Непарна функція

Непа́рна фу́нкція — функція ${\displaystyle f:X\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, визначена на симетричній (відносно початку координат) множині ${\displaystyle X}$, яка змінює знак при зміні знаку аргумента, тобто:

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

${\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.\,}$

Графік непарної функції центрально-симетричний відносно початку координат.

Властивості

• Сума і різниця непарних функцій буде непарною функцією
• Композиція непарних функцій буде непарною функцією
• Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
• Довільну функцію можна розкласти в суму парної та непарної функцій

Приклади

• ${\displaystyle y=-x}$
• ${\displaystyle y=x^{3}}$
• ${\displaystyle y=4x^{5}-2x^{3}+7x+{\frac {2}{x}}}$ (тільки непарні степені)
• ${\displaystyle y=\sin x}$

Алгоритм дослідження функції на непарність

Дослідити функцію на непарність — з'ясувати, чи є задана функція непарною.

Алгоритм дослідження функції ${\displaystyle y=f(x)}$ на непарність:

• Скласти вираз ${\displaystyle f(-x)}$, для цього у функції ${\displaystyle y=f(x)}$ замінити аргумент ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle -x}$;
• Порівняти ${\displaystyle f(-x)}$ і ${\displaystyle -f(x)}$, якщо ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$, то функція - непарна.

Див. також

• Парна функція

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 17—18.(рос.)
• Функція непарна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.