Вибірковий розподіл або розподіл скінченних вибірок у статистиці — це розподіл імовірності заданої статистики, що базується на випадковій вибірці. Вибіркові розподіли важливі у статистиці, бо вони забезпечують значне спрощення на шляху до статистичного висновування. А саме, вони дозволяють аналітичним міркуванням ґрунтуватися на вибірковому розподілі статистики, а не на спільному розподілі ймовірності всіх окремих значень вибірки.
Вступ
Вибірковий розподіл статистики — це розподіл цієї статистики, що розглядається як випадкова змінна, що виводиться з випадкової вибірки розміру . Його можна розглядати як розподіл статистики для всіх можливих вибірок з цієї ж генеральної сукупності, що мають заданий розмір вибірки. Вибірковий розподіл залежить від розподілу, що лежить в основі генеральної сукупності, статистики, що розглядається, залученої процедури відбору, та використовуваного розміру вибірки. Часто існує значний інтерес, чи може вибірковий розподіл бути наближено [en], що відповідає граничному випадку або коли прямує до нескінченності кількість випадкових вибірок скінченного розміру, що відбираються з нескінченної генеральної сукупності та використовуються для отримання розподілу, або коли з цієї ж генеральної сукупності береться лише одна «вибірка» з розміром, що дорівнює нескінченності.
Наприклад, розгляньмо нормальну генеральну сукупність із середнім значенням та дисперсією . Припустімо, що ми багаторазово беремо вибірки заданого розміру з цієї сукупності та обчислюємо середнє арифметичне для кожної з них — цю статистика називають вибірковим середнім. Розподіл цих середніх, або усереднень, називають «вибірковим розподілом вибіркового середнього». Цей розподіл є нормальним (n є розміром вибірки), оскільки генеральна сукупність, що лежить в його основі, є нормальною, хоча вибіркові розподіли можуть також часто бути близькими до нормального навіть коли розподіл генеральної сукупності таким не є (див. центральна гранична теорема). Альтернативою вибірковому середньому є вибіркова медіана. При обчисленні з тієї ж самої генеральної сукупності вона має інший вибірковий розподіл, ніж у вибіркового середнього, і зазвичай не є нормальною (але може бути близькою до цього для великих розмірів вибірки).
Середнє значення вибірки з генеральної сукупності, що має нормальний розподіл, є прикладом простої статистики, що береться з однієї з найпростіших статистичних генеральних сукупностей. Формули для інших статистик та інших генеральних сукупностей є складнішими, і часто вони не існують у замкненому вигляді. В таких випадках вибіркові розподіли можна наближувати за допомогою симуляцій Монте-Карло, статистичного бутстрепу або теорії [en].
Стандартна похибка
Стандартне відхилення вибіркового розподілу статистики називають стандартною похибкою цієї величини. Для випадку, коли статистика це середнє значення вибірки і вибірки некорельовані, стандартна похибка це
де це стандартна похибка розподілу цієї величини генеральної сукупності, а це розмір вибірки (кількість елементів у вибірці).
Важливим наслідком цієї формули є те, що для досягнення половини (1/2) похибки вимірювання розмір вибірки має бути збільшено вчетверо (помножено на 4). При проєктуванні статистичних досліджень, у яких витрати є чинником, це може відігравати свою роль у розумінні компромісу між витратами та вигодами.
Якщо статистика це сума вибірки, і вибірки некорельовані, стандартна похибка це
де, знов, це стандартна похибка розподілу цієї величини генеральної сукупності, а це розмір вибірки (кількість елементів у вибірці).
Приклади
Генеральна сукупність | Статистика | Вибірковий розподіл |
---|---|---|
Нормальна: | Вибіркове середнє з вибірок розміру n | або (якщо дисперсія не відома): , де є стандартним відхиленням вибірки, а є t-розподілом Стьюдента. |
Бернуллі: | Проста пропорція «успішних проб» | |
Дві незалежні нормальні сукупності: and | Різниця між вибірковими середніми, | |
Абсолютно безперервний розподіл F із густиною ƒ | Медіана з вибірки розміром n = 2k − 1, де вибірку впорядковано від до | |
Довільний розподіл із функцією розподілу F | Максимум з випадкової вибірки розміру n |
Статистичне висновування
У теорії статистичного висновування ідея достатньої статистики пропонує основу для такого вибору статистики (як функції від точок даних вибірки), що жодна інформація не втрачається при заміні повного ймовірнісного опису вибірки вибірковим розподілом обраної статистики.
У частотному висновуванні, наприклад, у створенні перевірки статистичних гіпотез або довірчих інтервалів доступність вибіркового розподілу статистики (або його наближення у вигляді [en]) може давати готове формулювання таких процедур, тоді як створення процедур починаючи зі спільного розподілу вибірки було би не таким очевидним.
У баєсовому висновуванні, коли доступний вибірковий розподіл статистики, можна розглядати заміну кінцевого виходу таких процедур, зокрема умовних розподілів будь-яких невідомих величин при заданих даних вибірки, умовними розподілами будь-яких невідомих величин при заданих вибіркових статистиках. Такі процедури залучатимуть вибірковий розподіл цих статистик. Результати будуть ідентичними за умови, що обрані статистики будуть спільно достатніми.
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (жовтень 2015) |
Примітки
- Mooney, 1999, с. 2.
Джерела
- Mooney, Christopher Z. (1999). . Thousand Oaks, Calif.: Sage. ISBN . Архів оригіналу за 25 жовтня 2015. Процитовано 5 жовтня 2015. (англ.)
- Merberg, A. and S.J. Miller (2008). "The Sample Distribution of the Median". Course Notes for Math 162: Mathematical Statistics, on the web at http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/BrownClasses/162/Handouts/MedianThm04.pdf [ 18 лютого 2015 у Wayback Machine.], pgs 1–9. (англ.)
Посилання
- Генерація вибіркових розподілів в Excel [ 17 травня 2008 у Wayback Machine.] (англ.)
- Демонстрація Mathematica, що показує вибірковий розподіл різних статистик (наприклад, Σx²) для нормальної генеральної вибірки [ 6 жовтня 2015 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vibirkovij rozpodil abo rozpodil skinchennih vibirok u statistici ce rozpodil imovirnosti zadanoyi statistiki sho bazuyetsya na vipadkovij vibirci Vibirkovi rozpodili vazhlivi u statistici bo voni zabezpechuyut znachne sproshennya na shlyahu do statistichnogo visnovuvannya A same voni dozvolyayut analitichnim mirkuvannyam gruntuvatisya na vibirkovomu rozpodili statistiki a ne na spilnomu rozpodili jmovirnosti vsih okremih znachen vibirki VstupVibirkovij rozpodil statistiki ce rozpodil ciyeyi statistiki sho rozglyadayetsya yak vipadkova zminna sho vivoditsya z vipadkovoyi vibirki rozmiru n displaystyle n Jogo mozhna rozglyadati yak rozpodil statistiki dlya vsih mozhlivih vibirok z ciyeyi zh generalnoyi sukupnosti sho mayut zadanij rozmir vibirki Vibirkovij rozpodil zalezhit vid rozpodilu sho lezhit v osnovi generalnoyi sukupnosti statistiki sho rozglyadayetsya zaluchenoyi proceduri vidboru ta vikoristovuvanogo rozmiru vibirki Chasto isnuye znachnij interes chi mozhe vibirkovij rozpodil buti nablizheno en sho vidpovidaye granichnomu vipadku abo koli pryamuye do neskinchennosti kilkist vipadkovih vibirok skinchennogo rozmiru sho vidbirayutsya z neskinchennoyi generalnoyi sukupnosti ta vikoristovuyutsya dlya otrimannya rozpodilu abo koli z ciyeyi zh generalnoyi sukupnosti beretsya lishe odna vibirka z rozmirom sho dorivnyuye neskinchennosti Napriklad rozglyanmo normalnu generalnu sukupnist iz serednim znachennyam m displaystyle mu ta dispersiyeyu s 2 displaystyle sigma 2 Pripustimo sho mi bagatorazovo beremo vibirki zadanogo rozmiru z ciyeyi sukupnosti ta obchislyuyemo serednye arifmetichne x displaystyle scriptstyle bar x dlya kozhnoyi z nih cyu statistika nazivayut vibirkovim serednim Rozpodil cih serednih abo userednen nazivayut vibirkovim rozpodilom vibirkovogo serednogo Cej rozpodil ye normalnim N m s 2 n displaystyle scriptstyle mathcal N mu sigma 2 n n ye rozmirom vibirki oskilki generalna sukupnist sho lezhit v jogo osnovi ye normalnoyu hocha vibirkovi rozpodili mozhut takozh chasto buti blizkimi do normalnogo navit koli rozpodil generalnoyi sukupnosti takim ne ye div centralna granichna teorema Alternativoyu vibirkovomu serednomu ye vibirkova mediana Pri obchislenni z tiyeyi zh samoyi generalnoyi sukupnosti vona maye inshij vibirkovij rozpodil nizh u vibirkovogo serednogo i zazvichaj ne ye normalnoyu ale mozhe buti blizkoyu do cogo dlya velikih rozmiriv vibirki Serednye znachennya vibirki z generalnoyi sukupnosti sho maye normalnij rozpodil ye prikladom prostoyi statistiki sho beretsya z odniyeyi z najprostishih statistichnih generalnih sukupnostej Formuli dlya inshih statistik ta inshih generalnih sukupnostej ye skladnishimi i chasto voni ne isnuyut u zamknenomu viglyadi V takih vipadkah vibirkovi rozpodili mozhna nablizhuvati za dopomogoyu simulyacij Monte Karlo statistichnogo butstrepu abo teoriyi en Standartna pohibkaStandartne vidhilennya vibirkovogo rozpodilu statistiki nazivayut standartnoyu pohibkoyu ciyeyi velichini Dlya vipadku koli statistika ce serednye znachennya vibirki i vibirki nekorelovani standartna pohibka ce s x s n displaystyle sigma bar x frac sigma sqrt n de s displaystyle sigma ce standartna pohibka rozpodilu ciyeyi velichini generalnoyi sukupnosti a n displaystyle n ce rozmir vibirki kilkist elementiv u vibirci Vazhlivim naslidkom ciyeyi formuli ye te sho dlya dosyagnennya polovini 1 2 pohibki vimiryuvannya rozmir vibirki maye buti zbilsheno vchetvero pomnozheno na 4 Pri proyektuvanni statistichnih doslidzhen u yakih vitrati ye chinnikom ce mozhe vidigravati svoyu rol u rozuminni kompromisu mizh vitratami ta vigodami Yaksho statistika ce suma vibirki i vibirki nekorelovani standartna pohibka ce s S x s n displaystyle sigma Sigma x sigma sqrt n de znov s displaystyle sigma ce standartna pohibka rozpodilu ciyeyi velichini generalnoyi sukupnosti a n displaystyle n ce rozmir vibirki kilkist elementiv u vibirci PrikladiGeneralna sukupnist Statistika Vibirkovij rozpodil Normalna N m s 2 displaystyle mathcal N mu sigma 2 Vibirkove serednye X displaystyle bar X z vibirok rozmiru n X N m s 2 n displaystyle bar X sim mathcal N Big mu frac sigma 2 n Big abo yaksho dispersiya ne vidoma X T m S 2 n displaystyle bar X sim mathcal T Big mu frac S 2 n Big de S displaystyle S ye standartnim vidhilennyam vibirki a T displaystyle mathcal T ye t rozpodilom Styudenta Bernulli Bernoulli p displaystyle operatorname Bernoulli p Prosta proporciya uspishnih prob X displaystyle bar X n X Binomial n p displaystyle n bar X sim operatorname Binomial n p Dvi nezalezhni normalni sukupnosti N m 1 s 1 2 displaystyle mathcal N mu 1 sigma 1 2 and N m 2 s 2 2 displaystyle mathcal N mu 2 sigma 2 2 Riznicya mizh vibirkovimi serednimi X 1 X 2 displaystyle bar X 1 bar X 2 X 1 X 2 N m 1 m 2 s 1 2 n 1 s 2 2 n 2 displaystyle bar X 1 bar X 2 sim mathcal N left mu 1 mu 2 frac sigma 1 2 n 1 frac sigma 2 2 n 2 right Absolyutno bezperervnij rozpodil F iz gustinoyu ƒ Mediana X k displaystyle X k z vibirki rozmirom n 2k 1 de vibirku vporyadkovano vid X 1 displaystyle X 1 do X n displaystyle X n f X k x 2 k 1 k 1 2 f x F x 1 F x k 1 displaystyle f X k x frac 2k 1 k 1 2 f x Big F x 1 F x Big k 1 Dovilnij rozpodil iz funkciyeyu rozpodilu F Maksimum M max X k displaystyle M max X k z vipadkovoyi vibirki rozmiru n F M x P M x P X k x F x n displaystyle F M x P M leq x prod P X k leq x left F x right n Statistichne visnovuvannyaU teoriyi statistichnogo visnovuvannya ideya dostatnoyi statistiki proponuye osnovu dlya takogo viboru statistiki yak funkciyi vid tochok danih vibirki sho zhodna informaciya ne vtrachayetsya pri zamini povnogo jmovirnisnogo opisu vibirki vibirkovim rozpodilom obranoyi statistiki U chastotnomu visnovuvanni napriklad u stvorenni perevirki statistichnih gipotez abo dovirchih intervaliv dostupnist vibirkovogo rozpodilu statistiki abo jogo nablizhennya u viglyadi en mozhe davati gotove formulyuvannya takih procedur todi yak stvorennya procedur pochinayuchi zi spilnogo rozpodilu vibirki bulo bi ne takim ochevidnim U bayesovomu visnovuvanni koli dostupnij vibirkovij rozpodil statistiki mozhna rozglyadati zaminu kincevogo vihodu takih procedur zokrema umovnih rozpodiliv bud yakih nevidomih velichin pri zadanih danih vibirki umovnimi rozpodilami bud yakih nevidomih velichin pri zadanih vibirkovih statistikah Taki proceduri zaluchatimut vibirkovij rozpodil cih statistik Rezultati budut identichnimi za umovi sho obrani statistiki budut spilno dostatnimi Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2015 PrimitkiMooney 1999 s 2 DzherelaMooney Christopher Z 1999 Thousand Oaks Calif Sage ISBN 9780803959439 Arhiv originalu za 25 zhovtnya 2015 Procitovano 5 zhovtnya 2015 angl Merberg A and S J Miller 2008 The Sample Distribution of the Median Course Notes for Math 162 Mathematical Statistics on the web at http web williams edu Mathematics sjmiller public html BrownClasses 162 Handouts MedianThm04 pdf 18 lyutogo 2015 u Wayback Machine pgs 1 9 angl PosilannyaGeneraciya vibirkovih rozpodiliv v Excel 17 travnya 2008 u Wayback Machine angl Demonstraciya Mathematica sho pokazuye vibirkovij rozpodil riznih statistik napriklad Sx dlya normalnoyi generalnoyi vibirki 6 zhovtnya 2015 u Wayback Machine angl