У математиці та статистиці розпо́діл імові́рностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.
Розподіл імовірностей є окремим випадком загальнішого означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова.
Згідно з означенням П. Лапласа, мірою ймовірності є дріб, чисельником якого є число сприятливих подій, а знаменником — число всіх можливих випадків.
Також деякі вчені означають розподіл як ймовірнісну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі — ймовірність множини B є . Однак у цій статті розглядаємо лише ймовірнісні міри на множині інтервалів числової прямої.
Вступ
Для найпростіших випадків, аби визначити розподіл ймовірностей, необхідно розрізняти дискретні і неперервні випадкові величини. В випадку із дискретною величиною, достатньо визначити функцію імовірностей , яка задає значення імовірності кожному можливому результату: наприклад, при киданні шестигранної гральної кістки, кожне із шести можливих значень від 1 до 6 має однакову імовірність випасти, що дорівнює 1/6. Імовірність випадкової події тоді визначатиметься як сума ймовірностей тих результатів, які відповідають цій події; наприклад, імовірність події, що «при киданні гральної кістки випаде парне значення» дорівнюватиме
І навпаки, коли випадкова змінна приймає значення із неперервної області, тоді як правило окремий результат матиме нульову імовірність, і тільки події які містять нескінченно велику кількість значень, наприклад, інтервали, можуть мати додатне значення імовірності. Наприклад, імовірність того, що даних об'єкт має вагу, що точно дорівнює 500 г дорівнюватиме нулю, оскільки імовірність точно виміряти 500 г наближається до нуля, із тим як збільшуватиметься точність нашого інструменту вимірювання. Але тим не менш, контроль якості може вимагати, щоб імовірність «500 г» пакунку залишитися в межах ваги між 490 г та 510 г повинна становити не менше ніж 98 %, і ця вимога менш чутлива до точності інструментів вимірювання.
Неперервний розподіл імовірностей можна описати декількома шляхами. Функція густини імовірності описує нескінченно-малу ймовірність будь-якого даного значення, а імовірність того, що результат знаходитиметься в заданому інтервалі можна розрахувати за допомогою інтегрування функції густини імовірності по заданому інтервалу. З іншого боку, кумулятивна функція розподілу описує значення імовірності, що випадкова величина, не є більшою ніж дане значення; імовірність, що результат знаходиться у певному інтервалі можна розрахувати як різницю між значенням кумулятивної функції розподілу для кінцевих точок інтервалу. Кумулятивна функція розподілу є первісною для функції густини імовірності, за умови існування останньої.
Строге визначення
Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом імовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[a ≤ X ≤ b], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєю функцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як
для усіх x з R.
Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченної послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може набувати значення лише із визначеної скінченної (або зліченної) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу є неперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції f, що задовольняє умові
для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як драбина Кантора функція щільності також не визначена.
Дискретна функція розподілу виражається як —
для .
Де є ймовірністю елементарної події.
- Розподіл імовірностей суми двох незалежних випадкових величин є їх функцій щільності.
- Розподіл імовірностей різниці двох незалежних випадкових величин є крос-кореляцією їх функцій щільності.
Термінологія
Теорія ймовірностей використовується у досить різноманітних застосуваннях, і термінологія відповідно не є однорідною і іноді плутана. Наведені терміни використовуються для некумулятивних функцій розподілу імовірностей:
- Частотний розподіл: Частотний розподіл це таблиця, яка описує частоту виникнення різних результатів у вибірці.
- Відносний частотний розподіл: Частотний розподіл для якого кожне значення було розділене (нормоване) на кількість результатів у вибірці, тобто на розмір вибірки.
- Розподіл ймовірностей: Іноді використовують як синонім для відносного частотного розподілу, але в більшості книжок його використовують як границю до якої прямує відносний частотний розподіл, коли розмір вибірки прямує до розміру генеральної сукупності. Це загальний термін, який описує спосіб як загальна імовірність 1 розподілена по всім різним можливим результатам (тобто по всій генеральній сукупності). Він може, наприклад, означати таблицю, яка показує імовірності різних результатів для скінченної генеральної сукупності або густину імовірності для незліченно нескінченної генеральної сукупності.
- Кумулятивна функція розподілу ймовірностей: є загальною функціональною формою для описання розподілу ймовірностей.
- Функція розподілу ймовірностей: іноді може бути неоднозначним терміном, іноді може посилатися на функціональну форму таблиці розподілу імовірностей. Її ще можуть називати «нормованою функцією частотного розподілу», для якої площа під графіком дорівнює 1.
- Маса імовірності, Масова функція ймовірностей, Дискретна функція розподілу імовірностей: для дискретних випадкових величин.
- Категорійний розподіл: для дискретних випадкових величин із скінченною множиною значень.
- Густина імовірності, Функція густини імовірності, Щільність неперервної випадкової величини: як правило використовуються для неперервних випадкових величин.
Наступні терміни можуть вносити неоднозначність, оскільки можуть посилатися на некумулятивні і кумулятивні розподіли, в залежності від уподобань автора:
- Функція розподілу ймовірностей: неперервна або дискретна, некумулятивна або кумулятивна.
- Функція ймовірностей: ще більш неоднозначний термін, може означати будь-який варіант із наведених вище речей.
Список важливих ймовірнісних розподілів
Розподіли імовірностей як правило поділяють на два класи. Дискретний розподіл імовірностей (що застосовується у випадках коли множина можливих подій є дискретною, як наприклад підкидання монети чи гральної кістки) можна описати дискретним набором ймовірностей можливих подій, що називається функцією маси імовірностей. З іншого боку, неперервний розподіл імовірностей (що застосовується у випадках коли можливі події можуть приймати значення із неперервного діапазону (наприклад, дійсних чисел), як наприклад, температура в конкретний час дня) зазвичай описують за допомогою функції густини імовірностей (де імовірність виникнення кожного окремого результату фактично дорівнює 0). Самим загальнопоширеним неперервним розподілом імовірностей є нормальний розподіл. Більш складні експерименти, такі що пов'язані із випадковими процесами визначеними у [en], можуть потребувати використання більш загальних мір ймовірності.
Розподіл імовірностей, простором вибірки якого є множина дійсних чисел, називається [en], а розподіл простором вибірки якого є векторний простір називається спільним розподілом. Одноваріативний розподіл визначає імовірності однієї окремої випадкової величини яка приймає різні значення; багатоваріативний розподіл (спільний розподіл) визначає ймовірності вектора випадкової величини — списку двох або більшої кількості випадкових величин — враховуючи різні комбінації значень. До важливих і добревідомих одноваріативних розподілів імовірностей відносяться біноміальний розподіл, гіпергеометричний розподіл, і нормальний розподіл. Багатовимірний нормальний розподіл це найвідоміший спільний розподіл.
Деякі ймовірнісні розподіли є дуже важливим в теорії та практиці, тож їм дали свої назви:
Дискретні розподіли
Зі скінченною множиною подій
- Розподіл Бернуллі, що приймає значення 1 з ймовірністю p і значення 0 з ймовірністю q = 1 − p.
- (англ. Rademacher distribution), що приймає значення 1 з імовірністю 1/2 та значення −1 з імовірністю 1/2.
- Біноміальний розподіл описує кількість успіхів в схемі незалежних випробувань Бернуллі.
- Вироджений розподіл в x0, де X приймає значення x0 завжди. На перший погляд, такий розподіл не виглядає ймовірнісним, але він задовольняє означенню випадкової величини. Це часто стає в пригоді, оскільки вкладає однаковий зміст у константи і випадкові величини.
- Дискретний рівномірний розподіл, де всі елементи скінченної множини є рівноймовірними. Вважають, що це розподіл симетричної монети, «правильного» кубика, рулетки в казино чи добре перетасованої колоди карт. Також для генерації рівномірно розподілених випадкових величин можна використовувати міри квантових станів (measurements of quantum states). Все це «фізичні» чи «механічні» прилади, що можуть зазнати помилок в будові чи впливу довкілля, тож рівномірний розподіл є тільки наближенням до їх поведінки. У цифрових комп'ютерах для створення статистично випадкового дискретного рівномірного розподілу використовують псевдовипадкові генератори випадкових чисел.
- Гіпергеометричний розподіл, що описує кількість успіхів у перших m із ряду з n незалежних стохастичних дослідів виду Так/Ні у випадку коли відоме загальне число успіхів.
- . Дискретний степеневий розподіл, чиїм найвідомішим прикладом є опис частоти слів у англійській мові.
- , який є узагальненим .
З нескінченою множиною подій
Цей розділ містить фрагменти англійською мовою. |
- , дискретний розподіл, застосовується в статистичній фізиці, що описує ймовірності різних дискретних рівнів системи в термодинамічній рівновазі. Має неперервний аналог. До спеціальних видів належать:
- Геометричний розподіл, дискретний розподіл, що описує кількість спроб, необхідних, щоб отримати перший успіх в схемі незалежних випробувань Бернуллі.
- логарифмічний (ряд) розподіл
- Від'ємний біноміальний розподіл, узагальнення геометричного розподілу до nго успіху.
- Пуассонівський розподіл, що описує велику кількість малоймовірних подій протягом деякого інтервалу часу.
- , розподіл різниці двох незалежних пуассонівських випадкових величин.
- (англ. Yule-Simon distribution)
- Дзета-розподіл застосовується в прикладній статистиці та статистичній механіці, та може становити інтерес в теорії чисел. Є для нескінченної кількості елементів.
Неперервні розподіли
Визначені на замкненому інтервалі
- Бета-розподіл на [0,1], частковим випадком якого є рівномірний розподіл, використовується для оцінки ймовірностей успіху.
- Неперервний рівномірний розподіл на [a,b], має однакове значення в усіх точках інтервалу.
- рівномірний розподіл на [-1/2,1/2].
- Дельта-функція Дірака, не будучи функцією, є граничною формою багатьох неперервних функцій розподілу. Представляє дискретний розподіл зосереджений поблизу від 0 — вироджений розподіл — але він позначається так, наче є неперервним.
- (англ. Kumaraswamy distribution) настільки ж гнучкий, як і Бета-розподіл, але має простий замкнений вигляд для cdf та pdf.
- на інтервалі [a, b], окремим випадком якого є сума двох рівномірно розподілених величин (згортка двох рівномірних розподілів).
- на колі.
- — на N-вимірній сфері включає розподіл фон Майсеса як окремий випадок.
- на тривимірній сфері.
- відіграє важливу роль в теорії випадкових матриць.
Визначений на півінтервалі [0,∞)
- Нецентрований хі-розподіл
- Розподіл хі-квадрат, що є сумою квадратів n незалежних Гаусівських випадкових величин. Це частковий випадок Гамма-розподілу.
- Експоненціальний розподіл, що описує час між двома послідовними рідкими випадковими подіями під час процесу без післядії.
- F-розподіл, що є розподілом частки двох (нормалізованих) хі-квадрат-розподілених випадкових величин. Його використовують в аналізі дисперсії (англ. analysis of variance). (Коли частка двох хі-квадрат-розподілених величн не нормалізована діленням їх на кількість ступенів свободи, цей розподіл ще називають .)
- Гамма-розподіл, що описує час, за який n послідовних рідких подій відбудуться в процесі без післядії.
- Розподіл Ерланга, що є частковим випадком гамма-розподілу, і застосовується для визначення часу очікування в .
- Обернений гамма-розподіл
- Розподіл Леві
- Логнормальний розподіл, що описує змінні, які можуть бути змодельовані як добуток багатьох малих незалежних додатних випадкових величин.
- Розподіл Парето, або розподіл «за степеневим законом», що його використовують в аналізі фінансових даних та критичної поведінки (critical behavior).
- (див )
- Розподіл Рейлі
- Розподіл Райса
- Розподіл Вейбулла, чиїм частинним випадком є експоненціальний розподіл, використовують аби змоделювати життєвий цикл технічних приладів.
Визначені на всій дійсній осі
- Розподіл Коші, є прикладом розподілу, для якого не існує математичного сподівання, дисперсії та інших моментів. У фізиці він зазвичай називається функцією Лоренца, і пов'язаний з багатьма процесами, включаючи розподіл енергетичного резонансу, натуральне та вимушене розширення спектральних ліній.
- z-розподіл Фішера
- Розподіл Лапласа
- Нормальний розподіл, також називається Гаусівським, або дзвоном. Розповсюджений в природі та статистиці завдяки центральній граничній теоремі: кожна випадкова величина, яка може бути змодельована як сума великої кількості незалежних випадкових величин є майже нормально розподіленою.
- (див. )
- t-розподіл Стьюдента
Згортка розподілів
Для будь-якої множини випадкових величин функція щільності їх загального розподілу є добутком їх функцій щільності.
Ймовірносний простір розмірності більше 1
- Розподіл Діріхле, узагальнення бета-розподілу.
- поліноміальний розподіл, узагальнення біноміального розподілу.
- Багатовимірний нормальний розподіл, узагальнення нормального розподілу.
Матричні розподіли
Приклади розподілів
Клас розподілів типу зсув масштабу
Клас розподілів називається класом розподілу типу зсув-масштабу, якщо
Сама функція називається базовою для цього класу розподілів.
Або, якщо говорити звичайною мовою, це набір розподілів, графіки яких однакові, просто зсунуті чи масштабовані вздовж осі .
Наприклад, всі Нормальні розподіли утворюють клас розподілів типу зсув-масштабу.
Див. також
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Інтерактивні дискретні та неперервні ймовірносні розподіли [ 22 лютого 2008 у Wayback Machine.]
- Збірка основних ймовірносних розподілів [ 3 липня 2008 у Wayback Machine.]
- Статистичні розподіли — Огляд [ 5 березня 2008 у Wayback Machine.]
Примітки
- Лаплас. Опыт философии теории вероятностей / В книге: Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. — Большая Российская энциклопедия. — 1999. — С. 834 — 869.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici ta statistici rozpo dil imovi rnostej yakij maye matematichno opisuvatisya funkciyeyu rozpodilu jmovirnostej stavit u vidpovidnist kozhnomu intervalu jmovirnist takim chinom sho aksiomi jmovirnostej vikonuyutsya Matematichnoyu movoyu funkciya rozpodilu jmovirnostej ye jmovirnisnoyu miroyu viznachenoyu na borelivskij algebri intervaliv Diskretnij rozpodil jmovirnostej dlya sumi dvoh gralnih kistok Rozpodil imovirnostej ye okremim vipadkom zagalnishogo oznachennya jmovirnisnoyi miri yaka ye funkciyeyu sho stavit u vidpovidnist vimirnim mnozhinam z vimirnogo prostoru jmovirnosti za aksiomami Kolmogorova Zgidno z oznachennyam P Laplasa miroyu jmovirnosti ye drib chiselnikom yakogo ye chislo spriyatlivih podij a znamennikom chislo vsih mozhlivih vipadkiv Takozh deyaki vcheni oznachayut rozpodil yak jmovirnisnu miru indukovanu vipadkovoyu velichinoyu X na deyakomu intervali jmovirnist mnozhini B ye P X 1 B displaystyle P X 1 B Odnak u cij statti rozglyadayemo lishe jmovirnisni miri na mnozhini intervaliv chislovoyi pryamoyi VstupFunkciya gustini imovirnosti dlya normalnogo rozpodilu najbilsh vazhlivogo neperervnogo vipadkovogo rozpodilu Yak poznacheno na malyunku imovirnosti dlya intervaliv znachen vidpovidayut ploshi figuri pid krivoyu funkciyi Dlya najprostishih vipadkiv abi viznachiti rozpodil jmovirnostej neobhidno rozriznyati diskretni i neperervni vipadkovi velichini V vipadku iz diskretnoyu velichinoyu dostatno viznachiti funkciyu imovirnostej p displaystyle p yaka zadaye znachennya imovirnosti kozhnomu mozhlivomu rezultatu napriklad pri kidanni shestigrannoyi gralnoyi kistki kozhne iz shesti mozhlivih znachen vid 1 do 6 maye odnakovu imovirnist vipasti sho dorivnyuye 1 6 Imovirnist vipadkovoyi podiyi todi viznachatimetsya yak suma jmovirnostej tih rezultativ yaki vidpovidayut cij podiyi napriklad imovirnist podiyi sho pri kidanni gralnoyi kistki vipade parne znachennya dorivnyuvatime p 2 p 4 p 6 1 6 1 6 1 6 1 2 displaystyle p 2 p 4 p 6 1 6 1 6 1 6 1 2 I navpaki koli vipadkova zminna prijmaye znachennya iz neperervnoyi oblasti todi yak pravilo okremij rezultat matime nulovu imovirnist i tilki podiyi yaki mistyat neskinchenno veliku kilkist znachen napriklad intervali mozhut mati dodatne znachennya imovirnosti Napriklad imovirnist togo sho danih ob yekt maye vagu sho tochno dorivnyuye 500 g dorivnyuvatime nulyu oskilki imovirnist tochno vimiryati 500 g nablizhayetsya do nulya iz tim yak zbilshuvatimetsya tochnist nashogo instrumentu vimiryuvannya Ale tim ne mensh kontrol yakosti mozhe vimagati shob imovirnist 500 g pakunku zalishitisya v mezhah vagi mizh 490 g ta 510 g povinna stanoviti ne menshe nizh 98 i cya vimoga mensh chutliva do tochnosti instrumentiv vimiryuvannya Neperervnij rozpodil imovirnostej mozhna opisati dekilkoma shlyahami Funkciya gustini imovirnosti opisuye neskinchenno malu jmovirnist bud yakogo danogo znachennya a imovirnist togo sho rezultat znahoditimetsya v zadanomu intervali mozhna rozrahuvati za dopomogoyu integruvannya funkciyi gustini imovirnosti po zadanomu intervalu Z inshogo boku kumulyativna funkciya rozpodilu opisuye znachennya imovirnosti sho vipadkova velichina ne ye bilshoyu nizh dane znachennya imovirnist sho rezultat znahoditsya u pevnomu intervali mozhna rozrahuvati yak riznicyu mizh znachennyam kumulyativnoyi funkciyi rozpodilu dlya kincevih tochok intervalu Kumulyativna funkciya rozpodilu ye pervisnoyu dlya funkciyi gustini imovirnosti za umovi isnuvannya ostannoyi Stroge viznachennyaBud yaka vipadkova velichina zadayetsya svoyim rozpodilom imovirnostej Yaksho X ye vipadkovoyu velichinoyu jogo rozpodil stavit u vidpovidnist vidrizkam a b jmovirnist Pr a X b tobto jmovirnist sho vipadkova velichina X prijme znachennya z intervalu a b Rozpodil jmovirnostej velichini X mozhe buti odnoznachno opisanij svoyeyu funkciyeyu rozpodilu jmovirnostej F x yaka viznachayetsya yak F x Pr X x displaystyle F x Pr left X leq x right dlya usih x z R Rozpodil ye diskretnim yaksho jogo funkciya rozpodilu skladayetsya zi skinchennoyi poslidovnosti ustupiv sho faktichno oznachaye sho velichina X ye diskretnoyu vipadkovoyu velichinoyu vona mozhe nabuvati znachennya lishe iz viznachenoyi skinchennoyi abo zlichennoyi mnozhini Dehto viznachaye neperervnij rozpodil yak takij sho jogo funkciya rozpodilu ye neperervnoyu funkciyeyu sho oznachaye sho vona vidpovidaye takij vipadkovij velichini X dlya yakoyi Pr X x 0 dlya usih x v R Inshe viznachennya vikoristovuye termin neperervna funkciya rozpodilu lishe dlya absolyutno neperervnogo rozpodilu V terminah funkciyi shilnosti na mnozhini dijsnih chisel viznacheno nevid yemnij integral Lebega funkciyi f sho zadovolnyaye umovi Pr a X b a b f x d x displaystyle Pr left a leq X leq b right int a b f x dx dlya vsih a ta b Ochevidno dlya diskretnih rozpodiliv funkciya shilnosti ne viznachena hocha treba vidmititi sho dlya deyakih neperervnih rozpodiliv yak drabina Kantora funkciya shilnosti takozh ne viznachena Diskretna funkciya rozpodilu virazhayetsya yak F x Pr X x x i x p x i displaystyle F x Pr left X leq x right sum x i leq x p x i dlya i 1 2 displaystyle i 1 2 De p x i displaystyle p x i ye jmovirnistyu elementarnoyi podiyi Rozpodil imovirnostej sumi dvoh nezalezhnih vipadkovih velichin ye yih funkcij shilnosti Rozpodil imovirnostej riznici dvoh nezalezhnih vipadkovih velichin ye kros korelyaciyeyu yih funkcij shilnosti TerminologiyaTeoriya jmovirnostej vikoristovuyetsya u dosit riznomanitnih zastosuvannyah i terminologiya vidpovidno ne ye odnoridnoyu i inodi plutana Navedeni termini vikoristovuyutsya dlya nekumulyativnih funkcij rozpodilu imovirnostej Chastotnij rozpodil Chastotnij rozpodil ce tablicya yaka opisuye chastotu viniknennya riznih rezultativ u vibirci Vidnosnij chastotnij rozpodil Chastotnij rozpodil dlya yakogo kozhne znachennya bulo rozdilene normovane na kilkist rezultativ u vibirci tobto na rozmir vibirki Rozpodil jmovirnostej Inodi vikoristovuyut yak sinonim dlya vidnosnogo chastotnogo rozpodilu ale v bilshosti knizhok jogo vikoristovuyut yak granicyu do yakoyi pryamuye vidnosnij chastotnij rozpodil koli rozmir vibirki pryamuye do rozmiru generalnoyi sukupnosti Ce zagalnij termin yakij opisuye sposib yak zagalna imovirnist 1 rozpodilena po vsim riznim mozhlivim rezultatam tobto po vsij generalnij sukupnosti Vin mozhe napriklad oznachati tablicyu yaka pokazuye imovirnosti riznih rezultativ dlya skinchennoyi generalnoyi sukupnosti abo gustinu imovirnosti dlya nezlichenno neskinchennoyi generalnoyi sukupnosti Kumulyativna funkciya rozpodilu jmovirnostej ye zagalnoyu funkcionalnoyu formoyu dlya opisannya rozpodilu jmovirnostej Funkciya rozpodilu jmovirnostej inodi mozhe buti neodnoznachnim terminom inodi mozhe posilatisya na funkcionalnu formu tablici rozpodilu imovirnostej Yiyi she mozhut nazivati normovanoyu funkciyeyu chastotnogo rozpodilu dlya yakoyi plosha pid grafikom dorivnyuye 1 Masa imovirnosti Masova funkciya jmovirnostej Diskretna funkciya rozpodilu imovirnostej dlya diskretnih vipadkovih velichin Kategorijnij rozpodil dlya diskretnih vipadkovih velichin iz skinchennoyu mnozhinoyu znachen Gustina imovirnosti Funkciya gustini imovirnosti Shilnist neperervnoyi vipadkovoyi velichini yak pravilo vikoristovuyutsya dlya neperervnih vipadkovih velichin Nastupni termini mozhut vnositi neodnoznachnist oskilki mozhut posilatisya na nekumulyativni i kumulyativni rozpodili v zalezhnosti vid upodoban avtora Funkciya rozpodilu jmovirnostej neperervna abo diskretna nekumulyativna abo kumulyativna Funkciya jmovirnostej she bilsh neodnoznachnij termin mozhe oznachati bud yakij variant iz navedenih vishe rechej Spisok vazhlivih jmovirnisnih rozpodilivRozpodili imovirnostej yak pravilo podilyayut na dva klasi Diskretnij rozpodil imovirnostej sho zastosovuyetsya u vipadkah koli mnozhina mozhlivih podij ye diskretnoyu yak napriklad pidkidannya moneti chi gralnoyi kistki mozhna opisati diskretnim naborom jmovirnostej mozhlivih podij sho nazivayetsya funkciyeyu masi imovirnostej Z inshogo boku neperervnij rozpodil imovirnostej sho zastosovuyetsya u vipadkah koli mozhlivi podiyi mozhut prijmati znachennya iz neperervnogo diapazonu napriklad dijsnih chisel yak napriklad temperatura v konkretnij chas dnya zazvichaj opisuyut za dopomogoyu funkciyi gustini imovirnostej de imovirnist viniknennya kozhnogo okremogo rezultatu faktichno dorivnyuye 0 Samim zagalnoposhirenim neperervnim rozpodilom imovirnostej ye normalnij rozpodil Bilsh skladni eksperimenti taki sho pov yazani iz vipadkovimi procesami viznachenimi u en mozhut potrebuvati vikoristannya bilsh zagalnih mir jmovirnosti Rozpodil imovirnostej prostorom vibirki yakogo ye mnozhina dijsnih chisel nazivayetsya en a rozpodil prostorom vibirki yakogo ye vektornij prostir nazivayetsya spilnim rozpodilom Odnovariativnij rozpodil viznachaye imovirnosti odniyeyi okremoyi vipadkovoyi velichini yaka prijmaye rizni znachennya bagatovariativnij rozpodil spilnij rozpodil viznachaye jmovirnosti vektora vipadkovoyi velichini spisku dvoh abo bilshoyi kilkosti vipadkovih velichin vrahovuyuchi rizni kombinaciyi znachen Do vazhlivih i dobrevidomih odnovariativnih rozpodiliv imovirnostej vidnosyatsya binomialnij rozpodil gipergeometrichnij rozpodil i normalnij rozpodil Bagatovimirnij normalnij rozpodil ce najvidomishij spilnij rozpodil Deyaki jmovirnisni rozpodili ye duzhe vazhlivim v teoriyi ta praktici tozh yim dali svoyi nazvi Diskretni rozpodili Zi skinchennoyu mnozhinoyu podij Rozpodil Bernulli sho prijmaye znachennya 1 z jmovirnistyu p i znachennya 0 z jmovirnistyu q 1 p angl Rademacher distribution sho prijmaye znachennya 1 z imovirnistyu 1 2 ta znachennya 1 z imovirnistyu 1 2 Binomialnij rozpodil opisuye kilkist uspihiv v shemi nezalezhnih viprobuvan Bernulli Virodzhenij rozpodil v x0 de X prijmaye znachennya x0 zavzhdi Na pershij poglyad takij rozpodil ne viglyadaye jmovirnisnim ale vin zadovolnyaye oznachennyu vipadkovoyi velichini Ce chasto staye v prigodi oskilki vkladaye odnakovij zmist u konstanti i vipadkovi velichini Diskretnij rivnomirnij rozpodil de vsi elementi skinchennoyi mnozhini ye rivnojmovirnimi Vvazhayut sho ce rozpodil simetrichnoyi moneti pravilnogo kubika ruletki v kazino chi dobre peretasovanoyi kolodi kart Takozh dlya generaciyi rivnomirno rozpodilenih vipadkovih velichin mozhna vikoristovuvati miri kvantovih staniv measurements of quantum states Vse ce fizichni chi mehanichni priladi sho mozhut zaznati pomilok v budovi chi vplivu dovkillya tozh rivnomirnij rozpodil ye tilki nablizhennyam do yih povedinki U cifrovih komp yuterah dlya stvorennya statistichno vipadkovogo diskretnogo rivnomirnogo rozpodilu vikoristovuyut psevdovipadkovi generatori vipadkovih chisel Gipergeometrichnij rozpodil sho opisuye kilkist uspihiv u pershih m iz ryadu z n nezalezhnih stohastichnih doslidiv vidu Tak Ni u vipadku koli vidome zagalne chislo uspihiv Diskretnij stepenevij rozpodil chiyim najvidomishim prikladom ye opis chastoti sliv u anglijskij movi yakij ye uzagalnenim Z neskinchenoyu mnozhinoyu podij Cej rozdil mistit neperekladeni fragmenti anglijskoyu movoyu Vi mozhete dopomogti proyektu pereklavshi yih ukrayinskoyu diskretnij rozpodil zastosovuyetsya v statistichnij fizici sho opisuye jmovirnosti riznih diskretnih rivniv sistemi v termodinamichnij rivnovazi Maye neperervnij analog Do specialnih vidiv nalezhat Rozpodil Gibbsa Rozpodil Maksvella Bolcmana Rozpodil Boze Ejnshtejna Rozpodil Fermi Diraka Geometrichnij rozpodil diskretnij rozpodil sho opisuye kilkist sprob neobhidnih shob otrimati pershij uspih v shemi nezalezhnih viprobuvan Bernulli Puassonivskij rozpodil logarifmichnij ryad rozpodil Vid yemnij binomialnij rozpodil uzagalnennya geometrichnogo rozpodilu do ngo uspihu Puassonivskij rozpodil sho opisuye veliku kilkist malojmovirnih podij protyagom deyakogo intervalu chasu rozpodil riznici dvoh nezalezhnih puassonivskih vipadkovih velichin angl Yule Simon distribution Dzeta rozpodil zastosovuyetsya v prikladnij statistici ta statistichnij mehanici ta mozhe stanoviti interes v teoriyi chisel Ye dlya neskinchennoyi kilkosti elementiv Neperervni rozpodili Viznacheni na zamknenomu intervali Beta rozpodil Rivnomirnij rozpodil neperervnij Beta rozpodil na 0 1 chastkovim vipadkom yakogo ye rivnomirnij rozpodil vikoristovuyetsya dlya ocinki jmovirnostej uspihu Neperervnij rivnomirnij rozpodil na a b maye odnakove znachennya v usih tochkah intervalu rivnomirnij rozpodil na 1 2 1 2 Delta funkciya Diraka ne buduchi funkciyeyu ye granichnoyu formoyu bagatoh neperervnih funkcij rozpodilu Predstavlyaye diskretnij rozpodil zoseredzhenij poblizu vid 0 virodzhenij rozpodil ale vin poznachayetsya tak nache ye neperervnim angl Kumaraswamy distribution nastilki zh gnuchkij yak i Beta rozpodil ale maye prostij zamknenij viglyad dlya cdf ta pdf na intervali a b okremim vipadkom yakogo ye suma dvoh rivnomirno rozpodilenih velichin zgortka dvoh rivnomirnih rozpodiliv na koli na N vimirnij sferi vklyuchaye rozpodil fon Majsesa yak okremij vipadok na trivimirnij sferi vidigraye vazhlivu rol v teoriyi vipadkovih matric Viznachenij na pivintervali 0 Rozpodil hi kvadrat Eksponencialnij rozpodil Gamma rozpodil Rozpodil Pareto Necentrovanij hi rozpodil Rozpodil hi kvadrat sho ye sumoyu kvadrativ n nezalezhnih Gausivskih vipadkovih velichin Ce chastkovij vipadok Gamma rozpodilu Eksponencialnij rozpodil sho opisuye chas mizh dvoma poslidovnimi ridkimi vipadkovimi podiyami pid chas procesu bez pislyadiyi F rozpodil sho ye rozpodilom chastki dvoh normalizovanih hi kvadrat rozpodilenih vipadkovih velichin Jogo vikoristovuyut v analizi dispersiyi angl analysis of variance Koli chastka dvoh hi kvadrat rozpodilenih velichn ne normalizovana dilennyam yih na kilkist stupeniv svobodi cej rozpodil she nazivayut Gamma rozpodil sho opisuye chas za yakij n poslidovnih ridkih podij vidbudutsya v procesi bez pislyadiyi Rozpodil Erlanga sho ye chastkovim vipadkom gamma rozpodilu i zastosovuyetsya dlya viznachennya chasu ochikuvannya v Obernenij gamma rozpodil Rozpodil Levi Lognormalnij rozpodil sho opisuye zminni yaki mozhut buti zmodelovani yak dobutok bagatoh malih nezalezhnih dodatnih vipadkovih velichin Rozpodil Pareto abo rozpodil za stepenevim zakonom sho jogo vikoristovuyut v analizi finansovih danih ta kritichnoyi povedinki critical behavior div Rozpodil Rejli Rozpodil Rajsa Rozpodil Vejbulla chiyim chastinnim vipadkom ye eksponencialnij rozpodil vikoristovuyut abi zmodelyuvati zhittyevij cikl tehnichnih priladiv Viznacheni na vsij dijsnij osi Rozpodil Koshi Rozpodil Laplasa Rozpodil Levi Normalnij rozpodil Rozpodil Koshi ye prikladom rozpodilu dlya yakogo ne isnuye matematichnogo spodivannya dispersiyi ta inshih momentiv U fizici vin zazvichaj nazivayetsya funkciyeyu Lorenca i pov yazanij z bagatma procesami vklyuchayuchi rozpodil energetichnogo rezonansu naturalne ta vimushene rozshirennya spektralnih linij z rozpodil Fishera Rozpodil Laplasa Normalnij rozpodil takozh nazivayetsya Gausivskim abo dzvonom Rozpovsyudzhenij v prirodi ta statistici zavdyaki centralnij granichnij teoremi kozhna vipadkova velichina yaka mozhe buti zmodelovana yak suma velikoyi kilkosti nezalezhnih vipadkovih velichin ye majzhe normalno rozpodilenoyu div t rozpodil Styudenta Zgortka rozpodiliv Dlya bud yakoyi mnozhini vipadkovih velichin funkciya shilnosti yih zagalnogo rozpodilu ye dobutkom yih funkcij shilnosti Jmovirnosnij prostir rozmirnosti bilshe 1 Rozpodil Dirihle uzagalnennya beta rozpodilu polinomialnij rozpodil uzagalnennya binomialnogo rozpodilu Bagatovimirnij normalnij rozpodil uzagalnennya normalnogo rozpodilu Matrichni rozpodili Prikladi rozpodiliv Rozpodil KantoraKlas rozpodiliv tipu zsuv masshtabuKlas rozpodiliv F displaystyle mathfrak F nazivayetsya klasom rozpodilu tipu zsuv masshtabu yaksho F 0 F F F a b R 1 b gt 0 F x F 0 x a b displaystyle exists F 0 cdot in mathfrak F forall F cdot in mathfrak F exists a b in mathbb R 1 b gt 0 F x F 0 left frac x a b right Sama funkciya F 0 displaystyle F 0 nazivayetsya bazovoyu dlya cogo klasu rozpodiliv Abo yaksho govoriti zvichajnoyu movoyu ce nabir rozpodiliv grafiki yakih odnakovi prosto zsunuti chi masshtabovani vzdovzh osi x displaystyle x Napriklad vsi Normalni rozpodili utvoryuyut klas rozpodiliv tipu zsuv masshtabu Div takozhPortal Matematika Funkciya jmovirnostej Gustina jmovirnosti Vipadkova velichina Gistograma Vipadkovij grafDzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Interaktivni diskretni ta neperervni jmovirnosni rozpodili 22 lyutogo 2008 u Wayback Machine Zbirka osnovnih jmovirnosnih rozpodiliv 3 lipnya 2008 u Wayback Machine Statistichni rozpodili Oglyad 5 bereznya 2008 u Wayback Machine PrimitkiLaplas Opyt filosofii teorii veroyatnostej V knige Veroyatnost i matematicheskaya statistika Enciklopediya Gl red Bolshaya Rossijskaya enciklopediya 1999 S 834 869