Випадкова величина (англ. random variable) — величина, можливими значеннями якої є результати випробувань чи спостережень явищ або процесів, що мають випадковий характер. Прикладами випадкової величини є результати підкидання монети, кубика із числовими позначеннями на його гранях, значення довжини стрибків спортсмена у послідовних спробах, тощо. Випадкова величина — одне з основних понять теорії ймовірностей. Випадковою величиною можна назвати будь-яку (не обов'язково чисельну) змінну x, значення якої утворюють множину випадкових елементарних подій {х}. У вигляді функції, випадкова величина повинна бути вимірною.
Зазвичай результати цих випробувань залежать від деяких фізичних змінних, які не мають чіткої визначеності. Наприклад, при підкиданні звичайної монети, кінцевий результат впаде вона аверсом чи реверсом залежить від невизначених фізичних параметрів. Який результат буде зрештою спостерігатися є непевним. Областю визначення випадкової величини є множина можливих результатів. У випадку з монетою, розглядають лише два можливих результатом — вона впаде однією з двох сторін.
Випадкова величина визначається як функція, яка відображає результати у вигляді числових величин (міток), що зазвичай задаються дійсними числами. У цьому випадку, існує процедура присвоєння чисельного значення кожному можливому результату експерименту, і на відміну від іменування назвами, ця процедура сама по собі не є випадковою і не є змінною. Те що є випадковим, це неусталений фізичний процес, який описує як падає монета, і невизначеність результату, який буде спостерігатися в конкретний момент.
Означення
- Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна
, «значення» якої
утворюють множину
елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини
.
Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини
, називається областю значень цієї величини.
Властивості
Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі , тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деяким дійсним числом. Більш формально:
називається випадковою величиною, якщо
, де
—
-алгебра Борелевих множин на
.
Нехай x1, x2, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення xj може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = xj. Ймовірність цієї події позначається . Система рівнянь:
визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.
Очевидно, що:
та
.
Якщо дві або більше випадкових величини X1, X2, …, Xn визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям ,
і т. д. призначаються визначені ймовірності.
Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень ,
, …,
виконується рівність:
Тобто, якщо Xk залежить лише від k-го випробування, то випадкові величини X1, X2, …, Xnвзаємно незалежні.
Ймовірність випадкової величини
- Ймовірність випадкової величини
дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень:
де
;
— граничні значення нормованої величини
;
— це середнє значення величини
;
— стандартне відхилення цієї величини.
Типи випадкових величин та їх приклади
Розрізняють два типи випадкових величин: дискретні і неперервні.
Множина значень дискретної величини може бути перелічена заздалегідь.
Множина значень неперервної (безперервної) випадкової величин не може бути перелічена заздалегідь; вона безперервно заповнює деякий проміжок або кілька проміжків.
Дискретна випадкова величина
У експерименті можуть навмання обирати людину, і однією випадковою величиною може бути зріст цієї людини. З математичної точки зору, випадкова величина задається функцією, яка зображає людину у зріст людини. З випадковою величиною пов'язаний розподіл ймовірностей, який дозволяє розрахувати ймовірність, що зріст буде відповідати деякій підмножині можливих значень, наприклад ймовірність того, що зріст знаходитиметься в межах від 180 до 190 см, або ймовірність що зріст становить менше 150 або більше 200 см.
Іншою випадковою величиною може бути відомість про те скільки в людини дітей, це дискретна випадкова величина не від'ємних цілих чисел. Вона дозволяє розраховувати ймовірності для окремих цілих значень — функцію масової імовірності (ФМІ) як для окремих значень, так і для множини значень, включаючи нескінченні множини. Наприклад, подією, яка нас цікавить може бути «парна кількість дітей». Як для скінченної, так і для нескінченної множини подій, їх імовірності можна знайти за допомогою додавання функцій масової імовірності елементів; таким чином, імовірність того що кількість дітей є парною є нескінченною сумою .
Приклад. Підкидання монети
Можливі результати одного підкидання монети можна описати наступним простором варіантів . Ми можемо задати випадкову величину дійсних значень
яка моделює винагороду в $1 за успішну ставку, на те що випаде аверс наступним чином:
Для монети, Y матиме функцію ймовірностей , що задається як:
Неперервна випадкова величина
Прикладом неперервної випадкової величини може бути рулетка, що обертається і може вибрати будь-який горизонтальний напрям. Тоді значеннями, які приймає випадкова величина є різні числові значення напрямів. Ми можемо задати ці напрями як Північ, Захід, Південь, Схід, Північний схід, і т. д. Однак зручніше зобразити простір випадкової величини за допомогою дійсних чисел, що задають градуси повороту від Півночі за годинниковою стрілкою. Випадкова змінна тоді прийматиме значення із інтервалу [0, 360), де всі частини діапазону є рівноправними. У такому випадку, X = кут повороту. Кожне дійсне число має ймовірність бути обраним такою що дорівнює нулю, але будь-якому діапазону значень можна задати додатну ймовірність. Наприклад, ймовірність що буде вибране число із діапазону [0, 180] дорівнює 1⁄2. Замість того, щоб говорити про функцію масової імовірності, ми будемо говорити що щільність імовірності для X становить 1/360. Ймовірність підмножини діапазону [0, 360) можна розрахувати помноживши розмір множини на 1/360. В загальному випадку, ймовірність для множини для заданої неперервної випадкової величини можна розрахувати за допомогою інтегрування щільності по заданій множині.
Див. також
- Розподіл ймовірностей
- Функція розподілу ймовірностей
- Щільність розподілу ймовірностей
- Абсолютно неперервна випадкова величина
- Дискретна випадкова величина
- Математичне сподівання
- Дисперсія випадкової величини
- Випадкова перестановка
- Випадковий процес
- Вибірка
- Коефіцієнт коваріації
- Коефіцієнт кореляції
- Нерівність Чебишева
- Нерівність Колмогорова
- Нормальний розподіл
- Вимірювання
- Псевдовипадкова послідовність
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — 3-е. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — С. 528.(рос.)
Примітки
- (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446. С. 91.
- Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN .
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука. — 1968. — С. 484.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vipadkova velichina angl random variable velichina mozhlivimi znachennyami yakoyi ye rezultati viprobuvan chi sposterezhen yavish abo procesiv sho mayut vipadkovij harakter Prikladami vipadkovoyi velichini ye rezultati pidkidannya moneti kubika iz chislovimi poznachennyami na jogo granyah znachennya dovzhini stribkiv sportsmena u poslidovnih sprobah tosho Vipadkova velichina odne z osnovnih ponyat teoriyi jmovirnostej Vipadkovoyu velichinoyu mozhna nazvati bud yaku ne obov yazkovo chiselnu zminnu x znachennya yakoyi utvoryuyut mnozhinu vipadkovih elementarnih podij h U viglyadi funkciyi vipadkova velichina povinna buti vimirnoyu Zazvichaj rezultati cih viprobuvan zalezhat vid deyakih fizichnih zminnih yaki ne mayut chitkoyi viznachenosti Napriklad pri pidkidanni zvichajnoyi moneti kincevij rezultat vpade vona aversom chi reversom zalezhit vid neviznachenih fizichnih parametriv Yakij rezultat bude zreshtoyu sposterigatisya ye nepevnim Oblastyu viznachennya vipadkovoyi velichini ye mnozhina mozhlivih rezultativ U vipadku z monetoyu rozglyadayut lishe dva mozhlivih rezultatom vona vpade odniyeyu z dvoh storin Vipadkova velichina viznachayetsya yak funkciya yaka vidobrazhaye rezultati u viglyadi chislovih velichin mitok sho zazvichaj zadayutsya dijsnimi chislami U comu vipadku isnuye procedura prisvoyennya chiselnogo znachennya kozhnomu mozhlivomu rezultatu eksperimentu i na vidminu vid imenuvannya nazvami cya procedura sama po sobi ne ye vipadkovoyu i ne ye zminnoyu Te sho ye vipadkovim ce neustalenij fizichnij proces yakij opisuye yak padaye moneta i neviznachenist rezultatu yakij bude sposterigatisya v konkretnij moment OznachennyaVipadkovoyu velichinoyu ye bud yaka ne obov yazkovo chislova zminna X displaystyle X znachennya yakoyi x X displaystyle x X utvoryuyut mnozhinu x X displaystyle left x X right elementarnih podij abo inshimi slovami poznachayut tochki v prostori vibirok Vidpovidnij rozpodil imovirnostej nazivayetsya rozpodilom vipadkovoyi velichini X displaystyle X Mnozhina x X displaystyle left x X right elementarnih podij yavlyaye soboyu mozhlivi znachennya vipadkovoyi velichini X displaystyle X nazivayetsya oblastyu znachen ciyeyi velichini VlastivostiVipadkova velichina X ce vimirna funkciya viznachena na danomu vimirnomu prostori W F displaystyle Omega mathcal F tobto vona viznachayetsya shlyahom zistavlennya kozhnoyi elementarnoyi podiyi z deyakim dijsnim chislom Bilsh formalno X W R displaystyle X Omega rightarrow mathbb R nazivayetsya vipadkovoyu velichinoyu yaksho A B R X 1 A F displaystyle forall A subset mathcal B mathbb R X 1 A subset mathcal F de B R displaystyle mathcal B mathbb R s displaystyle sigma algebra Borelevih mnozhin na R displaystyle mathbb R Nehaj x1 x2 znachennya vipadkovoyi velichini X Odne i te same znachennya xj mozhe vidpovidati vzagali kazhuchi riznim elementarnim podiyam Mnozhina usih cih elementarnih podij utvoryuye skladenu vipadkovu podiyu sho polyagaye v tomu sho X xj Jmovirnist ciyeyi podiyi poznachayetsya P X xj displaystyle P mathbf X x j Sistema rivnyan P X xj f xj displaystyle P mathbf X x j f x j viznachaye rozpodil jmovirnostej slid vidriznyati vid funkciyi rozpodilu jmovirnostej vipadkovoyi velichini X Ochevidno sho f xj 0 displaystyle f x j geq 0 ta f xj 1 displaystyle sum f x j 1 Yaksho dvi abo bilshe vipadkovih velichini X1 X2 Xn viznacheno na odnomu prostori elementarnih podij to yih spilnij rozpodil zadayetsya sistemoyu rivnyan v yakih vsim kombinaciyam X1 xj1 displaystyle mathbf X 1 x j 1 X2 xj2 displaystyle mathbf X 2 x j 2 i t d priznachayutsya viznacheni jmovirnosti Vipadkovi velichini nazivayutsya nezalezhnimi yaksho dlya dovilnoyi kombinaciyi znachen xj1 displaystyle x j 1 xj2 displaystyle x j 2 xjn displaystyle x j n vikonuyetsya rivnist P X1 xj1 X2 xj2 Xn xjn P X1 xj1 P X2 xj2 P Xn xjn displaystyle P mathbf X 1 x j 1 mathbf X 2 x j 2 dots mathbf X n x j n P mathbf X 1 x j 1 P mathbf X 2 x j 2 dots P mathbf X n x j n Tobto yaksho Xk zalezhit lishe vid k go viprobuvannya to vipadkovi velichini X1 X2 Xnvzayemno nezalezhni Jmovirnist vipadkovoyi velichiniJmovirnist vipadkovoyi velichini X displaystyle X dorivnyuye integralu jmovirnostej vzyatomu po yiyi oblasti znachen P X P xmin lt X lt xmax P z1 lt Z lt z2 12p z1z2e z2 2dz displaystyle P X P x min lt X lt x max P z 1 lt Z lt z 2 frac 1 2 pi int z 1 z 2 e z 2 2 dz de z1 xmin ms displaystyle z 1 frac x min mu sigma z2 xmax ms displaystyle z 2 frac x max mu sigma granichni znachennya normovanoyi velichini Z displaystyle Z m displaystyle mu ce serednye znachennya velichini X displaystyle X s displaystyle sigma standartne vidhilennya ciyeyi velichini Tipi vipadkovih velichin ta yih prikladiRozriznyayut dva tipi vipadkovih velichin diskretni i neperervni Mnozhina znachen diskretnoyi velichini mozhe buti perelichena zazdalegid Mnozhina znachen neperervnoyi bezperervnoyi vipadkovoyi velichin ne mozhe buti perelichena zazdalegid vona bezperervno zapovnyuye deyakij promizhok abo kilka promizhkiv Diskretna vipadkova velichina U eksperimenti mozhut navmannya obirati lyudinu i odniyeyu vipadkovoyu velichinoyu mozhe buti zrist ciyeyi lyudini Z matematichnoyi tochki zoru vipadkova velichina zadayetsya funkciyeyu yaka zobrazhaye lyudinu u zrist lyudini Z vipadkovoyu velichinoyu pov yazanij rozpodil jmovirnostej yakij dozvolyaye rozrahuvati jmovirnist sho zrist bude vidpovidati deyakij pidmnozhini mozhlivih znachen napriklad jmovirnist togo sho zrist znahoditimetsya v mezhah vid 180 do 190 sm abo jmovirnist sho zrist stanovit menshe 150 abo bilshe 200 sm Inshoyu vipadkovoyu velichinoyu mozhe buti vidomist pro te skilki v lyudini ditej ce diskretna vipadkova velichina ne vid yemnih cilih chisel Vona dozvolyaye rozrahovuvati jmovirnosti dlya okremih cilih znachen funkciyu masovoyi imovirnosti FMI yak dlya okremih znachen tak i dlya mnozhini znachen vklyuchayuchi neskinchenni mnozhini Napriklad podiyeyu yaka nas cikavit mozhe buti parna kilkist ditej Yak dlya skinchennoyi tak i dlya neskinchennoyi mnozhini podij yih imovirnosti mozhna znajti za dopomogoyu dodavannya funkcij masovoyi imovirnosti elementiv takim chinom imovirnist togo sho kilkist ditej ye parnoyu ye neskinchennoyu sumoyu FMI 0 FMI 2 FMI 4 displaystyle text FMI 0 text FMI 2 text FMI 4 cdots Priklad Pidkidannya moneti Mozhlivi rezultati odnogo pidkidannya moneti mozhna opisati nastupnim prostorom variantiv W avers revers displaystyle Omega text avers text revers Mi mozhemo zadati vipadkovu velichinu dijsnih znachen Y displaystyle Y yaka modelyuye vinagorodu v 1 za uspishnu stavku na te sho vipade avers nastupnim chinom Y w 1 yaksho w avers 0 yaksho w revers displaystyle Y omega begin cases 1 amp text yaksho omega text avers 6pt 0 amp text yaksho omega text revers end cases Dlya moneti Y matime funkciyu jmovirnostej fY displaystyle f Y sho zadayetsya yak fY y 12 yaksho y 1 12 yaksho y 0 displaystyle f Y y begin cases tfrac 1 2 amp text yaksho y 1 6pt tfrac 1 2 amp text yaksho y 0 end cases Neperervna vipadkova velichina Prikladom neperervnoyi vipadkovoyi velichini mozhe buti ruletka sho obertayetsya i mozhe vibrati bud yakij gorizontalnij napryam Todi znachennyami yaki prijmaye vipadkova velichina ye rizni chislovi znachennya napryamiv Mi mozhemo zadati ci napryami yak Pivnich Zahid Pivden Shid Pivnichnij shid i t d Odnak zruchnishe zobraziti prostir vipadkovoyi velichini za dopomogoyu dijsnih chisel sho zadayut gradusi povorotu vid Pivnochi za godinnikovoyu strilkoyu Vipadkova zminna todi prijmatime znachennya iz intervalu 0 360 de vsi chastini diapazonu ye rivnopravnimi U takomu vipadku X kut povorotu Kozhne dijsne chislo maye jmovirnist buti obranim takoyu sho dorivnyuye nulyu ale bud yakomu diapazonu znachen mozhna zadati dodatnu jmovirnist Napriklad jmovirnist sho bude vibrane chislo iz diapazonu 0 180 dorivnyuye 1 2 Zamist togo shob govoriti pro funkciyu masovoyi imovirnosti mi budemo govoriti sho shilnist imovirnosti dlya X stanovit 1 360 Jmovirnist pidmnozhini diapazonu 0 360 mozhna rozrahuvati pomnozhivshi rozmir mnozhini na 1 360 V zagalnomu vipadku jmovirnist dlya mnozhini dlya zadanoyi neperervnoyi vipadkovoyi velichini mozhna rozrahuvati za dopomogoyu integruvannya shilnosti po zadanij mnozhini Div takozhPortal Matematika Rozpodil jmovirnostej Funkciya rozpodilu jmovirnostej Shilnist rozpodilu jmovirnostej Absolyutno neperervna vipadkova velichina Diskretna vipadkova velichina Matematichne spodivannya Dispersiya vipadkovoyi velichini Vipadkova perestanovka Vipadkovij proces Vibirka Koeficiyent kovariaciyi Koeficiyent korelyaciyi Nerivnist Chebisheva Nerivnist Kolmogorova Normalnij rozpodil Vimiryuvannya Psevdovipadkova poslidovnistDzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Feller V Vvedenie v teoriyu veroyatnostej i ee prilozheniya 3 e M Mir 1984 T 1 S 528 ros Primitki 2007 Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika vid 2 ge pererob i dop Kiyiv Znannya s 446 S 91 Blitzstein Joe Hwang Jessica 2014 Introduction to Probability CRC Press ISBN 9781466575592 Korn G Korn T Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov M Nauka 1968 S 484 Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi