Відстань Махаланобіса — відстань у евклідовому просторі, що узагальнює поняття евклідової відстані. Визначається формулою:
де X, Y — вектори, S — матриця, T — позначає операцію транспонування. Відстань Махаланобіса використовується в багатовимірному статистичному аналізі, зокрема при перевірці гіпотез, класифікації спостережень і в кластерному аналізі. У цих застосуваннях S є коваріаційною матрицею деякого багатовимірного розподілу, що дозволяє визначити відстань між випадковими векторами із цього розподілу із врахуваннями кореляцій між компонентами. У випадку коли S — одинична матриця, відстань Махаланобіса збігається з евклідовою відстанню.
Поняття введено у 1936 році індійським статистиком П. Махаланобісом який, при дослідженні подібності черепів, використовував як відстань між двома нормальними розподілами з математичними сподіваннями і і спільною коваріаційною матрицею величину .
Відстань Махаланобіса між двома вибірками (з розподілів з однаковими коваріаційними матрицями) або між вибіркою і розподілом визначається шляхом заміни відповідних теоретичних моментів вибірковими. Як оцінка відстані Махаланобіса між розподілами застосовується відстань Махаланобіса вибірок з них, а у разі використання лінійної дискримінантної функції — статистика , де — частота правильної класифікації в першій сукупності, — в другій, — функція нормального розподілу з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1.
Примітки
- Mahalanobis, P C (1936). «On the generalised distance in statistics». Proceedings of the National Institute of Sciences of India 2 (1): 49-55. http://ir.isical.ac.in/dspace/handle/1/1268 [ 27 вересня 2009 у Wayback Machine.]
Див. також
Література
- Айвазян С. А., Бежаева 3. И., Староверов О. В., Классификация многомерных наблюдений М.1974.
- Андерсон Т.,Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ. М., 1963;
- Махаланобиса расстояние, Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vidstan Mahalanobisa vidstan u evklidovomu prostori sho uzagalnyuye ponyattya evklidovoyi vidstani Viznachayetsya formuloyu d X Y S X Y T S 1 X Y displaystyle d X Y S sqrt X Y T S 1 X Y de X Y vektori S matricya T poznachaye operaciyu transponuvannya Vidstan Mahalanobisa vikoristovuyetsya v bagatovimirnomu statistichnomu analizi zokrema pri perevirci gipotez klasifikaciyi sposterezhen i v klasternomu analizi U cih zastosuvannyah S ye kovariacijnoyu matriceyu deyakogo bagatovimirnogo rozpodilu sho dozvolyaye viznachiti vidstan mizh vipadkovimi vektorami iz cogo rozpodilu iz vrahuvannyami korelyacij mizh komponentami U vipadku koli S odinichna matricya vidstan Mahalanobisa zbigayetsya z evklidovoyu vidstannyu Ponyattya vvedeno u 1936 roci indijskim statistikom P Mahalanobisom yakij pri doslidzhenni podibnosti cherepiv vikoristovuvav yak vidstan mizh dvoma normalnimi rozpodilami z matematichnimi spodivannyami m 1 displaystyle mu 1 i m 2 displaystyle mu 2 i spilnoyu kovariacijnoyu matriceyu S displaystyle Sigma velichinu d m 1 m 2 S displaystyle d mu 1 mu 2 Sigma Vidstan Mahalanobisa mizh dvoma vibirkami z rozpodiliv z odnakovimi kovariacijnimi matricyami abo mizh vibirkoyu i rozpodilom viznachayetsya shlyahom zamini vidpovidnih teoretichnih momentiv vibirkovimi Yak ocinka vidstani Mahalanobisa mizh rozpodilami zastosovuyetsya vidstan Mahalanobisa vibirok z nih a u razi vikoristannya linijnoyi diskriminantnoyi funkciyi statistika F 1 a F 1 b displaystyle Phi 1 alpha Phi 1 beta de a displaystyle alpha chastota pravilnoyi klasifikaciyi v pershij sukupnosti b displaystyle beta v drugij F displaystyle Phi funkciya normalnogo rozpodilu z matematichnim ochikuvannyam 0 i dispersiyeyu 1 PrimitkiMahalanobis P C 1936 On the generalised distance in statistics Proceedings of the National Institute of Sciences of India 2 1 49 55 http ir isical ac in dspace handle 1 1268 27 veresnya 2009 u Wayback Machine Div takozhEvklidova vidstan Vidstan MinkovskogoLiteraturaAjvazyan S A Bezhaeva 3 I Staroverov O V Klassifikaciya mnogomernyh nablyudenij M 1974 Anderson T Vvedenie v mnogomernyj statisticheskij analiz per s angl M 1963 Mahalanobisa rasstoyanie Matematicheskaya enciklopediya V pyati tomah Tom 3 Pod red I M Vinogradova M Sovetskaya enciklopediya