Багатовимірний нормальний розподіл (чи багатовимірний гаусів розподіл) у теорії ймовірностей — це узагальнення одновимірного нормального розподілу для випадку із багатьма вимірами. Відповідно до одного із визначень стверджують, що вектор випадкових величин має k-варіативний нормальний розподіл якщо кожна лінійна комбінація його k компонент має одновимірний нормальний розподіл. В основному його важливість випливає із узагальнення центральної граничної теореми для багатьох вимірів. Багатовимірний нормальний розподіл часто використовують аби описати, принаймні наближено, будь-яку множину (можливо) корельованих випадкових величин із дійсними значенням, кожна з яких скупчується довкола середнього значення.
Багатовимірний нормальний розподіл | |
---|---|
![]() Множина точок, що представляють елементарні події багатовимірного нормального розподілу із і , разом з якими показано еліпс розміром в 3-сігми, два маргінальні розподіли і дві 1-вимірні гістограми. | |
Параметри | μ ∈ Rk — коефіцієнт зсуву Σ ∈ Rk×k — коваріаційна матриця (додатноозначена матриця) |
Носій функції | x ∈ μ + span(Σ) ⊆ Rk |
Розподіл імовірностей | існує лише за умови, що Σ є додатньоозначена матриця |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | (не має аналітичного виразу) |
Середнє | μ |
Мода | μ |
Дисперсія | Σ |
Ентропія | |
Твірна функція моментів (mgf) | |
Характеристична функція |
Позначення і параметризація
Багатовимірний нормальний розподіл k-вимірного вектору випадкових величин X = [X1, X2, …, Xk]T може записуватися у формі наступної нотації:
або із метою явно зазначити, що X є k-вимірним:
із k-вимірним вектором середніх значень
Визначення
Випадковий вектор має багатомірний нормальний розподіл, якщо виконується одне з наступних еквівалентних умов:
- Довільна лінійна комбінація компонентів вектора
має нормальний розподіл є константою.
- Існує вектор незалежних стандартних нормальних випадкових величин
, дійсний вектор
і матриця
розмірності
, такі що:
.
- Існує вектор
і додатньо визначена симетрична матриця
розмірності
, такі що характеристична функція вектора
має вид:
.
Зауваження
- Якщо розглядати тільки розподілу з невиродженою коваріаційною матрицею, то еквівалентним буде також наступне визначення:
- Існує вектор
і додатно визначена симетрична матриця
розмірності
, такі що щільність ймовірності вектора
має вид:
,
- де
— визначник матриці
, а
— матриця зворотна до
- Вектор
є вектором середніх значень
, а
— його коваріаційна матриця
- У випадку
, багатовимірний нормальний розподіл зводиться до звичайного нормального розподілу.
- Якщо випадковий вектор
має багатовимірний нормальний розподіл, то пишуть
.
Властивості
- Якщо вектор
має багатовимірний нормальний розподіл, то його компоненти
мають одновимірний нормальний розподіл. Зворотне, узагалі говорячи, невірно (див. приклад [1] [ 15 грудня 2012 у Wayback Machine.])!
- Якщо випадкові величини
мають одномірний нормальний розподіл і спільно незалежні, те випадковий вектор
має багатомірний нормальний розподіл. Матриця коваріацій
такого вектора діагональна.
- Якщо
має багатомірний нормальний розподіл, і його компоненти попарно некорельовані, то вони незалежні. Однак, якщо тільки компоненти
мають одномірний нормальний розподіл і попарно не корелюють, те звідси не випливає, що вони незалежні.
- Контрприклад. Нехай
, а
з рівними ймовірностями. Тоді якщо
, те кореляція
і
дорівнює нулю. Однак, ці випадкові величини залежні.
- Багатомірний нормальний розподіл стійко щодо лінійних перетворень. Якщо
, а
— довільна матриця розмірності
, то
.
Функція густини
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelUzTDAxMWJIUnBkbUZ5YVdGMFpWOUhZWFZ6YzJsaGJpNXdibWN2TXpBd2NIZ3RUWFZzZEdsMllYSnBZWFJsWDBkaGRYTnphV0Z1TG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Не вироджений випадок
Багатовимірний нормальний розподіл називають "не виродженим" коли його симетрична матриця коваріацій є додатньоозначеною. В такому випадку розподіл має функцію густини:
де це k-вимірний вектор стовпець дійсних чисел і
це детермінант для
, відомий також як узагальнена дисперсія. Вищенаведене рівняння спрощується до аналогічного рівняння, що відповідає одновимірному нормальному розподілу якщо
є матрицею розміром
(тобто єдиним дійсним числом).
Циркулярно-симетрична версія комплексного нормального розподілу має дещо відмінну форму.
Кожен окіл ізо-густини—окіл точок в k-вимірному просторі, в кожній з яких буде деяке стале значення густини —є еліпсом або його узагальненням для більших вимірів; оскільки багатовимірний нормальний розподіл є особливим випадком еліптичних розподілів.
В описовій статистиці відомо як відстань Махаланобіса, яка задає відстань обраної точки
від середнього
. Зауважте, що у випадку коли
, розподіл зводиться до одновимірного нормального розподілу, і відстань Махаланобіса зводиться до абсолютного значення стандартної оцінки.
Біваріативний випадок
У 2-вимірному несингулярному випадку (k = rank(Σ) = 2), функція густини імовірності для вектору [X Y]′ є наступною:
де ρ — кореляція між X і Y і де і
. В такому випадку,
У біваріативному випадку, перша еквівалентна умова встановлення нормальності багатовимірного розподілу може бути менш сувора: для того, щоб зробити висновок чи є вектор [X Y]′ біваріативно нормальним достатньо перевірити чи зліченно велика кількість відмінних лінійних комбінацій X і Y є нормально розподілені.
Біваріативні околи ізо-густини на площині x,y є еліпсами. Із збільшенням абсолютного значення коефіцієнту кореляції ρ, ці околи будуть сплющуватися до наступної прямої :
Це пояснюється тим, що якщо в даному виразі sgn(ρ) замінити на ρ, воно є [en] для Y, що задане значенням X.
Багатомірна центральна гранична теорема
Нехай — послідовність незалежних і однаково розподілених випадкових векторів, кожний з який має середнє
і невироджену матрицю коваріацій
. Позначимо через
вектор часткових сум. Тоді при
має місце збіжність розподілів векторів
, де
має розподіл
. В умовах багатовимірної центральної граничної теореми розподіл будь-яких неперервних функцій
збігається до розподілу
. Як
нам буде потрібна тільки
.
Наслідок
В умовах багатовимірної центральної граничної теореми має місце збіжність .
Примітки
- UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution [ 23 червня 2016 у Wayback Machine.], 21.5:"Finding the Density".
- Hamedani, G. G.; Tata, M. N. (1975). On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables. The American Mathematical Monthly. 82 (9): 913—915. doi:10.2307/2318494.
- Wyatt, John. (PDF). Lecture notes course on applied probability. Архів оригіналу (PDF) за 10 жовтня 2015. Процитовано 23 січня 2012.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Multivariate normal distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (грудень 2021)
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bagatovimirnij normalnij rozpodil chi bagatovimirnij gausiv rozpodil u teoriyi jmovirnostej ce uzagalnennya odnovimirnogo normalnogo rozpodilu dlya vipadku iz bagatma vimirami Vidpovidno do odnogo iz viznachen stverdzhuyut sho vektor vipadkovih velichin maye k variativnij normalnij rozpodil yaksho kozhna linijna kombinaciya jogo k komponent maye odnovimirnij normalnij rozpodil V osnovnomu jogo vazhlivist viplivaye iz uzagalnennya centralnoyi granichnoyi teoremi dlya bagatoh vimiriv Bagatovimirnij normalnij rozpodil chasto vikoristovuyut abi opisati prinajmni nablizheno bud yaku mnozhinu mozhlivo korelovanih vipadkovih velichin iz dijsnimi znachennyam kozhna z yakih skupchuyetsya dovkola serednogo znachennya Bagatovimirnij normalnij rozpodilMnozhina tochok sho predstavlyayut elementarni podiyi bagatovimirnogo normalnogo rozpodilu iz m 0 0 displaystyle boldsymbol mu left begin smallmatrix 0 0 end smallmatrix right i S 1 3 5 3 5 2 displaystyle boldsymbol Sigma left begin smallmatrix 1 amp 3 5 3 5 amp 2 end smallmatrix right razom z yakimi pokazano elips rozmirom v 3 sigmi dva marginalni rozpodili i dvi 1 vimirni gistogrami Parametri m Rk koeficiyent zsuvu S Rk k kovariacijna matricya dodatnooznachena matricya Nosij funkciyi x m span S RkRozpodil imovirnostej det 2 p S 1 2 e 1 2 x m S 1 x m displaystyle operatorname det 2 pi boldsymbol Sigma frac 1 2 e frac 1 2 mathbf x boldsymbol mu boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu isnuye lishe za umovi sho S ye dodatnooznachena matricyaFunkciya rozpodilu jmovirnostej cdf ne maye analitichnogo virazu Serednye mModa mDispersiya SEntropiya 1 2 ln det 2 p e S displaystyle frac 1 2 ln operatorname det left 2 pi mathrm e boldsymbol Sigma right Tvirna funkciya momentiv mgf exp m t 1 2 t S t displaystyle exp Big boldsymbol mu mathbf t tfrac 1 2 mathbf t boldsymbol Sigma mathbf t Big Harakteristichna funkciya exp i m t 1 2 t S t displaystyle exp Big i boldsymbol mu mathbf t tfrac 1 2 mathbf t boldsymbol Sigma mathbf t Big Poznachennya i parametrizaciyaBagatovimirnij normalnij rozpodil k vimirnogo vektoru vipadkovih velichin X X1 X2 Xk T mozhe zapisuvatisya u formi nastupnoyi notaciyi X N m S displaystyle mathbf X sim mathcal N boldsymbol mu boldsymbol Sigma abo iz metoyu yavno zaznachiti sho X ye k vimirnim X N k m S displaystyle mathbf X sim mathcal N k boldsymbol mu boldsymbol Sigma iz k vimirnim vektorom serednih znachen m E X E X 1 E X 2 E X k T displaystyle boldsymbol mu operatorname E mathbf X operatorname E X 1 operatorname E X 2 ldots operatorname E X k rm T i matriceyu kovariacij k k displaystyle k times k S E X m X m T Cov X i X j 1 i j k displaystyle boldsymbol Sigma operatorname E mathbf X boldsymbol mu mathbf X boldsymbol mu rm T operatorname Cov X i X j 1 leq i j leq k ViznachennyaVipadkovij vektor X X 1 X n W R n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top Omega to mathbb R n maye bagatomirnij normalnij rozpodil yaksho vikonuyetsya odne z nastupnih ekvivalentnih umov Dovilna linijna kombinaciya komponentiv vektora i 1 n a i X i displaystyle sum limits i 1 n a i X i maye normalnij rozpodil ye konstantoyu Isnuye vektor nezalezhnih standartnih normalnih vipadkovih velichin Z Z 1 Z m displaystyle mathbf Z Z 1 ldots Z m top dijsnij vektor m m 1 m n displaystyle mathbf mu mu 1 ldots mu n top i matricya A displaystyle mathbf A rozmirnosti n m displaystyle n times m taki sho X A Z m displaystyle mathbf X mathbf A mathbf Z mathbf mu Isnuye vektor m R n displaystyle mathbf mu in mathbb R n i dodatno viznachena simetrichna matricya S displaystyle mathbf Sigma rozmirnosti n n displaystyle n times n taki sho harakteristichna funkciya vektora X displaystyle mathbf X maye vid ϕ X u e i m u 1 2 u S u u R n displaystyle phi mathbf X mathbf u e i mathbf mu top mathbf u frac 1 2 mathbf u top Sigma mathbf u mathbf u in mathbb R n ZauvazhennyaYaksho rozglyadati tilki rozpodilu z nevirodzhenoyu kovariacijnoyu matriceyu to ekvivalentnim bude takozh nastupne viznachennya Isnuye vektor m R n displaystyle mathbf mu in mathbb R n i dodatno viznachena simetrichna matricya S displaystyle mathbf Sigma rozmirnosti n n displaystyle n times n taki sho shilnist jmovirnosti vektora X displaystyle mathbf X maye vid f X x 1 2 p n 2 S 1 2 e 1 2 x m S 1 x m x R n displaystyle f mathbf X mathbf x frac 1 2 pi n 2 vert Sigma vert 1 2 e frac 1 2 mathbf x mathbf mu top Sigma 1 mathbf x mathbf mu mathbf x in mathbb R n dd de S displaystyle vert Sigma vert viznachnik matrici S displaystyle Sigma a S 1 displaystyle Sigma 1 matricya zvorotna do S displaystyle Sigma Vektor m displaystyle mathbf mu ye vektorom serednih znachen X displaystyle mathbf X a S displaystyle Sigma jogo kovariacijna matricya U vipadku n 1 displaystyle n 1 bagatovimirnij normalnij rozpodil zvoditsya do zvichajnogo normalnogo rozpodilu Yaksho vipadkovij vektor X displaystyle mathbf X maye bagatovimirnij normalnij rozpodil to pishut X N m S displaystyle mathbf X sim mathrm N mathbf mu Sigma VlastivostiYaksho vektor X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top maye bagatovimirnij normalnij rozpodil to jogo komponenti X i i 1 n displaystyle X i i 1 ldots n mayut odnovimirnij normalnij rozpodil Zvorotne uzagali govoryachi nevirno div priklad 1 15 grudnya 2012 u Wayback Machine Yaksho vipadkovi velichini X 1 X n displaystyle X 1 ldots X n mayut odnomirnij normalnij rozpodil i spilno nezalezhni te vipadkovij vektor X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top maye bagatomirnij normalnij rozpodil Matricya kovariacij S displaystyle Sigma takogo vektora diagonalna Yaksho X X 1 X n displaystyle mathbf X X 1 ldots X n top maye bagatomirnij normalnij rozpodil i jogo komponenti poparno nekorelovani to voni nezalezhni Odnak yaksho tilki komponenti X i i 1 n displaystyle X i i 1 ldots n mayut odnomirnij normalnij rozpodil i poparno ne korelyuyut te zvidsi ne viplivaye sho voni nezalezhni Kontrpriklad Nehaj X N 0 1 displaystyle X sim mathrm N 0 1 a a 1 displaystyle alpha pm 1 z rivnimi jmovirnostyami Todi yaksho Y a X N 0 1 displaystyle Y alpha X sim mathrm N 0 1 te korelyaciya X displaystyle X i Y displaystyle Y dorivnyuye nulyu Odnak ci vipadkovi velichini zalezhni Bagatomirnij normalnij rozpodil stijko shodo linijnih peretvoren Yaksho X N m S displaystyle mathbf X sim mathrm N mathbf mu Sigma a A displaystyle mathbf A dovilna matricya rozmirnosti m n displaystyle m times n to A X N A m A S A displaystyle mathbf A mathbf X sim mathrm N left mathbf A mathbf mu mathbf A Sigma mathbf A top right Funkciya gustini Spilna funkciya gustini bivariativnogo normalnogo rozpodilu Ne virodzhenij vipadok Bagatovimirnij normalnij rozpodil nazivayut ne virodzhenim koli jogo simetrichna matricya kovariacij S displaystyle boldsymbol Sigma ye dodatnooznachenoyu V takomu vipadku rozpodil maye funkciyu gustini f X x 1 x k exp 1 2 x m T S 1 x m 2 p k S displaystyle begin aligned f mathbf X x 1 ldots x k amp frac exp left frac 1 2 mathbf x boldsymbol mu mathrm T boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu right sqrt 2 pi k boldsymbol Sigma end aligned de x displaystyle mathbf x ce k vimirnij vektor stovpec dijsnih chisel i S det S displaystyle boldsymbol Sigma equiv operatorname det boldsymbol Sigma ce determinant dlya S displaystyle boldsymbol Sigma vidomij takozh yak uzagalnena dispersiya Vishenavedene rivnyannya sproshuyetsya do analogichnogo rivnyannya sho vidpovidaye odnovimirnomu normalnomu rozpodilu yaksho S displaystyle boldsymbol Sigma ye matriceyu rozmirom 1 1 displaystyle 1 times 1 tobto yedinim dijsnim chislom Cirkulyarno simetrichna versiya kompleksnogo normalnogo rozpodilu maye desho vidminnu formu Kozhen okil izo gustini okil tochok v k vimirnomu prostori v kozhnij z yakih bude deyake stale znachennya gustini ye elipsom abo jogo uzagalnennyam dlya bilshih vimiriv oskilki bagatovimirnij normalnij rozpodil ye osoblivim vipadkom eliptichnih rozpodiliv V opisovij statistici x m T S 1 x m displaystyle sqrt mathbf x boldsymbol mu mathrm T boldsymbol Sigma 1 mathbf x boldsymbol mu vidomo yak vidstan Mahalanobisa yaka zadaye vidstan obranoyi tochki x displaystyle mathbf x vid serednogo m displaystyle boldsymbol mu Zauvazhte sho u vipadku koli k 1 displaystyle k 1 rozpodil zvoditsya do odnovimirnogo normalnogo rozpodilu i vidstan Mahalanobisa zvoditsya do absolyutnogo znachennya standartnoyi ocinki Bivariativnij vipadok U 2 vimirnomu nesingulyarnomu vipadku k rank S 2 funkciya gustini imovirnosti dlya vektoru X Y ye nastupnoyu f x y 1 2 p s X s Y 1 r 2 exp 1 2 1 r 2 x m X 2 s X 2 y m Y 2 s Y 2 2 r x m X y m Y s X s Y displaystyle f x y frac 1 2 pi sigma X sigma Y sqrt 1 rho 2 exp left frac 1 2 1 rho 2 left frac x mu X 2 sigma X 2 frac y mu Y 2 sigma Y 2 frac 2 rho x mu X y mu Y sigma X sigma Y right right de r korelyaciya mizh X i Y i de s X gt 0 displaystyle sigma X gt 0 i s Y gt 0 displaystyle sigma Y gt 0 V takomu vipadku m m X m Y S s X 2 r s X s Y r s X s Y s Y 2 displaystyle boldsymbol mu begin pmatrix mu X mu Y end pmatrix quad boldsymbol Sigma begin pmatrix sigma X 2 amp rho sigma X sigma Y rho sigma X sigma Y amp sigma Y 2 end pmatrix U bivariativnomu vipadku persha ekvivalentna umova vstanovlennya normalnosti bagatovimirnogo rozpodilu mozhe buti mensh suvora dlya togo shob zrobiti visnovok chi ye vektor X Y bivariativno normalnim dostatno pereviriti chi zlichenno velika kilkist vidminnih linijnih kombinacij X i Y ye normalno rozpodileni Bivariativni okoli izo gustini na ploshini x y ye elipsami Iz zbilshennyam absolyutnogo znachennya koeficiyentu korelyaciyi r ci okoli budut splyushuvatisya do nastupnoyi pryamoyi y x sgn r s Y s X x m X m Y displaystyle y x operatorname sgn rho frac sigma Y sigma X x mu X mu Y Ce poyasnyuyetsya tim sho yaksho v danomu virazi sgn r zaminiti na r vono ye en dlya Y sho zadane znachennyam X Bagatomirna centralna granichna teoremaNehaj 3 1 3 2 displaystyle xi 1 xi 2 poslidovnist nezalezhnih i odnakovo rozpodilenih vipadkovih vektoriv kozhnij z yakij maye serednye E 3 1 a displaystyle E xi 1 a i nevirodzhenu matricyu kovariacij S displaystyle Sigma Poznachimo cherez S n 3 1 3 n displaystyle S n xi 1 xi n vektor chastkovih sum Todi pri n displaystyle n to infty maye misce zbizhnist rozpodiliv vektoriv h n S n n a n h displaystyle eta n frac S n na sqrt n Rightarrow eta de h displaystyle eta maye rozpodil N O S displaystyle N O Sigma V umovah bagatovimirnoyi centralnoyi granichnoyi teoremi rozpodil bud yakih neperervnih funkcij g h n displaystyle g eta n zbigayetsya do rozpodilu g h displaystyle g eta Yak g x displaystyle g x nam bude potribna tilki g x x i 2 x 2 displaystyle g x sum x i 2 x 2 Naslidok V umovah bagatovimirnoyi centralnoyi granichnoyi teoremi maye misce zbizhnist h n 2 h 2 displaystyle eta n 2 Rightarrow eta 2 PrimitkiUIUC Lecture 21 The Multivariate Normal Distribution 23 chervnya 2016 u Wayback Machine 21 5 Finding the Density Hamedani G G Tata M N 1975 On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables The American Mathematical Monthly 82 9 913 915 doi 10 2307 2318494 Wyatt John PDF Lecture notes course on applied probability Arhiv originalu PDF za 10 zhovtnya 2015 Procitovano 23 sichnya 2012 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Multivariate normal distribution angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi gruden 2021 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad