У дослідженнях імовірності для заданих щонайменше двох випадкових змінних X, Y, …, що визначені на ймовірнісному просторі, спі́льний розпо́діл імові́рності для X, Y, … є розподілом імовірності, що дає ймовірності того, що кожна з X, Y, … влучає в певний діапазон або дискретний набір значень, визначених для цієї змінної. У випадку лише двох випадкових змінних це називається двови́мірним розпо́ділом, але це поняття узагальнюється на будь-яке число випадкових змінних, даючи багатови́мірний розпо́діл.
Спільний розподіл ймовірності може бути виражено або в термінах спільної кумулятивної функції розподілу, або в термінах спільної функції густини ймовірності (у випадку [en]) чи спільної функції маси ймовірності (у випадку дискретних змінних). Їх у свою чергу може бути застосовано для знаходження двох інших типів розподілів: відособленого розподілу, що дає ймовірності для будь-якої однієї зі змінних без посилання на жодні конкретні діапазони значень інших змінних, та умовного розподілу ймовірності, що дає ймовірності будь-якої підмножини змінних за умови конкретних значень решти змінних.
Приклади
Підкидання монет
Розгляньмо підкидання двох [en]; нехай A та B є дискретними випадковими змінними, пов'язаними з результатами підкидань першої та другої монети відповідно. Якщо монета показує аверс, то пов'язана випадкова змінна є 1, інакше 0. Спільна функція маси ймовірності A та B визначає ймовірності для кожної з пар результатів. Усіма можливими результатами є
Оскільки кожен з результатів є однаково правдоподібним, то спільною функцією маси ймовірності стає
де . Оскільки підкидання монет є незалежними, спільна функція маси ймовірності є добутком відособлених:
.
Загалом, кожне підкидання монети є пробою Бернуллі, й послідовність підкидань слідує розподілові Бернуллі.
Кидання грального кубика
Розгляньмо кидання правдивого грального кубика, і нехай A = 1, якщо число є парним (тобто, 2, 4, або 6), а інакше A = 0. До того ж, нехай B = 1, якщо число є простим (тобто, 2, 3, або 5), а інакше B = 0.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|---|
A | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
B | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Тоді спільним розподілом A та B, вираженим як функція маси ймовірності, є
Ці ймовірності обов'язково дають в сумі 1, оскільки ймовірністю того, що трапиться якась комбінація A та B, є 1.
Функція густини чи функція маси
Дискретний випадок
Спільною функцією маси ймовірності двох дискретних випадкових змінних є
Узагальненням попереднього випадку для двох змінних є спільний розподіл імовірності дискретних випадкових змінних
, яким є
Ця тотожність відома як ланцюгове правило ймовірності.
Оскільки це є ймовірностями, у випадку для двох змінних ми маємо
що узагальнюється для дискретних випадкових змінних
як
Неперервний випадок
Спільна функція густини ймовірності fX,Y(x, y) для неперервних випадкових змінних дорівнює
…де fY|X(y|x) та fX|Y(x|y) дають умовні розподіли Y коли X = x та X коли Y = y відповідно, а fX(x) та fY(y) дають відособлені розподіли X та Y відповідно.
Знов-таки, оскільки вони є розподілами ймовірності, маємо
Змішаний випадок
Змішану спільну густину може бути визначено, коли одна випадкова змінна X є неперервною, а інша випадкова змінна Y є дискретною, або навпаки, як
Один з прикладів ситуації, в якій ми можемо хотіти знаходити сукупний розподіл однієї випадкової змінної, що є неперервною, та іншої випадкової змінної, що є дискретною, виникає, коли ми хочемо використовувати логістичну регресію в передбаченні ймовірності двійкового результату Y в залежності від неперервно розподіленого результату X. Ми змушені використовувати «змішану» спільну густину при знаходженні сукупного розподілу цього двійкового результату, оскільки вхідні змінні (X, Y) початково було визначено таким чином, що неможливо одночасно призначити їм або функцію густини ймовірності, або функцію маси ймовірності. Формально fX,Y(x, y) є функцією густини ймовірності (X, Y) з урахуванням добутку мір відповідних [en] X та Y. Будь-який з цих двох розкладів може потім бути використано для відновлення спільної кумулятивної функції розподілу:
Це визначення узагальнюється до суміші довільного числа дискретних та неперервних випадкових змінних.
Додаткові властивості
Спільний розподіл незалежних змінних
Дві дискретні випадкові змінні та
є незалежними, якщо спільна функція маси ймовірності задовольняє
для всіх x та y.
Аналогічно, дві абсолютно неперервні випадкові змінні є незалежними, якщо
для всіх x та y. Це означає, що отримання будь-якої інформації про значення однієї або більше випадкових змінних веде до такого умовного розподілу будь-якої іншої змінної, що є тотожним її безумовному (відособленому) розподілові; таким чином, жодна змінна не надає жодної інформації про будь-яку іншу змінну.
Спільний розподіл для умовно залежних змінних
Якщо підмножина змінних
є [en] від іншої підмножини
цих змінних, то спільний розподіл
дорівнює
. Таким чином, його може бути ефективно представлено розподілами нижчої розмірності
та
. Такі відносини умовної незалежності може бути представлено баєсовою мережею.
Кумулятивний розподіл
Спільний розподіл імовірності для пари випадкових змінних може бути виражено в термінах кумулятивної функції розподілу
Важливі розподіли з власними назвами
Спільні розподіли з власними назвами, що часто виникають у статистиці, включають багатовимірний нормальний розподіл, [en], поліноміальний розподіл, [en], [en] та еліптичний розподіл.
Див. також
- Баєсове програмування
- [en]
- Умовна ймовірність
- Копула
- [en]
- Багатовимірна статистика
- [en]
Посилання
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Joint distribution, Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Multi-dimensional distribution, Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- Joint continuous density function на PlanetMath (англ.)
- Mathworld: Joint Distribution Function [ 27 травня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U doslidzhennyah imovirnosti dlya zadanih shonajmenshe dvoh vipadkovih zminnih X Y sho viznacheni na jmovirnisnomu prostori spi lnij rozpo dil imovi rnosti dlya X Y ye rozpodilom imovirnosti sho daye jmovirnosti togo sho kozhna z X Y vluchaye v pevnij diapazon abo diskretnij nabir znachen viznachenih dlya ciyeyi zminnoyi U vipadku lishe dvoh vipadkovih zminnih ce nazivayetsya dvovi mirnim rozpo dilom ale ce ponyattya uzagalnyuyetsya na bud yake chislo vipadkovih zminnih dayuchi bagatovi mirnij rozpo dil X displaystyle X Y displaystyle Y p X displaystyle p X p Y displaystyle p Y Pokazano bagato vipadkovih sposterezhen chorni zi spilnogo rozpodilu jmovirnosti Takozh pokazano j vidosobleni gustini Spilnij rozpodil jmovirnosti mozhe buti virazheno abo v terminah spilnoyi kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu abo v terminah spilnoyi funkciyi gustini jmovirnosti u vipadku en chi spilnoyi funkciyi masi jmovirnosti u vipadku diskretnih zminnih Yih u svoyu chergu mozhe buti zastosovano dlya znahodzhennya dvoh inshih tipiv rozpodiliv vidosoblenogo rozpodilu sho daye jmovirnosti dlya bud yakoyi odniyeyi zi zminnih bez posilannya na zhodni konkretni diapazoni znachen inshih zminnih ta umovnogo rozpodilu jmovirnosti sho daye jmovirnosti bud yakoyi pidmnozhini zminnih za umovi konkretnih znachen reshti zminnih PrikladiPidkidannya monet Rozglyanmo pidkidannya dvoh en nehaj A ta B ye diskretnimi vipadkovimi zminnimi pov yazanimi z rezultatami pidkidan pershoyi ta drugoyi moneti vidpovidno Yaksho moneta pokazuye avers to pov yazana vipadkova zminna ye 1 inakshe 0 Spilna funkciya masi jmovirnosti A ta B viznachaye jmovirnosti dlya kozhnoyi z par rezultativ Usima mozhlivimi rezultatami ye A 0 B 0 A 0 B 1 A 1 B 0 A 1 B 1 displaystyle A 0 B 0 A 0 B 1 A 1 B 0 A 1 B 1 Oskilki kozhen z rezultativ ye odnakovo pravdopodibnim to spilnoyu funkciyeyu masi jmovirnosti staye P A B 1 4 displaystyle P A B 1 4 de A B 0 1 displaystyle A B in 0 1 Oskilki pidkidannya monet ye nezalezhnimi spilna funkciya masi jmovirnosti ye dobutkom vidosoblenih P A B P A P B displaystyle P A B P A P B Zagalom kozhne pidkidannya moneti ye proboyu Bernulli j poslidovnist pidkidan sliduye rozpodilovi Bernulli Kidannya gralnogo kubika Rozglyanmo kidannya pravdivogo gralnogo kubika i nehaj A 1 yaksho chislo ye parnim tobto 2 4 abo 6 a inakshe A 0 Do togo zh nehaj B 1 yaksho chislo ye prostim tobto 2 3 abo 5 a inakshe B 0 1 2 3 4 5 6 A 0 1 0 1 0 1 B 0 1 1 0 1 0 Todi spilnim rozpodilom A ta B virazhenim yak funkciya masi jmovirnosti ye P A 0 B 0 P 1 1 6 P A 1 B 0 P 4 6 2 6 displaystyle mathrm P A 0 B 0 P 1 frac 1 6 mathrm P A 1 B 0 P 4 6 frac 2 6 P A 0 B 1 P 3 5 2 6 P A 1 B 1 P 2 1 6 displaystyle mathrm P A 0 B 1 P 3 5 frac 2 6 mathrm P A 1 B 1 P 2 frac 1 6 dd dd Ci jmovirnosti obov yazkovo dayut v sumi 1 oskilki jmovirnistyu togo sho trapitsya yakas kombinaciya A ta B ye 1 Funkciya gustini chi funkciya masiDiskretnij vipadok Spilnoyu funkciyeyu masi jmovirnosti dvoh diskretnih vipadkovih zminnih X Y displaystyle X Y ye P X x Y y P Y y X x P X x P X x Y y P Y y displaystyle begin aligned mathrm P X x Y y mathrm P Y y mid X x cdot mathrm P X x mathrm P X x mid Y y cdot mathrm P Y y end aligned Uzagalnennyam poperednogo vipadku dlya dvoh zminnih ye spilnij rozpodil imovirnosti n displaystyle n diskretnih vipadkovih zminnih X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n yakim ye P X 1 x 1 X n x n P X 1 x 1 P X 2 x 2 X 1 x 1 P X 3 x 3 X 1 x 1 X 2 x 2 P X n x n X 1 x 1 X 2 x 2 X n 1 x n 1 displaystyle begin aligned mathrm P X 1 x 1 dots X n x n amp mathrm P X 1 x 1 amp qquad times mathrm P X 2 x 2 mid X 1 x 1 amp quad qquad times mathrm P X 3 x 3 mid X 1 x 1 X 2 x 2 times dots times P X n x n mid X 1 x 1 X 2 x 2 dots X n 1 x n 1 end aligned Cya totozhnist vidoma yak lancyugove pravilo jmovirnosti Oskilki ce ye jmovirnostyami u vipadku dlya dvoh zminnih mi mayemo i j P X x i Y y j 1 displaystyle sum i sum j mathrm P X x i Y y j 1 sho uzagalnyuyetsya dlya n displaystyle n diskretnih vipadkovih zminnih X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 dots X n yak i j k P X 1 x 1 i X 2 x 2 j X n x n k 1 displaystyle sum i sum j dots sum k mathrm P X 1 x 1i X 2 x 2j dots X n x nk 1 Neperervnij vipadok Spilna funkciya gustini jmovirnosti fX Y x y dlya neperervnih vipadkovih zminnih dorivnyuye f X Y x y f Y X y x f X x f X Y x y f Y y displaystyle f X Y x y f Y mid X y mid x f X x f X mid Y x mid y f Y y de fY X y x ta fX Y x y dayut umovni rozpodili Y koli X x ta X koli Y y vidpovidno a fX x ta fY y dayut vidosobleni rozpodili X ta Y vidpovidno Znov taki oskilki voni ye rozpodilami jmovirnosti mayemo x y f X Y x y d y d x 1 displaystyle int x int y f X Y x y dy dx 1 Zmishanij vipadok Zmishanu spilnu gustinu mozhe buti viznacheno koli odna vipadkova zminna X ye neperervnoyu a insha vipadkova zminna Y ye diskretnoyu abo navpaki yak f X Y x y f X Y x y P Y y P Y y X x f X x displaystyle begin aligned f X Y x y f X mid Y x mid y mathrm P Y y mathrm P Y y mid X x f X x end aligned Odin z prikladiv situaciyi v yakij mi mozhemo hotiti znahoditi sukupnij rozpodil odniyeyi vipadkovoyi zminnoyi sho ye neperervnoyu ta inshoyi vipadkovoyi zminnoyi sho ye diskretnoyu vinikaye koli mi hochemo vikoristovuvati logistichnu regresiyu v peredbachenni jmovirnosti dvijkovogo rezultatu Y v zalezhnosti vid neperervno rozpodilenogo rezultatu X Mi zmusheni vikoristovuvati zmishanu spilnu gustinu pri znahodzhenni sukupnogo rozpodilu cogo dvijkovogo rezultatu oskilki vhidni zminni X Y pochatkovo bulo viznacheno takim chinom sho nemozhlivo odnochasno priznachiti yim abo funkciyu gustini jmovirnosti abo funkciyu masi jmovirnosti Formalno fX Y x y ye funkciyeyu gustini jmovirnosti X Y z urahuvannyam dobutku mir vidpovidnih en X ta Y Bud yakij z cih dvoh rozkladiv mozhe potim buti vikoristano dlya vidnovlennya spilnoyi kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu F X Y x y t y s x f X Y s t d s displaystyle begin aligned F X Y x y amp sum limits t leq y int s infty x f X Y s t ds end aligned Ce viznachennya uzagalnyuyetsya do sumishi dovilnogo chisla diskretnih ta neperervnih vipadkovih zminnih Dodatkovi vlastivostiSpilnij rozpodil nezalezhnih zminnih Dvi diskretni vipadkovi zminni X displaystyle X ta Y displaystyle Y ye nezalezhnimi yaksho spilna funkciya masi jmovirnosti zadovolnyaye P X x Y y P X x P Y y displaystyle P X x Y y P X x cdot P Y y dlya vsih x ta y Analogichno dvi absolyutno neperervni vipadkovi zminni ye nezalezhnimi yaksho f X Y x y f X x f Y y displaystyle f X Y x y f X x cdot f Y y dlya vsih x ta y Ce oznachaye sho otrimannya bud yakoyi informaciyi pro znachennya odniyeyi abo bilshe vipadkovih zminnih vede do takogo umovnogo rozpodilu bud yakoyi inshoyi zminnoyi sho ye totozhnim yiyi bezumovnomu vidosoblenomu rozpodilovi takim chinom zhodna zminna ne nadaye zhodnoyi informaciyi pro bud yaku inshu zminnu Spilnij rozpodil dlya umovno zalezhnih zminnih Yaksho pidmnozhina A displaystyle A zminnih X 1 X n displaystyle X 1 cdots X n ye en vid inshoyi pidmnozhini B displaystyle B cih zminnih to spilnij rozpodil P X 1 X n displaystyle mathrm P X 1 ldots X n dorivnyuye P B P A B displaystyle P B cdot P A mid B Takim chinom jogo mozhe buti efektivno predstavleno rozpodilami nizhchoyi rozmirnosti P B displaystyle P B ta P A B displaystyle P A mid B Taki vidnosini umovnoyi nezalezhnosti mozhe buti predstavleno bayesovoyu merezheyu Kumulyativnij rozpodil Spilnij rozpodil imovirnosti dlya pari vipadkovih zminnih mozhe buti virazheno v terminah kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu F x y P X x Y y displaystyle F x y P X leq x Y leq y Vazhlivi rozpodili z vlasnimi nazvamiSpilni rozpodili z vlasnimi nazvami sho chasto vinikayut u statistici vklyuchayut bagatovimirnij normalnij rozpodil en polinomialnij rozpodil en en ta eliptichnij rozpodil Div takozhBayesove programuvannya en Umovna jmovirnist Kopula en Bagatovimirna statistika en PosilannyaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Hazewinkel Michiel red 2001 Joint distribution Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl Hazewinkel Michiel red 2001 Multi dimensional distribution Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl Joint continuous density function na PlanetMath angl Mathworld Joint Distribution Function 27 travnya 2016 u Wayback Machine angl