю, що бактерія проживе задану кількість часу на цьому інтервалі.
Означення
Абсолютно неперервний розподіл однієї величини
Функція густини імовірності зазвичай пов'язана із абсолютно неперервним розподілом однієї випадкової величини. Випадкова величина буде мати функцію густини
, якщо
,
де — невід'ємна інтегровна за Лебегом функція, яка називається функцією густини імовірності випадкової величини
.
Якщо FX це кумулятивна функція розподілу величини
, тоді:
,
і (якщо є неперервною в точці
)
.
Інтуїтивно можна розуміти, що є ймовірністю того, що
потрапить у нескінченно малий інтервал
.
Формальне визначення
(Це визначення можна застосувати до будь-якого розподілу імовірностей застосовуючи визначення імовірності на основі теорії мір множин.)
Випадкова величина X, що приймає значення із вимірного простору (зазвичай
, де вимірними підмножинами є Борелівські множини) і її розподілом імовірностей є міра X∗P по
: густиною
стосовно еталонної міри
по
є похідна Радона — Нікодима:
.
Це означає, є будь-якою вимірною функцією із наступною властивістю:
для будь-якої вимірної множини .
Для наведеного вище випадку із неперервним розподілом однієї змінної, еталонною мірою є міра Лебега. Функція маси імовірностей для (дискретної випадкової величини) є густиною стосовно лічильної міри по простору подій (зазвичай це є множина цілих чисел, або деяка її підмножина).
Зауваження
- Функція густини імовірності існує лише для абсолютно неперервних випадкових величин.
- У квантовій механіці — відношення ймовірності знаходження системи в даному елементі об'єму до величини цього елемента об'єму; розраховується як квадрат модуля хвильової функції системи (добуток хвильової функції та її комплексно спряженої функції).
Властивості
.
.
, де
— характеристична функція випадкової величини
.
Інші особливості
На відміну від функції розподілу ймовірностей, функція густини імовірностей може приймати значення більші за одиницю; наприклад, рівномірний розподіл в інтервалі [0, ½] має густину імовірності для
і
для інших значень.
Стандартний нормальний розподіл має густину імовірності
Якщо дано випадкову величину і її розподіл дозволяє визначити функцію густини імовірностей
, тоді математичне сподівання для
(якщо воно існує) можна розрахувати так:
.
Не кожний імовірнісний розподіл матиме функцію густини, розподіли (дискретних випадкових величин) не матимуть її; а також її не існує для розподілу Кантора, попри те, що він не має дискретних елементів, тобто не призначає додатного значення імовірності для жодної окремої точки розподілу.
Розподіл має функцію густини тоді і тільки тоді, коли його функція розподілу ймовірностей абсолютно неперервна. У такому випадку:
майже скрізь диференційована, а її похідна може використовуватися як функція густини ймовірностей:
.
Якщо розподіл має функцію густини, тоді ймовірність у кожній обраній окремій точці дорівнює нулю; те саме стосується скінченних і зліченних множин точок.
Дві функції густини імовірностей і
задають той самий розподіл імовірностей, коли вони відрізняються лише на множину нульової міри Лебега.
Див. також
- (Неперервні розподіли)
Джерела
- Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
В іншому мовному розділі є повніша стаття Probability density function(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (серпень 2022)
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gustina jmovirnosti abo shilnist neperervnoyi vipadkovoyi velichini ce funkciya sho viznachaye jmovirnisnu miru vidnosnoyi pravdopodibnosti togo sho znachennya vipadkovoyi velichini bude vidpovidati zadanij podiyi dlya kozhnoyi okremoyi podiyi abo tochki u prostori podij mnozhini vsih mozhlivih znachen yaki mozhe prijmati vipadkova velichina Inshimi slovami v toj chas yak absolyutna pravdopodibnist sho neperervna vipadkova velichina mozhe prijnyati odne konkretne znachennya dorivnyuye 0 oskilki isnuye neskinchenna mnozhina mozhlivih znachen znachennya funkciyi shilnosti u dvoh okremih tochkah mozhna vikoristati abi pripustiti naskilki jmovirnishe cya vipadkova velichina dorivnyuye odnomu znachennyu porivnyuyuchi z inshim Korobkovij grafik i funkciya gustini imovirnosti dlya normalnogo rozpodilu N 0 s2 U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Gustina znachennya Cya stattya ye sirim perekladom z anglijskoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad serpen 2021 U bilsh tochnomu rozuminni funkciya gustini jmovirnosti vikoristovuyetsya dlya viznachennya jmovirnosti togo sho vipadkova velichina potrapit u zadanij diapazon znachen zamist togo shob viznachati chi prijme vona odne konkretne znachennya Cya jmovirnist zadayetsya za dopomogoyu integrala funkciyi gustini ciyeyi velichini po tomu diapazonu tobto vona zadaye ploshu sho obmezhena funkciyeyu gustini j gorizontalnoyu vissyu koordinat i obmezhenoyu zadanim diapazonom Funkciya gustini imovirnostej ye nevid yemnoyu na vsij oblasti viznachennya a yiyi integral po vsomu prostoru podij dorivnyuye odinici U vipadku koli jmovirnisna mira ye rozpodilom vipadkovoyi velichini govoryat pro shilnist vipadkovoyi velichini PrikladPripustimo sho predstavniki bakterij zazvichaj zhivut vid 4 do 6 godin Yaka jmovirnist togo sho bakteriya zhitime tochno 5 godin Vidpovid cya imovirnist dorivnyuye 0 Bagato bakterij zhitimut priblizno 5 godin ale nemaye jmovirnosti sho bud yaka okrema bakteriya prozhive tochno 5 0000000000 godin Zamist togo mozhna postaviti pitannya yaka jmovirnist togo sho bakteriya prozhive chasu vid 5 godin do 5 01 godini Dopustimo cya jmovirnist stanovit 0 02 tobto 2 Dali a yaka imovirnist sho bakteriya prozhive vid 5 godin do 5 001 godini Oskilki interval u desyat raziv menshij za poperednij cya jmovirnist dorivnyuvatime 0 002 Imovirnist togo sho bakteriya zhitime vid 5 godin do 5 0001 godin povinna dorivnyuvati blizko 0 0002 i tak dali U cih troh prikladah vidnoshennya imovirnosti prozhiti kilkist chasu u zadanomu intervali do velichini cogo intervalu priblizno ye stalim i dorivnyuye 2 na godinu abo 2 godini 1 Napriklad imovirnist sho yakas bakteriya zagine v intervali dovzhinoyu 0 01 godini mizh 5 i 5 01 godinami zhittya dorivnyuye 0 02 a imovirnist 0 02 0 01 godini 2 godini 1 Cya velichina 2 godini 1 nazivayetsya gustinoyu imovirnosti togo sho bakteriya prozhive blizko 5 godin Shodo vidpovidi na pitannya Yaka imovirnist togo sho bakteriya zagine prozhivshi rivno 5 godin pravilna ale malo zrozumila vidpovid 0 ale krashu vidpovid mozhna zapisati yak 2 godini 1 d t displaystyle dt Ce jmovirnist togo sho bakteriya zagine u neskinchenno malomu promizhku dovkola 5 godin de d t displaystyle dt ce velichina cogo promizhku Napriklad jmovirnist togo sho vona prozhive dovshe 5 godin ale menshe nizh 5 godin 1 nanosekunda dorivnyuye 2 godini 1 1 nanosekunda 6 10 13 yaksho zastosuvati privedennya odinic vimiryuvannya 3 6 1012 nanosekund 1 godini Ce ye funkciyeyu gustini imovirnostej f displaystyle f de f displaystyle f 5 godin 2 godini 1 Integral funkciyi f displaystyle f po zadanomu diapazonu chasu ne lishe dlya neskinchenno malogo diapazonu ale i dlya velikih diapazoniv znachen ye jmovirnistyu sho bakteriya prozhive zadanu kilkist chasu na comu intervali OznachennyaAbsolyutno neperervnij rozpodil odniyeyi velichini Funkciya gustini imovirnosti zazvichaj pov yazana iz absolyutno neperervnim rozpodilom odniyeyi vipadkovoyi velichini Vipadkova velichina X displaystyle X bude mati funkciyu gustini f X displaystyle f X yaksho Pr a X b a b f X x d x displaystyle Pr a leq X leq b int a b f X x dx de f X displaystyle f X nevid yemna integrovna za Lebegom funkciya yaka nazivayetsya funkciyeyu gustini imovirnosti vipadkovoyi velichini X displaystyle X Yaksho FXF X displaystyle F X ce kumulyativna funkciya rozpodilu velichini X displaystyle X todi F X x x f X u d u displaystyle F X x int infty x f X u du i yaksho f X displaystyle f X ye neperervnoyu v tochci x displaystyle x f X x d d x F X x displaystyle f X x frac d dx F X x Intuyitivno mozhna rozumiti sho f X x d x displaystyle f X x dx ye jmovirnistyu togo sho X displaystyle X potrapit u neskinchenno malij interval x x d x displaystyle x x dx Formalne viznachennya Ce viznachennya mozhna zastosuvati do bud yakogo rozpodilu imovirnostej zastosovuyuchi viznachennya imovirnosti na osnovi teoriyi mir mnozhin Vipadkova velichina X sho prijmaye znachennya iz vimirnogo prostoru X A displaystyle mathcal X mathcal A zazvichaj R n displaystyle mathbb R n de vimirnimi pidmnozhinami ye Borelivski mnozhini i yiyi rozpodilom imovirnostej ye mira X P po X A displaystyle mathcal X mathcal A gustinoyu X displaystyle X stosovno etalonnoyi miri m displaystyle mu po X A displaystyle mathcal X mathcal A ye pohidna Radona Nikodima f d X P d m displaystyle f frac dX P d mu Ce oznachaye f displaystyle f ye bud yakoyu vimirnoyu funkciyeyu iz nastupnoyu vlastivistyu Pr X A X 1 A d P A f d m displaystyle Pr X in A int X 1 A dP int A f d mu dlya bud yakoyi vimirnoyi mnozhini A A displaystyle A in mathcal A Dlya navedenogo vishe vipadku iz neperervnim rozpodilom odniyeyi zminnoyi etalonnoyu miroyu ye mira Lebega Funkciya masi imovirnostej dlya diskretnoyi vipadkovoyi velichini ye gustinoyu stosovno lichilnoyi miri po prostoru podij zazvichaj ce ye mnozhina cilih chisel abo deyaka yiyi pidmnozhina ZauvazhennyaFunkciya gustini imovirnosti isnuye lishe dlya absolyutno neperervnih vipadkovih velichin U kvantovij mehanici vidnoshennya jmovirnosti znahodzhennya sistemi v danomu elementi ob yemu do velichini cogo elementa ob yemu rozrahovuyetsya yak kvadrat modulya hvilovoyi funkciyi sistemi dobutok hvilovoyi funkciyi ta yiyi kompleksno spryazhenoyi funkciyi Vlastivostip 3 x 0 displaystyle p xi x geq 0 X p 3 x d x 1 displaystyle int limits X p xi x dx 1 p 3 x 1 2 p X e i t x ps t d t displaystyle p xi x frac 1 2 pi int limits X e itx psi t dt de ps t displaystyle psi t harakteristichna funkciya vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi Inshi osoblivostiNa vidminu vid funkciyi rozpodilu jmovirnostej funkciya gustini imovirnostej mozhe prijmati znachennya bilshi za odinicyu napriklad rivnomirnij rozpodil v intervali 0 maye gustinu imovirnosti f x 2 displaystyle f x 2 dlya 0 x 1 2 displaystyle 0 leq x leq tfrac 1 2 i f x 0 displaystyle f x 0 dlya inshih znachen Standartnij normalnij rozpodil maye gustinu imovirnosti f x 1 2 p e x 2 2 displaystyle f x frac 1 sqrt 2 pi e x 2 2 Yaksho dano vipadkovu velichinu X displaystyle X i yiyi rozpodil dozvolyaye viznachiti funkciyu gustini imovirnostej f displaystyle f todi matematichne spodivannya dlya X displaystyle X yaksho vono isnuye mozhna rozrahuvati tak E X x f x d x displaystyle operatorname E X int infty infty x f x dx Ne kozhnij imovirnisnij rozpodil matime funkciyu gustini rozpodili diskretnih vipadkovih velichin ne matimut yiyi a takozh yiyi ne isnuye dlya rozpodilu Kantora popri te sho vin ne maye diskretnih elementiv tobto ne priznachaye dodatnogo znachennya imovirnosti dlya zhodnoyi okremoyi tochki rozpodilu Rozpodil maye funkciyu gustini todi i tilki todi koli jogo funkciya rozpodilu jmovirnostej F x displaystyle F x absolyutno neperervna U takomu vipadku F displaystyle F majzhe skriz diferencijovana a yiyi pohidna mozhe vikoristovuvatisya yak funkciya gustini jmovirnostej d d x F x f x displaystyle frac d dx F x f x Yaksho rozpodil maye funkciyu gustini todi jmovirnist u kozhnij obranij okremij tochci a displaystyle a dorivnyuye nulyu te same stosuyetsya skinchennih i zlichennih mnozhin tochok Dvi funkciyi gustini imovirnostej f displaystyle f i g displaystyle g zadayut toj samij rozpodil imovirnostej koli voni vidriznyayutsya lishe na mnozhinu nulovoyi miri Lebega Div takozhNeperervni rozpodiliDzherelaKolmogorov A N Osnovnye ponyatiya teorii veroyatnostej 2 e izd Moskva Nauka 1974 119 s ros V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Probability density function angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi serpen 2022 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad