Функція помилок

Не плутати з Функцією Гаусса.

Функція помилок або Функція помилок Гаусса — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці, математичній фізиці і визначається як

Графік функції помилок.

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

У багатьох із цих застосувань аргументом функції є дійсне число. Якщо аргумент функції є дійсним, то значення функції також є дійсним.

У статистиці для невід'ємних значень x функція помилок має таке трактування: для випадкової величини Y, яка має нормальний розподіл із математичним сподіванням 0 та дисперсією 1⁄√2, erf x — це ймовірність того, що Y потрапляє в інтервал [−x, x].

Доповнювальна функція помилок, що позначається ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}$ (іноді застосовується позначення ${\displaystyle \operatorname {Erf} \,x}$) визначається через функцію помилок:

${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$.

Уявна функція помилок, що позначається ${\displaystyle w(x)}$, також визначається через функцію помилок:

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)}$.

Назва

Назва «функція помилок» та її абревіатура erf запропоновані ^[en] в 1871 р. через її зв'язок з «теорією ймовірності, і особливо теорією помилок». Доповнювальні функції помилок також обговорювалося Глейшером того ж року в окремій публікації. Для «закону об'єкта» помилок, щільність якого має вигляд

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}{\rm {e}}^{-cx^{2}}}$

(нормальний розподіл), Глейшер обчислював ймовірність помилки, що лежить між ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$, як

${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\tfrac {1}{2}}\int _{p}^{q}{\rm {e}}^{-cx^{2}}\,{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$

Застосування

Якщо результати серії вимірювань описуються нормальним розподілом із середньоквадратичним відхиленням ${\displaystyle \sigma }$ та математичним сподіванням 0, то ${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$ — це ймовірність того, що похибка одного вимірювання лежить між −a та +a, при додатному a. Це корисно, наприклад, при визначенні коефіцієнта бітових помилок цифрової системи зв'язку. Функцію помилок та доповнювальну функцію помилок застосовують, наприклад, у розв'язках рівняння теплопровідності, якщо граничні умови задаються функцією Гевісайда. Функцію помилок та її наближення можна використовувати для оцінки результатів, які мають місце ^[en] або з низькою ймовірністю. Нехай задана випадкова величина ${\displaystyle X\sim \operatorname {Norm} [\mu ,\sigma ]}$ і константа ${\displaystyle L<\mu }$, тоді

${\displaystyle \Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}$,

де A і B — деякі числові константи. Якщо L достатньо далека від математичного сподівання, тобто ${\displaystyle \mu -L\geq \sigma {\sqrt {\ln {k}}}}$, тоді

${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$,

і ймовірність прямує до 0, якщо ${\displaystyle k\to \infty }$.

Властивості

Підінтегральні функції в комплексній площині

Інтеграл ${\displaystyle \exp(-z^{2})}$.

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

• Функція помилок непарна:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x}$.

• Для будь-якого комплексного ${\displaystyle x}$ виконується

${\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}}$

де риска позначає комплексне спряження числа ${\displaystyle x}$.

• Підінтегральні функції ${\displaystyle f=\exp(-z^{2})}$ та ${\displaystyle f=\operatorname {erf} (z)}$ зображено в комплексній площині z на рисунках.

Рівень ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=0}$ показано товстою зеленою лінією. Від'ємні цілі значення ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ показано товстими червоними лініями. Додатні цілі значення ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ показано товстими синіми лініями. Проміжні рівні ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)={\rm {const}}}$ показано тонкими зеленими лініями. Проміжні рівні ${\displaystyle \operatorname {Re} (f)={\rm {const}}}$ показано тонкими червоними лініями для від'ємних значень і тонкими синіми лініями для додатних значень.

• Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$, так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

• Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}}$,

оскільки ${\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}$ — співмножник, що перетворює ${\displaystyle i}$-й член ряду в ${\displaystyle (i+1)}$-й, вважаючи першим членом ${\displaystyle x}$.

• Уявна функція помилок має дуже схожий ряд Маклорена, а саме

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)}$,

для будь-якого комплексного числа z.

• Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:

• При розгляді функції помилок в комплексній площині точка ${\displaystyle z=\infty }$ буде для неї істотно особливою.

• Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}}$.

Звідси похідна уявної функції помилок:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{z^{2}}}$.

Первісною функції помилок, яку можна отримати за допомогою інтегрування частинами, є

${\displaystyle z\operatorname {erf} (z)+{\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

Первісною уявної функції помилок, яку також можна отримати інтегруванням частинами, є

${\displaystyle z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {{\rm {e}}^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}$.

Похідні вищих порядків задаються формулами

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{H}_{k-1}(z){\rm {e}}^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {{\rm {d}}^{k-1}}{{\rm {d}}z^{k-1}}}\left({\rm {e}}^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$

де ${\displaystyle {\mathit {H}}}$ — це поліноми Ерміта.

• Розклад, який збігається швидше для всіх дійсних значень ${\displaystyle x}$ ніж ряд Тейлора, отримується за допомогою теореми ^[en]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}{\rm {e}}^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$

(${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — це signum-функція). Зберігаючи лише перші два коефіцієнти та вибираючи ${\displaystyle c_{1}={\frac {31}{200}}}$ та ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {341}{8000}}}$, отримане наближення показує свою найбільшу відносну похибку при ${\displaystyle x=\pm 1{,}3796}$, яка менша ніж ${\displaystyle 3{,}6127\cdot 10^{-3}}$:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} (x){\sqrt {1-{\rm {e}}^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}{\rm {e}}^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}{\rm {e}}^{-2x^{2}}\right)}$.

• Обернена функція помилок є рядом

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1}\,\!}$,

де c₀ = 1 і

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}$.

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right)\,\!}$[1].

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення — A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення — A002067 у OEIS.

При |z| < 1 має місце співвідношення ${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(z)\right)=z}$.

Обернена доповнювальна функція помилок визначається як

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z)}$.

Для дійсного x існує єдине дійсне число ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$, що ${\displaystyle \operatorname {erfi} \left(\operatorname {erfi} ^{-1}(x)\right)=x}$. Обернена уявна функція помилок визначається як ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$.

Для будь-якого дійсного x можна використовувати метод Ньютона для обчислення ${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$, а при ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ наступний ряд Макролена є збіжним:

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}}$,

де коефіцієнти c_k визначені вище.

Доповнювальна функція помилок

Асимптотичний розклад

Корисним асимптотичним розкладом доповнювальної функції помилок (а отже, і функції помилок) для великих дійсних ${\displaystyle x}$ є

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}}$,

де (2n – 1)!! — подвійний факторіал числа (2n – 1), який є добутком усіх непарних чисел до (2n – 1) включно. Цей ряд розбігається для будь-якого скінченного ${\displaystyle x}$, і його зміст як асимптотичного розкладу полягає в тому, що для будь-якого ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {{\rm {e}}^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)}$,

де залишок, в позначеннях O великого,

${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}{\rm {e}}^{-x^{2}}\right)}$

при ${\displaystyle x\to \infty .}$

Дійсно, точне значення залишку становить

${\displaystyle R_{N}(x)={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}{\rm {e}}^{-t^{2}}\,{\rm {d}}t}$,

яке легко отримується за допомогою індукції з використанням формули

${\displaystyle {\rm {e}}^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left({\rm {e}}^{-t^{2}}\right)'}$

та інтегрування частинами.

Для досить великих значень ${\displaystyle x}$ потрібні лише перші кілька членів цього асимптотичного розкладу, щоб отримати гарне наближення для функції ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ (тоді як для не надто великих значень ${\displaystyle x}$ вищенаведений ряд Тейлора у точці ${\displaystyle 0}$ забезпечує більш швидку збіжність).

Розвинення в ланцюговий дріб

Представлення доповнювальної функції помилок через ланцюговий дріб має виглядЖ

${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}{\rm {e}}^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$

Інтеграл функції помилок з функцією розподілу Гаусса

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\rm {e}}^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,{\rm {d}}x=\operatorname {erf} \left[{\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right],\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$

який отриманий Нг та Геллером за допомогою зміни змінних, формула 13 у параграфі 4.3.

Факторіальний ряд

• Обернений факторіальний ряд

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {{\rm {e}}^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

є збіжним при ${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$. Тут

${\displaystyle Q_{n}{\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {1}{\Gamma (1/2)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-1/2}{\rm {e}}^{-\tau }\,{\rm {d}}\tau =\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),}$

через ${\displaystyle z^{\bar {n}}}$ позначено зростаючий факторіал, а ${\displaystyle s(n,k)}$ — число Стірлінга першого роду

• Представлення нескінченною сумою, що містить подвійний факторіал:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$.

Споріднені функції

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається ${\displaystyle \Phi (x)}$:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\,}$.

Зворотна функція до ${\displaystyle \Phi }$, відома як , іноді позначається ${\displaystyle \operatorname {probit} }$ і виражається через нормальну функцію помилок як

${\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}},\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}$.

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція ():

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)}$.

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}$.

Узагальнені функції помилок

Графік узагальнених функцій помилок ${\displaystyle E_{n}(x)}$:
сіра лінія: ${\displaystyle E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}}$
червона лінія: ${\displaystyle E_{2}(x)=\operatorname {erf} ,x}$
зелена лінія: ${\displaystyle E_{3}(x)}$
синя лінія: ${\displaystyle E_{4}(x)}$
жовта лінія: ${\displaystyle E_{5}(x)}$.

Також можна розглянути загальніші функції:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}},\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}(np+1)p!}{,}}.}$

Окремими вартими уваги випадками є:

• ${\displaystyle E_{0}(x)}$ — пряма лінія, що проходить через початок координат: ${\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e}}{\sqrt {\pi }}}$
• ${\displaystyle E_{2}(x)}$ — функція помилок ${\displaystyle \operatorname {erf} ,x}$.

Після ділення на ${\displaystyle n!}$ всі ${\displaystyle E_{n}}$ з непарними ${\displaystyle n}$ виглядають схоже (але не ідентично). Всі ${\displaystyle E_{n}}$ з парними ${\displaystyle n}$ теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на ${\displaystyle n!}$. Всі узагальнені функції помилок з ${\displaystyle n>0}$ виглядають схоже на напівосі ${\displaystyle x>0}$.

На напівосі ${\displaystyle x>0}$ всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {x\left(x^{n}\right)^{-1/n}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\qquad x>0}$

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}$.

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

${\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} ,z=\int \limits _{z}^{\infty }i^{n-1},\operatorname {erfc} ,\zeta \,\mathrm {d} \zeta .\,}$

Їх можна розкласти в ряд:

${\displaystyle i^{n}\,\operatorname {erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,}$.

звідки випливають властивості симетрії

${\displaystyle i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=-i^{2m}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

і

${\displaystyle i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,(-z)=i^{2m+1}\,\operatorname {erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,}$.

Примітки

1. Модуль math. Спеціальні функції та константи. bestprog.net/uk (укр.). 1 листопада 2019. Процитовано 7 жовтня 2023.
2. Glaisher, James Whitbread Lee (July 1871). On a class of definite integrals. London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (277): 294—302. doi:10.1080/14786447108640568. Процитовано 6 грудня 2017.
3. Glaisher, James Whitbread Lee (September 1871). On a class of definite integrals. Part II. London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 4. 42 (279): 421—436. doi:10.1080/14786447108640600. Процитовано 6 грудня 2017.
4. Weisstein, Eric W. Erf. MathWorld. Wolfram.
5. H. M. Schöpf and P. H. Supancic, "On Bürmann's Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion, " The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16–11.Schöpf, Supancic
6. Bürmann's Theorem. Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource.
7. Bergsma, Wicher (2006). On a new correlation coefficient, its orthogonal decomposition and associated tests of independence. arXiv:math/0604627.
8. ; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions. Springer-Verlag. ISBN .
9. Ng, Edward W.; Geller, Murray (January 1969). A table of integrals of the Error functions. Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B. 73B (1): 1. doi:10.6028/jres.073B.001.
10. (1859). Ueber facultätenreihen. ^[de] (нім.). 4: 390—415. Процитовано 4 грудня 2017.
11. Eq (3) on page 283 of Nielson, Niels (1906). Handbuch der Theorie der Gammafunktion (нім.). Leipzig: B. G. Teubner. Процитовано 4 грудня 2017.

Література

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.