Число́ пі (позначається ) — математична константа, що визначається в Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметра :
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMll6TDFCcExVTk5Mbk4yWnk4eU1qQndlQzFRYVMxRFRTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
або як площа круга одиничного радіуса.
Число виникло в геометрії як відношення довжини кола до довжини його діаметра, проте воно з'являється і в інших галузях математики. Вперше позначенням цього числа грецькою літерою π скористався британський (валлійський) математик Вільям Джонс (1706), а загальноприйнятим воно стало після робіт Леонарда Ейлера (1737). Це позначення походить від початкової букви грецьких слів περιφέρεια — оточення, периферія та περίμετρος — периметр.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekpoTDFCcExYVnVjbTlzYkdWa0xUY3lNQzVuYVdZdk16VXdjSGd0VUdrdGRXNXliMnhzWldRdE56SXdMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
Оскільки π є ірраціональним числом, його не можна виразити дробом (або, що те саме, його десяткове представлення є нескінченним та неперіодичним). Проте дроби, такі як і інші, часто застосовуються для наближення числа π.
Вважається, що різні цифри у десятковому представленні числа π зустрічаються однаково часто (тобто π є нормальним числом), проте це не доведено. Також π є трансцендентним числом — тобто не є коренем жодного ненульового полінома з раціональними коефіцієнтами. З цього випливає, що неможливо розв'язати відому античну задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки.
Стародавні цивілізації користувалися приблизним значенням числа π у практичних цілях. Близько 250 року до н. е. грецький математик Архімед у праці «Вимірювання кола» вперше обчислив число π. У V столітті н. е. китайські математики за допомогою геометричних методів обчислювали його до сьомого знаку після коми, а індійські — до п'ятого. Першою зручною формулою для наближеного обчислення числа π є формула, що ґрунтується на сумі збіжного числового ряду, яка називається формулою Лейбніца.
Ірраціональність і трансцендентність
Ірраціональність числа була вперше доведена Йоганном Ламбертом у 1761 році шляхом розкладу функції тангенс
у неперервний дріб. Водночас його доведення не було строгим за сучасними мірками, бо уникало питання збіжності неперервних дробів. У 1794-му Лежандр дав строгіше доведення ірраціональності чисел π і π2.[]
У 1882 році професорові Кенігсберзького, пізніше Мюнхенського університетів Фердинанду фон Ліндеману вдалося довести трансцендентність числа π. Доведення цього факту спростив Фелікс Клейн в 1894 р. Його міркування були у праці «Питання елементарної і вищої математики», ч. 1, що вийшла в Геттінгені в 1908 р.
Оскільки в Евклідовій геометрії площа круга і довжина кола є функціями числа π, то доведення трансцендентності π поклало край суперечці про квадратуру круга, що тривала понад 2,5 тисячі років.
Співвідношення
Найвідомішими формулами з числом є такі:
- Ряд Лейбніца:
- Формула Г. В. Лейбніца
- Вираження через дилогарифм:
Історія розрахунків
Античність
Найраніші писемні наближені значення числа датуються майже 1900 роком до н. е. — це
≈ 3,160 (Єгипет) і
= 3,125 (Вавилон), обидва в межах 1 відсотка істинного значення. Індійський текст дає значення
як
≈ 3,139. Вважається, що у параграфі із Першої книги Царів 7:23 і Другої Хронік 4:2, в якому описується церемоніальний басейн у храмі Царя Соломона діаметром в десять ліктів і периметром в тридцять ліктів, йдеться про число
приблизно рівним трьом, що певні вчені намагались пояснити через різні припущення такі як шестикутний басейн або вигнутий назовні обідок.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk01TDBGeVkyaHBiV1ZrWlhOZmNHa3VjM1puTHpNd01IQjRMVUZ5WTJocGJXVmtaWE5mY0drdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Архімед (287—212 до н. е.), можливо, першим запропонував метод обчислення математичним способом. Для цього він вписував у коло і описував біля нього правильні багатокутники. Приймаючи діаметр кола за одиницю, Архімед розглядав периметр вписаного багатокутника як нижню оцінку довжини кола, а периметр описаного багатокутника — як верхню оцінку. Таким чином, для шестикутника виходить
.
Розглядаючи правильний 96-кутник, Архімед отримав оцінку .
Птоломей в своєму Альмагесті дає значення 3,1416, яке він міг отримати в Аполлонія з Перги.
Близько 265 року н. е. математик Лю Хуей знайшов простий і точний спосіб ітераційного алгоритму розрахунку числа з будь-якою точністю. Він особисто довів розрахунок до 3072-кутника і отримав наближене значення
≈ 3,1416. Пізніше Лю Хуей винайшов швидкий спосіб розрахунку
і отримав наближене значення 3,14, провівши розрахунок тільки для 96-кутника та скориставшись із того факту, що різниця в площі між серією багатокутників утворюють геометричну прогресію, кратну 4.
Близько 480 року китайський математик продемонстрував, що ≈
(≈ 3,1415929), і показав, що 3,1415926 <
< 3,1415927. Використавши алгоритм Лю Хуея, він довів розрахунок до 12288-кутника. Це значення залишалось найточнішим наближенням
протягом 900 років.
В Індії Аріабхата і використовували наближення = 3,1416.
Друге тисячоліття нашої ери
![]() | |
---|---|
![]() | 1. Відкриття, яке змінило обчислення |
До другого тисячоліття н. е. число було розраховане з точністю не більшою ніж 10 цифр в записі числа. Наступний великий поступ у вивченні числа
прийшов з розвитком нескінченних рядів і, відповідно, з відкриттям математичного аналізу, що дозволило розраховувати
з будь-якою бажаною точністю розглядаючи необхідну кількість членів такого ряду. Близько 1400 року Мадхава зі Сангамаграми знайшов перший з таких рядів:
Зараз цей ряд відомий як ряд Мадхави — Лейбніца або ряд Грегорі-Лейбніца оскільки його знову відкрили Джеймс Грегорі та Готфрід Лейбніц у 17-тому столітті. Проте, швидкість сходження занадто повільна, щоб розрахувати багато значущих цифр на практиці; треба додати близько 4000 членів ряду, щоб вдосконалити наближення Архімеда. Проте, перетворивши ряд у такий вигляд
Мадхава зміг розрахувати як 3,14159265359, що правильно з точністю до 11 десяткових цифр. Цей рекорд побив Перський математик Джамшид аль-Каші, який розрахував
з точністю до 16 десяткових цифр.
Перший значний європейський внесок з часів Архімеда зробив німецький математик Лудольф ван Цейлен (1536—1610). Він витратив десять років на обчислення числа з 20-ма десятковими цифрами (цей результат був опублікований у 1596 році). Застосувавши метод Архімеда, він довів подвоєння до n-кутника, де n=60·229. Виклавши свої результати в творі «Про коло» («Van den Cirkel»), Лудольф закінчив його словами: «У кого є бажання, хай йде далі». Після смерті в його рукописах було виявлено ще 15 точних цифр числа
. Лудольф заповів, щоб знайдені ним знаки були висічені на його надгробному камені. На честь його число
іноді називали «лудольфовим числом».
Приблизно в той самий час в Європі з'явились методи розрахунку нескінченних рядів та добутків. Першим таким представленням була формула Вієта:
яку знайшов Франсуа Вієт в 1593 році. Інший відомий результат — це формула Валліса:
знайдена Джоном Валлісом в 1655.
Ісаак Ньютон вивів arcsin ряд для в 1665-66 і розрахував 15 цифр:
хоча він пізніше визнав: «Мені соромно казати, як багато разів я виконав ці розрахунки, не робив ніяких інших справ увесь цей час». Він сходиться лінійно до зі швидкістю сходження μ, яка додає щонайменше три десяткові цифри за кожних 5 доданків. Коли n прямує у нескінченність, μ наближається до
і
наближається до 4:
.
В 1706 був першим, хто розрахував 100 десяткових цифр числа , використовуючи ряди arctan у формулі:
де
Розклавши арктангенс у ряд Тейлора, можна отримати ряд, що швидко збігається і придатний для обчислення числа з більшою точністю. Ейлер, автор позначення
, отримав 153 правильних знаків.
У 1777 році Бюффон запропонував статистичний метод обчислення числа пі, відомий як приклад Бюффона.
У 1873 році англієць В. Шенкс, після 15 років праці, обчислив 707 знаків; щоправда, через помилку тільки перші 527 з них були правильними. Щоб запобігти подібних помилок, сучасні обрахування такого роду здійснюються двічі. Якщо результати збігаються, то вони зі значною ймовірністю правильні. Помилку Шенкса було виявлено у 1948 році одним із перших комп'ютерів, ним же за декілька годин було вирахувано 808 знаків .
Теоретичні досягнення в 18-му століття привели до осягнення природи числа , чого не вдалось би досягнути тільки самими числовими розрахунками. Йоганн Генріх Ламберт довів ірраціональність
1761 року, а Адрієн-Марі Лежандр 1774 року довів ірраціональність
2. Тоді як Леонард Ейлер 1735 року розв'язав знамениту і в результаті знайшов точне значення Ріманової дзета-функції для числа 2.
що дорівнює 2/6, так він відкрив одну з найвідоміших формул природного зв'язку між
та простими числами. Обоє Лежандр та Ейлер передбачали, що число
має бути трансцендентне, що зрештою довів Фердинанд фон Ліндеман 1882 року.
Обчислення в епоху комп'ютерів
Практично, фізикам потрібно тільки 39 цифр числа , щоб обрахувати об'єм всесвіту з точністю до розміру атома водню.
Настання епохи цифрових комп'ютерів в XX столітті призвело до зростання кількості нових рекордів в розрахунку числа . Джон фон Нейман та його команда використали ENIAC, щоб розрахувати 2037 цифр числа
1949 року, цей розрахунок тривав 70 годин. Додаткові тисячі десяткових розрядів отримали в наступні десятиріччя, а рубіж в мільйон цифр перетнули в 1973 році. 1995 року отримано вже 6 442 450 000 знаків. Прогрес був спричинений не тільки швидшими комп'ютерами, але й новими алгоритмами. Один з найзначніших проривів було відкриття швидкого перетворення Фур'є в 1960-х, що дало можливість комп'ютерам робити швидко арифметичні дії з надзвичайно великими числами.
На початку XX століття індійський математик Срініваса Рамануджан відкрив багато нових формул для числа , деякі з них стали знамениті через свою елегантність та математичну глибину. Обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана працюють дуже швидко. Одна з цих формул:
де k! — це факторіал k
А ось також добірка інших формул:
де
це символ Покхемера для спадного факторіала.
Формула братів Чудновських
Пов'язану формулу відкрили брати Чудновскі 1987 року:
,
який дає 14 цифр за один член ряду. Чудновскі використали цю формулу, щоб встановити кілька рекордів з обчислення числа в кінці 1980-х, включно з першим обчисленням понад 1 мільярд (1,011,196,691) знаків 1989 року. Ця формула залишається добрим вибором для розрахунку
для програм, що працюють на персональному комп'ютері, на противагу суперкомп'ютерам, які використовують для встановлення сучасних рекордів.
Тоді як ряди зазвичай підвищують точність на певну кількість розрядів за кожен член ряду, існують також алгоритми, що багатократно збільшують кількість правильних цифр за кожен підхід, з тим недоліком, що кожен крок вимагає значної кількості обчислювальних ресурсів. Прорив був зроблений 1975 року, коли та незалежно один від одного відкрили , в якому використовуються тільки арифметичні дії для подвоєння кількості правильних цифр за кожен крок. На початковому етапі алгоритму встановимо такі вихідні значення:
і проводимо ітерації
до тих пір, поки an and bn не стануть достатньо близькі. Тоді оцінка значення проводиться за формулою:
Працюючи за цією схемою, достатньо зробити 25 ітерацій, щоб досягти точності 45 мільйонів правильних знаків. Схожий алгоритм, що вчетверо збільшує точність за кожен крок, знайшли та . Цей метод використовували та його команда, щоб встановити більшість рекордів з розрахунку числа , починаючи з 1980 року аж до розрахунку 206,158,430,000 десяткових знаків числа
1999 року. У 2002 році Канада та його група встановили новий рекорд — 1,241,100,000,000. Хоча більшість попередніх рекордів були встановлені за допомогою алгоритму Брента — Саламіна, при розрахунках 2002 року використовували формули типу Мечиновських, які хоч і потребували більше ітерацій, зате радикально знижували використання пам'яті. Розрахунки робили на суперкомп'ютері Hitachi з 64 вузлів та з 1 терабайтом оперативної пам'яті, який був здатний виконувати 2 трильйони операцій в секунду.
В січні 2010 року рекорд був майже 2.7 трильйонів знаків, його встановив французький програміст Фабріс Беллар на персональному комп'ютері Це побило попередній рекорд 2,576,980,370,000 знаків, що встановив Дайзуке Такахаші на T2K-Tsukuba System, суперкомп'ютер університету Цукуба, що в Токіо. 6 серпня 2010 року в PhysOrg.com опубліковано новину, що японський та американський комп'ютерні фахівці Шигеру Кондо та Олександр Йі заявили, що вони розрахували значення до 5 трильйонів знаків на персональному комп'ютері, подвоївши попередній рекорд.
У серпні 2021 року оголошено про встановлення наступного рекорду. Швейцарські вчені з Університету прикладних наук Граубюндена за 108 днів і 9 годин за допомогою суперкомп'ютера обчислили 62,8 трлн десяткових знаків числа . Останні 10 обчислених цифр — 7817924264.
У 1997 році Дейвід Х. Бейлі, Пітер Боруейн і Саймон Плафф винайшли спосіб швидкого обчислення довільної двійкової цифри числа без обчислення попередніх цифр, заснований на формулі
Подання у вигляді ланцюгового дробу
Послідовність з часткових знаменників простого ланцюгового дробу для не дає ніякої очевидної схеми
чи
Проте якщо використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
Наближення
Наближене значення з точністю до 1000 десяткових знаків:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989
Простий метод запам'ятати число з точністю до шести значущих цифр після коми:
- випишемо парами перші три натуральних непарних числа: 113355.
- розділимо список наполовину та поділимо друге число на перше:
Безпосередньо з означення числа як відношення довжини кола до його діаметра дістаємо один з можливих методів обчислення цього числа. Визначивши довжину дуги кола і його діаметр, а потім поділивши перше число на друге, дістанемо наближене значення числа
. Але точність знайденого таким методом значення числа
залежить від точності вимірювання довжини дуг і відрізків; крім того, ми ніколи не маємо справи з ідеальним колом.
Використання у фізиці
Число пі, хоча й не є фізичною константою, дуже часто фігурує у фізичних формулах, завдяки тому, що у них часто неявно закладені властивості кола, особливо у випадку симетрії, при якій зручно використовувати полярну, циліндричну або сферичну систему координат. Іншим джерелом появи числа пі у фізичних формулах є використання нормального розподілу:
та перетворень Фур'є, заснованих на співвідношенні:
,
де — дельта-функція Дірака.
Більш глибокий математичний розгляд дає підстави стверджувати, що такі властивості теж пов'язані з колом і полярною або сферичною симетрією, наприклад через тригонометричні функції.
Відкриті проблеми
- Невідома точна міра ірраціональності для чисел
і
(але відомо, що для
вона не перевищує 7,6063).
- Невідома міра ірраціональності для жодного з таких чисел:
Для жодного з них невідомо навіть, чи є воно раціональним числом, алгебричним ірраціональним чи трансцендентним числом. Отже, невідомо, чи є числа
і
алгебрично незалежними.
- Невідомо, чи є
цілим числом за певного додатного цілого
(див. Тетрація).
- Донині нічого невідомо про нормальність числа
; невідомо навіть, які з цифр 0—9 зустрічаються в десятковому поданні числа
нескінченну кількість разів. Комп'ютерна перевірка 200 млрд десяткових знаків
показала, що всі 10 цифр зустрічаються в цьому записі практично однаково часто:
Цифра | Скільки разів з'являється |
---|---|
0 | 20 000 030 841 |
1 | 19 999 914 711 |
2 | 20 000 013 697 |
3 | 20 000 069 393 |
4 | 19 999 921 691 |
5 | 19 999 917 053 |
6 | 19 999 881 515 |
7 | 19 999 967 594 |
8 | 20 000 291 044 |
9 | 19 999 869 180 |
Однак строге доведення відсутнє.
- Невідомо, чи належить
до кільця періодів.
У культурі
- У багатьох університетах США відзначається День числа Пі, який припадає на 14 березня, оскільки у американській формі запису дат вона має вигляд — 3/14.
- Цікавим фактом є те, що День числа Пі збігається з днем народження видатного науковця Альберта Ейнштейна.
- 14 березня 1592 року 6:53:58 — це ідеальний час Дня числа Пі. Якщо цю дату і час записати в американському форматі — 3.14 1592 6:53:58, то записаний порядок цифр збігається з першими 12 цифрами в числі Пі.
- У [fr] (музей науки в Парижі) існує кругова кімната, яка називається «пі-кімната». На її стіні вписано 707 цифр π. Ці цифри було засновано на розрахунку 1853 року англійського математика [en], який містив помилку, починаючи з 528-ї цифри. Цю помилку було виявлено 1946 року й виправлено 1949 року.
Рекорди
- У серпні 2009 року японські вчені вирахували число «пі» з точністю до 2 трильйонів 576 мільярдів 980 мільйонів 377 тисяч 524 знаків після коми.
- Раджвір Міна у 2015 році встановив світовий рекорд із запам'ятовування числа «пі», правильно назвавши з пам'яті 67 890 цифр після коми.
- У світі триває змагання серед програмістів — чий комп'ютер визначить найбільше цифр числа «пі». Рекордсменом зараз є Олександр Джей Йі, який у 2014 році визначив аж 13 300 000 000 000 знаків після коми. Для цього його комп'ютер безупинно працював 208 днів.
- Артем Гарін увійшов до книги рекордів України, запам'ятавши найбільшу кількість цифр числа Пі.
Див. також
Примітки
- Сьогодні — День числа Пі [ 2017-03-14 у Wayback Machine.] zik.ua 14.03.2017
- George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. Cambridge University Press. с. 58. ISBN .
- Gupta, R. C. (1992). On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series. Ganita Bharati. 14 (1-4): 68—71.
- Laczkovich, M. (1997). On Lambert's Proof of the Irrationality of π. The American Mathematical Monthly. Т. 104, № 5. с. 439—443. doi:10.2307/2974737. ISSN 0002-9890. Процитовано 8 лютого 2022.
- Weisstein, Eric W. Pi Squared(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- About Pi. Ask Dr. Math FAQ. Архів оригіналу за 23 червня 2013. Процитовано 29 жовтня 2007.
- Borwein, Jonathan M.; David H. Bailey (2 edition (27 Oct 2008)). Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. A. K. Peters. с. 103, 136, 137. ISBN .
- C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 168.
- C. Boyer, A History of Mathematics, Wiley, p. 202.
- George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999). Special Functions. Cambridge University Press. с. 58. ISBN .
- Joseph, George Gheverghese (October 2010) [1991]. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (вид. 3rd). Princeton University Press. ISBN .
- Charles Hutton (1811). Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms... London: Rivington. с. 13.
- Gleick, James (8 березня 1987). Even Mathematicians Can Get Carried Away. New York Times. Архів оригіналу за 23 червня 2013. Процитовано 29 січня 2011.
- Young, Robert M. (1992). Excursions in Calculus. Washington: Mathematical Association of America (MAA). с. 417. ISBN .
- «An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11-15. (January,1950)
«Statistical Treatment of Values of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC», Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109—111. (April,1950) - ftp://pi.super-computing.org/README.our_last_record_6b[недоступне посилання]
- The constant
: Ramanujan type formulas. Архів оригіналу за 23 червня 2013. Процитовано 4 листопада 2007.
- Simon Plouffe / David Bailey. The world of Pi. Pi314.net. Архів оригіналу за 23 червня 2013. Процитовано 29 січня 2011.
- Collection of series for pi. Numbers.computation.free.fr. Архів оригіналу за 23 червня 2013. Процитовано 29 січня 2011.
- (1975). Traub, J F (ред.). . Analytic Computational Complexity. New York: Academic Press. с. 151—176. Архів оригіналу за 23 липня 2008. Процитовано 8 вересня 2007.
- Borwein, Jonathan M; Borwein, Peter; Berggren, Lennart (2004). Pi: A Source Book. Springer. ISBN .
- Pi calculated to 'record number' of digits. bbc.co.uk. 6 січня 2010. Процитовано 6 січня 2010.
- Pi-obsessed Japanese reach 2.5 trillion digits [ 2012-02-03 у Wayback Machine.] 2009-08-20
- 5 Trillion Digits of Pi — New World Record
- Meilenstein zum Pi-Stellen-Weltrekord erreicht - News - FH Graubünden. www.fhgr.ch. Процитовано 17 серпня 2021.
- Вус, Олена (17 серпня 2021). Вчені встановили новий рекорд з обчислення числа Пі. ТСН (укр) . Процитовано 17 серпня 2021.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 29 лютого 2008. Процитовано 26 квітня 2008.
- Lange, L. J. (May 1999). An Elegant Continued Fraction for
. The American Mathematical Monthly. 106 (5): 456—458. doi:10.2307/2589152.
- Weisstein, Eric W. Мера иррациональности(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Max A. Alekseyev On convergence of the Flint Hills series, 2011.
- Weisstein, Eric W. Ірраціональне число(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Pi(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Some unsolved problems in number theory
- Weisstein, Eric W. Трансцендентне число(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 17 травня 2013. Процитовано 13 січня 2021.
- Вездесущее число «пи», 2007, с. 67—69.
- День числа Пі: 14 березня святкують найматематичніше свято світу. 24 Канал. Процитовано 18 березня 2018.
- Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. с. 118. ISBN . (англ.)
- Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. с. 50. ISBN . Процитовано 5 червня 2013. English translation by Catriona and David Lischka. (англ.)
- Японці побили рекорд з точності обчислення числа Пі (рос.)
- Сумчанин з феноменальною пам'яттю
Джерела
- Beckmann, Petr (1989). A History of Pi. Barnes & Noble Publishing. .(англ.)
- Жуков А. В. Вездесущее число «пи». Изд.3 2009. (рос.)
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
- Кузько Кузякін. Що таке математика. — Харків, «Юнісофт», 2018 р. .
Посилання
- Число п з точністю до мільйоного знаку після коми
- Філіппова, Марія (22 грудня 2022). Цікаві факти та історія про число Пі (укр.). Процитовано 22 березня 2023.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z p greckoyu literoyu U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Pi znachennya Chislo pi poznachayetsya p displaystyle pi matematichna konstanta sho viznachayetsya v Evklidovij geometriyi yak vidnoshennya dovzhini kola l displaystyle l do jogo diametra d displaystyle d Grecka litera pi p ld displaystyle pi frac l d abo yak plosha kruga odinichnogo radiusa Chislo p displaystyle pi viniklo v geometriyi yak vidnoshennya dovzhini kola do dovzhini jogo diametra prote vono z yavlyayetsya i v inshih galuzyah matematiki Vpershe poznachennyam cogo chisla greckoyu literoyu p skoristavsya britanskij vallijskij matematik Vilyam Dzhons 1706 a zagalnoprijnyatim vono stalo pislya robit Leonarda Ejlera 1737 Ce poznachennya pohodit vid pochatkovoyi bukvi greckih sliv perifereia otochennya periferiya ta perimetros perimetr Dovzhina kola dorivnyuye p yaksho jogo diametr 1 Oskilki p ye irracionalnim chislom jogo ne mozhna viraziti drobom abo sho te same jogo desyatkove predstavlennya ye neskinchennim ta neperiodichnim Prote drobi taki yak 227 displaystyle frac 22 7 i inshi chasto zastosovuyutsya dlya nablizhennya chisla p Vvazhayetsya sho rizni cifri u desyatkovomu predstavlenni chisla p zustrichayutsya odnakovo chasto tobto p ye normalnim chislom prote ce ne dovedeno Takozh p ye transcendentnim chislom tobto ne ye korenem zhodnogo nenulovogo polinoma z racionalnimi koeficiyentami Z cogo viplivaye sho nemozhlivo rozv yazati vidomu antichnu zadachu pro kvadraturu kruga za dopomogoyu cirkulya ta linijki Starodavni civilizaciyi koristuvalisya pribliznim znachennyam chisla p u praktichnih cilyah Blizko 250 roku do n e greckij matematik Arhimed u praci Vimiryuvannya kola vpershe obchisliv chislo p U V stolitti n e kitajski matematiki za dopomogoyu geometrichnih metodiv obchislyuvali jogo do somogo znaku pislya komi a indijski do p yatogo Pershoyu zruchnoyu formuloyu dlya nablizhenogo obchislennya chisla p ye formula sho gruntuyetsya na sumi zbizhnogo chislovogo ryadu yaka nazivayetsya formuloyu Lejbnica Irracionalnist i transcendentnistIrracionalnist chisla p displaystyle pi bula vpershe dovedena Jogannom Lambertom u 1761 roci shlyahom rozkladu funkciyi tangens tg x displaystyle operatorname tg x u neperervnij drib Vodnochas jogo dovedennya ne bulo strogim za suchasnimi mirkami bo unikalo pitannya zbizhnosti neperervnih drobiv U 1794 mu Lezhandr dav strogishe dovedennya irracionalnosti chisel p i p2 dzherelo U 1882 roci profesorovi Kenigsberzkogo piznishe Myunhenskogo universitetiv Ferdinandu fon Lindemanu vdalosya dovesti transcendentnist chisla p Dovedennya cogo faktu sprostiv Feliks Klejn v 1894 r Jogo mirkuvannya buli u praci Pitannya elementarnoyi i vishoyi matematiki ch 1 sho vijshla v Gettingeni v 1908 r Oskilki v Evklidovij geometriyi plosha kruga i dovzhina kola ye funkciyami chisla p to dovedennya transcendentnosti p poklalo kraj superechci pro kvadraturu kruga sho trivala ponad 2 5 tisyachi rokiv SpivvidnoshennyaNajvidomishimi formulami z chislom p displaystyle pi ye taki Fransua Viyet 1593 2p 22 2 22 2 2 22 displaystyle frac 2 pi frac sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 cdot ldots dd Div takozh Vkladeni radikali Okremi vipadki Formula Vallisa 21 23 43 45 65 67 87 89 p2 displaystyle frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots frac pi 2 dd Ryad Lejbnica 11 13 15 17 19 p4 displaystyle frac 1 1 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 9 cdots frac pi 4 dd Formula G V Lejbnica p 4 8 k 1 1 4k 1 4k 1 displaystyle pi 4 8 sum k 1 infty left frac 1 4k 1 4k 1 right Totozhnist Ejlera epi 1 0 displaystyle e pi i 1 0 dd Tak zvanij integral Puassona abo integral Gaussa e x2dx p displaystyle int infty infty e x 2 dx sqrt pi dd Virazhennya cherez dilogarifm p 6ln2 2 12 Li2 12 displaystyle pi sqrt 6 ln 2 2 12 operatorname Li 2 left frac 1 2 right dd Istoriya rozrahunkivAntichnist Najranishi pisemni nablizheni znachennya chisla p displaystyle pi datuyutsya majzhe 1900 rokom do n e ce 25681 displaystyle frac 256 81 3 160 Yegipet i 258 displaystyle frac 25 8 3 125 Vavilon obidva v mezhah 1 vidsotka istinnogo znachennya Indijskij tekst daye znachennya p displaystyle pi yak 339108 displaystyle frac 339 108 3 139 Vvazhayetsya sho u paragrafi iz Pershoyi knigi Cariv 7 23 i Drugoyi Hronik 4 2 v yakomu opisuyetsya ceremonialnij basejn u hrami Carya Solomona diametrom v desyat liktiv i perimetrom v tridcyat liktiv jdetsya pro chislo p displaystyle pi priblizno rivnim trom sho pevni vcheni namagalis poyasniti cherez rizni pripushennya taki yak shestikutnij basejn abo vignutij nazovni obidok Diagrami obchislennya chisla pi Arhimedom Arhimed 287 212 do n e mozhlivo pershim zaproponuvav metod obchislennya p displaystyle pi matematichnim sposobom Dlya cogo vin vpisuvav u kolo i opisuvav bilya nogo pravilni bagatokutniki Prijmayuchi diametr kola za odinicyu Arhimed rozglyadav perimetr vpisanogo bagatokutnika yak nizhnyu ocinku dovzhini kola a perimetr opisanogo bagatokutnika yak verhnyu ocinku Takim chinom dlya shestikutnika vihodit 3 lt p lt 23 displaystyle 3 lt pi lt 2 sqrt 3 Rozglyadayuchi pravilnij 96 kutnik Arhimed otrimav ocinku 3 1071 lt p lt 3 17 displaystyle 3 frac 10 71 lt pi lt 3 frac 1 7 Ptolomej v svoyemu Almagesti daye znachennya 3 1416 yake vin mig otrimati v Apolloniya z Pergi Blizko 265 roku n e matematik Lyu Huej znajshov prostij i tochnij sposib iteracijnogo algoritmu rozrahunku chisla p displaystyle pi z bud yakoyu tochnistyu Vin osobisto doviv rozrahunok do 3072 kutnika i otrimav nablizhene znachennya p displaystyle pi 3 1416 Piznishe Lyu Huej vinajshov shvidkij sposib rozrahunku p displaystyle pi i otrimav nablizhene znachennya 3 14 provivshi rozrahunok tilki dlya 96 kutnika ta skoristavshis iz togo faktu sho riznicya v ploshi mizh seriyeyu bagatokutnikiv utvoryuyut geometrichnu progresiyu kratnu 4 Blizko 480 roku kitajskij matematik prodemonstruvav sho p displaystyle pi 355113 displaystyle frac 355 113 3 1415929 i pokazav sho 3 1415926 lt p displaystyle pi lt 3 1415927 Vikoristavshi algoritm Lyu Hueya vin doviv rozrahunok do 12288 kutnika Ce znachennya zalishalos najtochnishim nablizhennyam p displaystyle pi protyagom 900 rokiv V Indiyi Ariabhata i vikoristovuvali nablizhennya 6283220000 displaystyle frac 62832 20000 3 1416 Druge tisyacholittya nashoyi eri Zovnishni videofajli1 Vidkrittya yake zminilo obchislennya p displaystyle pi Kanal Cikava nauka na YouTube 16 kvitnya 2021 Do drugogo tisyacholittya n e chislo p displaystyle pi bulo rozrahovane z tochnistyu ne bilshoyu nizh 10 cifr v zapisi chisla Nastupnij velikij postup u vivchenni chisla p displaystyle pi prijshov z rozvitkom neskinchennih ryadiv i vidpovidno z vidkrittyam matematichnogo analizu sho dozvolilo rozrahovuvati p displaystyle pi z bud yakoyu bazhanoyu tochnistyu rozglyadayuchi neobhidnu kilkist chleniv takogo ryadu Blizko 1400 roku Madhava zi Sangamagrami znajshov pershij z takih ryadiv p 4 k 0 1 k2k 1 41 43 45 47 49 411 displaystyle pi 4 sum k 0 infty frac 1 k 2k 1 frac 4 1 frac 4 3 frac 4 5 frac 4 7 frac 4 9 frac 4 11 cdots Zaraz cej ryad vidomij yak ryad Madhavi Lejbnica abo ryad Gregori Lejbnica oskilki jogo znovu vidkrili Dzhejms Gregori ta Gotfrid Lejbnic u 17 tomu stolitti Prote shvidkist shodzhennya zanadto povilna shob rozrahuvati bagato znachushih cifr na praktici treba dodati blizko 4000 chleniv ryadu shob vdoskonaliti nablizhennya Arhimeda Prote peretvorivshi ryad u takij viglyad p 12 k 0 3 k2k 1 12 k 0 13 k2k 1 12 1 13 3 15 32 17 33 displaystyle begin aligned pi amp sqrt 12 sum k 0 infty frac 3 k 2k 1 sqrt 12 sum k 0 infty frac frac 1 3 k 2k 1 amp sqrt 12 left 1 1 over 3 cdot 3 1 over 5 cdot 3 2 1 over 7 cdot 3 3 cdots right end aligned Madhava zmig rozrahuvati p displaystyle pi yak 3 14159265359 sho pravilno z tochnistyu do 11 desyatkovih cifr Cej rekord pobiv Perskij matematik Dzhamshid al Kashi yakij rozrahuvav p displaystyle pi z tochnistyu do 16 desyatkovih cifr Pershij znachnij yevropejskij vnesok z chasiv Arhimeda zrobiv nimeckij matematik Ludolf van Cejlen 1536 1610 Vin vitrativ desyat rokiv na obchislennya chisla p displaystyle pi z 20 ma desyatkovimi ciframi cej rezultat buv opublikovanij u 1596 roci Zastosuvavshi metod Arhimeda vin doviv podvoyennya do n kutnika de n 60 229 Viklavshi svoyi rezultati v tvori Pro kolo Van den Cirkel Ludolf zakinchiv jogo slovami U kogo ye bazhannya haj jde dali Pislya smerti v jogo rukopisah bulo viyavleno she 15 tochnih cifr chisla p displaystyle pi Ludolf zapoviv shob znajdeni nim znaki buli visicheni na jogo nadgrobnomu kameni Na chest jogo chislo p displaystyle pi inodi nazivali ludolfovim chislom Priblizno v toj samij chas v Yevropi z yavilis metodi rozrahunku neskinchennih ryadiv ta dobutkiv Pershim takim predstavlennyam bula formula Viyeta 2p 22 2 22 2 2 22 displaystyle frac 2 pi frac sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 cdot cdots yaku znajshov Fransua Viyet v 1593 roci Inshij vidomij rezultat ce formula Vallisa p2 k 1 2k 2 2k 2 1 21 23 43 45 65 67 87 89 43 1615 3635 6463 displaystyle frac pi 2 prod k 1 infty frac 2k 2 2k 2 1 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots frac 4 3 cdot frac 16 15 cdot frac 36 35 cdot frac 64 63 cdots znajdena Dzhonom Vallisom v 1655 Isaak Nyuton viviv arcsin ryad dlya p displaystyle pi v 1665 66 i rozrahuvav 15 cifr p 6arcsin 12 6 121 1 12 123 3 1 32 4 125 5 1 3 52 4 6 127 7 3 n 0 2nn 16n 2n 1 3 18 9640 157168 3598304 1892883584 69354525952 429167772160 displaystyle begin aligned pi amp 6 arcsin frac 1 2 amp 6 left frac 1 2 1 cdot 1 left frac 1 2 right frac 1 2 3 cdot 3 left frac 1 cdot 3 2 cdot 4 right frac 1 2 5 cdot 5 left frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 right frac 1 2 7 cdot 7 cdots right amp 3 sum n 0 infty frac binom 2n n 16 n 2n 1 amp 3 frac 1 8 frac 9 640 frac 15 7168 frac 35 98304 frac 189 2883584 frac 693 54525952 frac 429 167772160 cdots end aligned hocha vin piznishe viznav Meni soromno kazati yak bagato raziv ya vikonav ci rozrahunki ne robiv niyakih inshih sprav uves cej chas Vin shoditsya linijno do p displaystyle pi zi shvidkistyu shodzhennya m yaka dodaye shonajmenshe tri desyatkovi cifri za kozhnih 5 dodankiv Koli n pryamuye u neskinchennist m nablizhayetsya do 14 displaystyle frac 1 4 i 1m displaystyle frac 1 mu nablizhayetsya do 4 m 2n 1 28n 2n 1 1m 8n 2n 1 2n 1 2 displaystyle mu frac 2n 1 2 8n 2n 1 frac 1 mu frac 8n 2n 1 2n 1 2 V 1706 buv pershim hto rozrahuvav 100 desyatkovih cifr chisla p displaystyle pi vikoristovuyuchi ryadi arctan u formuli p4 4arctg15 arctg1239 displaystyle frac pi 4 4 mathrm arctg frac 1 5 mathrm arctg frac 1 239 de arctanx k 0 1 kx2k 12k 1 x x33 x55 x77 displaystyle arctan x sum k 0 infty frac 1 k x 2k 1 2k 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots Rozklavshi arktangens u ryad Tejlora mozhna otrimati ryad sho shvidko zbigayetsya i pridatnij dlya obchislennya chisla p displaystyle pi z bilshoyu tochnistyu Ejler avtor poznachennya p displaystyle pi otrimav 153 pravilnih znakiv U 1777 roci Byuffon zaproponuvav statistichnij metod obchislennya chisla pi vidomij yak priklad Byuffona U 1873 roci angliyec V Shenks pislya 15 rokiv praci obchisliv 707 znakiv shopravda cherez pomilku tilki pershi 527 z nih buli pravilnimi Shob zapobigti podibnih pomilok suchasni obrahuvannya takogo rodu zdijsnyuyutsya dvichi Yaksho rezultati zbigayutsya to voni zi znachnoyu jmovirnistyu pravilni Pomilku Shenksa bulo viyavleno u 1948 roci odnim iz pershih komp yuteriv nim zhe za dekilka godin bulo virahuvano 808 znakiv p displaystyle pi Teoretichni dosyagnennya v 18 mu stolittya priveli do osyagnennya prirodi chisla p displaystyle pi chogo ne vdalos bi dosyagnuti tilki samimi chislovimi rozrahunkami Jogann Genrih Lambert doviv irracionalnist p displaystyle pi 1761 roku a Adriyen Mari Lezhandr 1774 roku doviv irracionalnist p displaystyle pi 2 Todi yak Leonard Ejler 1735 roku rozv yazav znamenitu i v rezultati znajshov tochne znachennya Rimanovoyi dzeta funkciyi dlya chisla 2 z 2 k 1 1k2 112 122 132 142 displaystyle zeta 2 sum k 1 infty frac 1 k 2 frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 cdots sho dorivnyuye p displaystyle pi 2 6 tak vin vidkriv odnu z najvidomishih formul prirodnogo zv yazku mizh p displaystyle pi ta prostimi chislami Oboye Lezhandr ta Ejler peredbachali sho chislo p displaystyle pi maye buti transcendentne sho zreshtoyu doviv Ferdinand fon Lindeman 1882 roku Obchislennya v epohu komp yuteriv Praktichno fizikam potribno tilki 39 cifr chisla p displaystyle pi shob obrahuvati ob yem vsesvitu z tochnistyu do rozmiru atoma vodnyu Nastannya epohi cifrovih komp yuteriv v XX stolitti prizvelo do zrostannya kilkosti novih rekordiv v rozrahunku chisla p displaystyle pi Dzhon fon Nejman ta jogo komanda vikoristali ENIAC shob rozrahuvati 2037 cifr chisla p displaystyle pi 1949 roku cej rozrahunok trivav 70 godin Dodatkovi tisyachi desyatkovih rozryadiv otrimali v nastupni desyatirichchya a rubizh v miljon cifr peretnuli v 1973 roci 1995 roku otrimano vzhe 6 442 450 000 znakiv Progres buv sprichinenij ne tilki shvidshimi komp yuterami ale j novimi algoritmami Odin z najznachnishih proriviv bulo vidkrittya shvidkogo peretvorennya Fur ye v 1960 h sho dalo mozhlivist komp yuteram robiti shvidko arifmetichni diyi z nadzvichajno velikimi chislami Na pochatku XX stolittya indijskij matematik Srinivasa Ramanudzhan vidkriv bagato novih formul dlya chisla p displaystyle pi deyaki z nih stali znameniti cherez svoyu elegantnist ta matematichnu glibinu Obchislyuvalni algoritmi zasnovani na formulah Ramanudzhana pracyuyut duzhe shvidko Odna z cih formul 1p 229801 k 0 4k 1103 26390k k 43964k displaystyle frac 1 pi frac 2 sqrt 2 9801 sum k 0 infty frac 4k 1103 26390k k 4 396 4k de k ce faktorial k A os takozh dobirka inshih formul p 1Z displaystyle pi frac 1 Z Z n 0 2n 3 42n 5 n 6163n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 2n 3 42n 5 n 6 16 3n 1 p 4Z displaystyle pi frac 4 Z Z n 0 1 n 4n 21460n 1123 n 44412n 1210n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 1 n 4n 21460n 1123 n 4 441 2n 1 2 10n 1 p 4Z displaystyle pi frac 4 Z Z n 0 6n 1 12 n34n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty frac 6n 1 left frac 1 2 right n 3 4 n n 3 p 32Z displaystyle pi frac 32 Z Z n 0 5 12 8n 42n5 30n 55 1 12 n364n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty left frac sqrt 5 1 2 right 8n frac 42n sqrt 5 30n 5 sqrt 5 1 left frac 1 2 right n 3 64 n n 3 p 274Z displaystyle pi frac 27 4Z Z n 0 227 n 15n 2 12 n 13 n 23 n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty left frac 2 27 right n frac 15n 2 left frac 1 2 right n left frac 1 3 right n left frac 2 3 right n n 3 p 1532Z displaystyle pi frac 15 sqrt 3 2Z Z n 0 4125 n 33n 4 12 n 13 n 23 n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty left frac 4 125 right n frac 33n 4 left frac 1 2 right n left frac 1 3 right n left frac 2 3 right n n 3 p 8585183Z displaystyle pi frac 85 sqrt 85 18 sqrt 3 Z Z n 0 485 n 133n 8 12 n 16 n 56 n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty left frac 4 85 right n frac 133n 8 left frac 1 2 right n left frac 1 6 right n left frac 5 6 right n n 3 p 5523Z displaystyle pi frac 5 sqrt 5 2 sqrt 3 Z Z n 0 4125 n 11n 1 12 n 16 n 56 n n 3 displaystyle Z sum n 0 infty left frac 4 125 right n frac 11n 1 left frac 1 2 right n left frac 1 6 right n left frac 5 6 right n n 3 p 23Z displaystyle pi frac 2 sqrt 3 Z Z n 0 8n 1 12 n 14 n 34 n n 39n displaystyle Z sum n 0 infty frac 8n 1 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 9 n p 39Z displaystyle pi frac sqrt 3 9Z Z n 0 40n 3 12 n 14 n 34 n n 3492n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 40n 3 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 49 2n 1 p 21111Z displaystyle pi frac 2 sqrt 11 11Z Z n 0 280n 19 12 n 14 n 34 n n 3992n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 280n 19 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 99 2n 1 p 24Z displaystyle pi frac sqrt 2 4Z Z n 0 10n 1 12 n 14 n 34 n n 392n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 10n 1 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 9 2n 1 p 455Z displaystyle pi frac 4 sqrt 5 5Z Z n 0 644n 41 12 n 14 n 34 n n 35n722n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 644n 41 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 5 n 72 2n 1 p 433Z displaystyle pi frac 4 sqrt 3 3Z Z n 0 1 n 28n 3 12 n 14 n 34 n n 33n4n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 1 n 28n 3 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 3 n 4 n 1 p 4Z displaystyle pi frac 4 Z Z n 0 1 n 20n 3 12 n 14 n 34 n n 322n 1 displaystyle Z sum n 0 infty frac 1 n 20n 3 left frac 1 2 right n left frac 1 4 right n left frac 3 4 right n n 3 2 2n 1 p 72Z displaystyle pi frac 72 Z Z n 0 1 n 4n 260n 23 n 444n182n displaystyle Z sum n 0 infty frac 1 n 4n 260n 23 n 4 4 4n 18 2n p 3528Z displaystyle pi frac 3528 Z Z n 0 1 n 4n 21460n 1123 n 444n8822n displaystyle Z sum n 0 infty frac 1 n 4n 21460n 1123 n 4 4 4n 882 2n de x n displaystyle x n ce simvol Pokhemera dlya spadnogo faktoriala Formula brativ Chudnovskih Pov yazanu formulu vidkrili brati Chudnovski 1987 roku 1p 12 k 0 1 k 6k 13591409 545140134k 3k k 36403203k 3 2 displaystyle frac 1 pi 12 sum k 0 infty frac 1 k 6k 13591409 545140134k 3k k 3 640320 3k 3 2 yakij daye 14 cifr za odin chlen ryadu Chudnovski vikoristali cyu formulu shob vstanoviti kilka rekordiv z obchislennya chisla p displaystyle pi v kinci 1980 h vklyuchno z pershim obchislennyam ponad 1 milyard 1 011 196 691 znakiv 1989 roku Cya formula zalishayetsya dobrim viborom dlya rozrahunku p displaystyle pi dlya program sho pracyuyut na personalnomu komp yuteri na protivagu superkomp yuteram yaki vikoristovuyut dlya vstanovlennya suchasnih rekordiv Todi yak ryadi zazvichaj pidvishuyut tochnist na pevnu kilkist rozryadiv za kozhen chlen ryadu isnuyut takozh algoritmi sho bagatokratno zbilshuyut kilkist pravilnih cifr za kozhen pidhid z tim nedolikom sho kozhen krok vimagaye znachnoyi kilkosti obchislyuvalnih resursiv Proriv buv zroblenij 1975 roku koli ta nezalezhno odin vid odnogo vidkrili v yakomu vikoristovuyutsya tilki arifmetichni diyi dlya podvoyennya kilkosti pravilnih cifr za kozhen krok Na pochatkovomu etapi algoritmu vstanovimo taki vihidni znachennya a0 1b0 12t0 14p0 1 displaystyle a 0 1 quad quad quad b 0 frac 1 sqrt 2 quad quad quad t 0 frac 1 4 quad quad quad p 0 1 i provodimo iteraciyi an 1 an bn2bn 1 anbn displaystyle a n 1 frac a n b n 2 quad quad quad b n 1 sqrt a n b n tn 1 tn pn an an 1 2pn 1 2pn displaystyle t n 1 t n p n a n a n 1 2 quad quad quad p n 1 2p n do tih pir poki an and bn ne stanut dostatno blizki Todi ocinka znachennya p displaystyle pi provoditsya za formuloyu p an bn 24tn displaystyle pi approx frac a n b n 2 4t n Pracyuyuchi za ciyeyu shemoyu dostatno zrobiti 25 iteracij shob dosyagti tochnosti 45 miljoniv pravilnih znakiv Shozhij algoritm sho vchetvero zbilshuye tochnist za kozhen krok znajshli ta Cej metod vikoristovuvali ta jogo komanda shob vstanoviti bilshist rekordiv z rozrahunku chisla p displaystyle pi pochinayuchi z 1980 roku azh do rozrahunku 206 158 430 000 desyatkovih znakiv chisla p displaystyle pi 1999 roku U 2002 roci Kanada ta jogo grupa vstanovili novij rekord 1 241 100 000 000 Hocha bilshist poperednih rekordiv buli vstanovleni za dopomogoyu algoritmu Brenta Salamina pri rozrahunkah 2002 roku vikoristovuvali formuli tipu Mechinovskih yaki hoch i potrebuvali bilshe iteracij zate radikalno znizhuvali vikoristannya pam yati Rozrahunki robili na superkomp yuteri Hitachi z 64 vuzliv ta z 1 terabajtom operativnoyi pam yati yakij buv zdatnij vikonuvati 2 triljoni operacij v sekundu V sichni 2010 roku rekord buv majzhe 2 7 triljoniv znakiv jogo vstanoviv francuzkij programist Fabris Bellar na personalnomu komp yuteri Ce pobilo poperednij rekord 2 576 980 370 000 znakiv sho vstanoviv Dajzuke Takahashi na T2K Tsukuba System superkomp yuter universitetu Cukuba sho v Tokio 6 serpnya 2010 roku v PhysOrg com opublikovano novinu sho yaponskij ta amerikanskij komp yuterni fahivci Shigeru Kondo ta Oleksandr Ji zayavili sho voni rozrahuvali znachennya p displaystyle pi do 5 triljoniv znakiv na personalnomu komp yuteri podvoyivshi poperednij rekord U serpni 2021 roku ogolosheno pro vstanovlennya nastupnogo rekordu Shvejcarski vcheni z Universitetu prikladnih nauk Graubyundena za 108 dniv i 9 godin za dopomogoyu superkomp yutera obchislili 62 8 trln desyatkovih znakiv chisla p displaystyle pi Ostanni 10 obchislenih cifr 7817924264 U 1997 roci Dejvid H Bejli Piter Boruejn i Sajmon Plaff vinajshli sposib shvidkogo obchislennya dovilnoyi dvijkovoyi cifri chisla p displaystyle pi bez obchislennya poperednih cifr zasnovanij na formuli p i 0 116i 48i 1 28i 4 18i 5 18i 6 displaystyle pi sum i 0 infty frac 1 16 i left frac 4 8i 1 frac 2 8i 4 frac 1 8i 5 frac 1 8i 6 right Podannya u viglyadi lancyugovogo drobu Poslidovnist z chastkovih znamennikiv prostogo lancyugovogo drobu dlya p displaystyle pi ne daye niyakoyi ochevidnoyi shemi p 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3 1 14 2 1 1 2 2 2 2 1 84 displaystyle pi 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3 1 14 2 1 1 2 2 2 2 1 84 cdots chi p 3 17 115 11 1292 11 11 11 displaystyle pi 3 textstyle cfrac 1 7 textstyle cfrac 1 15 textstyle cfrac 1 1 textstyle cfrac 1 292 textstyle cfrac 1 1 textstyle cfrac 1 1 textstyle cfrac 1 1 ddots Prote yaksho vikoristovuvati uzagalneni lancyugovi drobi to otrimayemo pevni zakonomirnosti p 41 122 322 522 722 922 3 126 326 526 726 926 41 123 225 327 429 displaystyle pi textstyle cfrac 4 1 textstyle cfrac 1 2 2 textstyle cfrac 3 2 2 textstyle cfrac 5 2 2 textstyle cfrac 7 2 2 textstyle cfrac 9 2 2 ddots 3 textstyle cfrac 1 2 6 textstyle cfrac 3 2 6 textstyle cfrac 5 2 6 textstyle cfrac 7 2 6 textstyle cfrac 9 2 6 ddots textstyle cfrac 4 1 textstyle cfrac 1 2 3 textstyle cfrac 2 2 5 textstyle cfrac 3 2 7 textstyle cfrac 4 2 9 ddots NablizhennyaNablizhene znachennya z tochnistyu do 1000 desyatkovih znakiv 3 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 Prostij metod zapam yatati chislo p displaystyle pi z tochnistyu do shesti znachushih cifr pislya komi vipishemo parami pershi tri naturalnih neparnih chisla 113355 rozdilimo spisok napolovinu ta podilimo druge chislo na pershe 355113 3 141592 displaystyle 355 over 113 3 141592 ldots Bezposeredno z oznachennya chisla p displaystyle pi yak vidnoshennya dovzhini kola do jogo diametra distayemo odin z mozhlivih metodiv obchislennya cogo chisla Viznachivshi dovzhinu dugi kola i jogo diametr a potim podilivshi pershe chislo na druge distanemo nablizhene znachennya chisla p displaystyle pi Ale tochnist znajdenogo takim metodom znachennya chisla p displaystyle pi zalezhit vid tochnosti vimiryuvannya dovzhini dug i vidrizkiv krim togo mi nikoli ne mayemo spravi z idealnim kolom Vikoristannya u fiziciChislo pi hocha j ne ye fizichnoyu konstantoyu duzhe chasto figuruye u fizichnih formulah zavdyaki tomu sho u nih chasto neyavno zakladeni vlastivosti kola osoblivo u vipadku simetriyi pri yakij zruchno vikoristovuvati polyarnu cilindrichnu abo sferichnu sistemu koordinat Inshim dzherelom poyavi chisla pi u fizichnih formulah ye vikoristannya normalnogo rozpodilu f x m s 1s2pexp x m 22s2 displaystyle f x mu sigma frac 1 sigma sqrt 2 pi exp left frac x mu 2 2 sigma 2 right ta peretvoren Fur ye zasnovanih na spivvidnoshenni ei w w tdt 2pd w w displaystyle int infty infty e i omega prime omega t dt 2 pi delta omega prime omega de d x displaystyle delta x delta funkciya Diraka Bilsh glibokij matematichnij rozglyad daye pidstavi stverdzhuvati sho taki vlastivosti tezh pov yazani z kolom i polyarnoyu abo sferichnoyu simetriyeyu napriklad cherez trigonometrichni funkciyi Vidkriti problemiNevidoma tochna mira irracionalnosti dlya chisel p displaystyle pi i p2 displaystyle pi 2 ale vidomo sho dlya p displaystyle pi vona ne perevishuye 7 6063 Nevidoma mira irracionalnosti dlya zhodnogo z takih chisel p e p e p e pe pe p2 ln p pp ep2 displaystyle pi e pi e pi cdot e frac pi e pi e pi sqrt 2 ln pi pi pi e pi 2 Dlya zhodnogo z nih nevidomo navit chi ye vono racionalnim chislom algebrichnim irracionalnim chi transcendentnim chislom Otzhe nevidomo chi ye chisla p displaystyle pi i e displaystyle e algebrichno nezalezhnimi Nevidomo chi ye np displaystyle n pi cilim chislom za pevnogo dodatnogo cilogo n displaystyle n div Tetraciya Donini nichogo nevidomo pro normalnist chisla p displaystyle pi nevidomo navit yaki z cifr 0 9 zustrichayutsya v desyatkovomu podanni chisla p displaystyle pi neskinchennu kilkist raziv Komp yuterna perevirka 200 mlrd desyatkovih znakiv p displaystyle pi pokazala sho vsi 10 cifr zustrichayutsya v comu zapisi praktichno odnakovo chasto Cifra Skilki raziv z yavlyayetsya0 20 000 030 8411 19 999 914 7112 20 000 013 6973 20 000 069 3934 19 999 921 6915 19 999 917 0536 19 999 881 5157 19 999 967 5948 20 000 291 0449 19 999 869 180 Odnak stroge dovedennya vidsutnye Nevidomo chi nalezhit 1p displaystyle frac 1 pi do kilcya periodiv U kulturiU bagatoh universitetah SShA vidznachayetsya Den chisla Pi yakij pripadaye na 14 bereznya oskilki u amerikanskij formi zapisu dat vona maye viglyad 3 14 Cikavim faktom ye te sho Den chisla Pi zbigayetsya z dnem narodzhennya vidatnogo naukovcya Alberta Ejnshtejna 14 bereznya 1592 roku 6 53 58 ce idealnij chas Dnya chisla Pi Yaksho cyu datu i chas zapisati v amerikanskomu formati 3 14 1592 6 53 58 to zapisanij poryadok cifr zbigayetsya z pershimi 12 ciframi v chisli Pi U fr muzej nauki v Parizhi isnuye krugova kimnata yaka nazivayetsya pi kimnata Na yiyi stini vpisano 707 cifr p Ci cifri bulo zasnovano na rozrahunku 1853 roku anglijskogo matematika en yakij mistiv pomilku pochinayuchi z 528 yi cifri Cyu pomilku bulo viyavleno 1946 roku j vipravleno 1949 roku Rekordi U serpni 2009 roku yaponski vcheni virahuvali chislo pi z tochnistyu do 2 triljoniv 576 milyardiv 980 miljoniv 377 tisyach 524 znakiv pislya komi Radzhvir Mina u 2015 roci vstanoviv svitovij rekord iz zapam yatovuvannya chisla pi pravilno nazvavshi z pam yati 67 890 cifr pislya komi U sviti trivaye zmagannya sered programistiv chij komp yuter viznachit najbilshe cifr chisla pi Rekordsmenom zaraz ye Oleksandr Dzhej Ji yakij u 2014 roci viznachiv azh 13 300 000 000 000 znakiv pislya komi Dlya cogo jogo komp yuter bezupinno pracyuvav 208 dniv Artem Garin uvijshov do knigi rekordiv Ukrayini zapam yatavshi najbilshu kilkist cifr chisla Pi Div takozhDen piPrimitkiSogodni Den chisla Pi 2017 03 14 u Wayback Machine zik ua 14 03 2017 George E Andrews Richard Askey Ranjan Roy 1999 Special Functions Cambridge University Press s 58 ISBN 0 521 78988 5 Gupta R C 1992 On the remainder term in the Madhava Leibniz s series Ganita Bharati 14 1 4 68 71 Laczkovich M 1997 On Lambert s Proof of the Irrationality of p The American Mathematical Monthly T 104 5 s 439 443 doi 10 2307 2974737 ISSN 0002 9890 Procitovano 8 lyutogo 2022 Weisstein Eric W Pi Squared angl na sajti Wolfram MathWorld About Pi Ask Dr Math FAQ Arhiv originalu za 23 chervnya 2013 Procitovano 29 zhovtnya 2007 Borwein Jonathan M David H Bailey 2 edition 27 Oct 2008 Mathematics by Experiment Plausible Reasoning in the 21st Century A K Peters s 103 136 137 ISBN 978 1568814421 C Boyer A History of Mathematics Wiley p 168 C Boyer A History of Mathematics Wiley p 202 George E Andrews Richard Askey Ranjan Roy 1999 Special Functions Cambridge University Press s 58 ISBN 0521789885 Joseph George Gheverghese October 2010 1991 The Crest of the Peacock Non European Roots of Mathematics vid 3rd Princeton University Press ISBN 978 0 691 13526 7 Charles Hutton 1811 Mathematical Tables Containing the Common Hyperbolic and Logistic Logarithms London Rivington s 13 Gleick James 8 bereznya 1987 Even Mathematicians Can Get Carried Away New York Times Arhiv originalu za 23 chervnya 2013 Procitovano 29 sichnya 2011 Young Robert M 1992 Excursions in Calculus Washington Mathematical Association of America MAA s 417 ISBN 0883853175 An ENIAC Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places Mathematical Tables and Other Aids to Computation 4 29 pp 11 15 January 1950 Statistical Treatment of Values of First 2 000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC Mathematical Tables and Other Aids to Computation 4 30 pp 109 111 April 1950 ftp pi super computing org README our last record 6b nedostupne posilannya The constant p displaystyle pi Ramanujan type formulas Arhiv originalu za 23 chervnya 2013 Procitovano 4 listopada 2007 Simon Plouffe David Bailey The world of Pi Pi314 net Arhiv originalu za 23 chervnya 2013 Procitovano 29 sichnya 2011 Collection of series for pi Numbers computation free fr Arhiv originalu za 23 chervnya 2013 Procitovano 29 sichnya 2011 1975 Traub J F red Analytic Computational Complexity New York Academic Press s 151 176 Arhiv originalu za 23 lipnya 2008 Procitovano 8 veresnya 2007 Borwein Jonathan M Borwein Peter Berggren Lennart 2004 Pi A Source Book Springer ISBN 0387205713 Pi calculated to record number of digits bbc co uk 6 sichnya 2010 Procitovano 6 sichnya 2010 Pi obsessed Japanese reach 2 5 trillion digits 2012 02 03 u Wayback Machine 2009 08 20 5 Trillion Digits of Pi New World Record Meilenstein zum Pi Stellen Weltrekord erreicht News FH Graubunden www fhgr ch Procitovano 17 serpnya 2021 Vus Olena 17 serpnya 2021 Vcheni vstanovili novij rekord z obchislennya chisla Pi TSN ukr Procitovano 17 serpnya 2021 PDF Arhiv originalu PDF za 29 lyutogo 2008 Procitovano 26 kvitnya 2008 Lange L J May 1999 An Elegant Continued Fraction for p displaystyle pi The American Mathematical Monthly 106 5 456 458 doi 10 2307 2589152 Weisstein Eric W Mera irracionalnosti angl na sajti Wolfram MathWorld Max A Alekseyev On convergence of the Flint Hills series 2011 Weisstein Eric W Irracionalne chislo angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Pi angl na sajti Wolfram MathWorld Some unsolved problems in number theory Weisstein Eric W Transcendentne chislo angl na sajti Wolfram MathWorld PDF Arhiv originalu PDF za 17 travnya 2013 Procitovano 13 sichnya 2021 Vezdesushee chislo pi 2007 s 67 69 Den chisla Pi 14 bereznya svyatkuyut najmatematichnishe svyato svitu 24 Kanal Procitovano 18 bereznya 2018 Posamentier Alfred S Lehmann Ingmar 2004 Pi A Biography of the World s Most Mysterious Number Prometheus Books s 118 ISBN 978 1 59102 200 8 angl Arndt Jorg Haenel Christoph 2006 Pi Unleashed Springer Verlag s 50 ISBN 978 3 540 66572 4 Procitovano 5 chervnya 2013 English translation by Catriona and David Lischka angl Yaponci pobili rekord z tochnosti obchislennya chisla Pi ros Sumchanin z fenomenalnoyu pam yattyuDzherelaBeckmann Petr 1989 A History of Pi Barnes amp Noble Publishing ISBN 0 88029 418 3 angl Zhukov A V Vezdesushee chislo pi Izd 3 2009 ros Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Kuzko Kuzyakin Sho take matematika Harkiv Yunisoft 2018 r ISBN 978 966 935 593 5 PosilannyaPortal Matematika Chislo p z tochnistyu do miljonogo znaku pislya komi Filippova Mariya 22 grudnya 2022 Cikavi fakti ta istoriya pro chislo Pi ukr Procitovano 22 bereznya 2023