У теорії ймовірностей і статистиці обернений гамма-розподіл — це двопараметрічна сім’я неперервних розподілів ймовірностей на додатній дійсній півосі, що є розподілом оберненої до змінної, що має гамма-розподіл. Мабуть, найбільше обернений гамма-розподіл використовується в баєсівській статистиці, де такий розподіл виникає як граничний апостеріорний розподіл для невідомої дисперсії нормального розподілу, якщо використовується неінформативний апріор, і як аналітично виражений спряжений апріор у випадку інформативного апріорного розподілу.
Обернений гамма | |
---|---|
Щільність розподілу | |
Функція розподілу ймовірностей | |
Параметри | форма (дійсне) масштаб (дійсне) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | для |
Мода | |
Дисперсія | для |
Коефіцієнт асиметрії | для |
Коефіцієнт ексцесу | для |
Ентропія | (див. дигамма-функція) |
Характеристична функція |
Однак серед баєсівців прийнято розглядати альтернативну параметризацію нормального розподілу з точки зору точності, що визначається як зворотна величина дисперсії, що дозволяє використовувати гамма-розподіл безпосередньо як спряжений апріор. Інші баєсівці вважають за краще параметрізувати зворотний гамма-розподіл інакше, як масштабований обернений розподіл хі-квадрат.
Характеристика
Функція щільності
Функція щільності ймовірності оберненого гамма-розподілу визначається на носії
з параметром форми і параметром масштабу . Тут позначає гамма-функцію.
На відміну від гамма-розподілу, який містить дещо подібний експоненціальний член, є параметром масштабу, оскільки функція розподілу задовольняє умову:
Функція розподілу
Функція розподілу є регуляризованою гамма-функцією
де чисельник — це верхня неповна гамма-функція, а знаменник — гамма-функція. Багато математичних пакетів дозволяють безпосередньо обчислити , регуляризовану гамма-функцію.
Моменти
За умови, що , -й момент оберненого гамма-розподілу задається формулою
Характеристична функція
у виразі характеристичної функції є модифікованою функціє. Бесселя 2-го роду.
Властивості
Для і ,
і
Інформаційна ентропія обислюється наступним чином
де — дигамма функція.
Розбіжність Кульбака-Лейблера оберненої-гамми ( α p, β p ) від оберненої-гамми ( α q, β q ) така сама, як і KL-розбіжність гамма ( α p, β p ) від гамма ( α q, β q ):
де є щільностями обернених гамма-розподілів та є щільностями гамма-розподілів, має Гамма( α p, β p ) розподіл.
Пов'язані розподіли
- Якщо тоді
- Якщо тоді (обернений хі-квадрат розподіл)
- Якщо тоді (масштабований обернений хі-квадрат <a href="./Обернений розподіл хі-квадрат" rel="mw:WikiLink" data-linkid="164" data-cx="{"adapted":false,"sourceTitle":{"title":"Inverse-chi-squared distribution","thumbnail":{"source":"https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/5a/Inverse_chi_squared_density.png/62px-Inverse_chi_squared_density.png","width":62,"height":80},"description":"Probability distribution","pageprops":{"wikibase_item":"Q3258519"},"pagelanguage":"en"},"targetFrom":"mt"}" class="cx-link" id="mwhQ" title="Обернений розподіл хі-квадрат">розподіл</a>)
- Якщо тоді (розподіл Леві)
- Якщо тоді (експоненційний розподіл)
- Якщо ( Гамма-розподіл з параметром темпу ) тоді (Деталі див. виведення в наступному абзаці)
- Зверніть увагу, що якщо (Гамма-розподіл з параметром масштабу ) тоді
- Обернений гамма-розподіл є окремим випадком розподілу Пірсона 5го типу
- Багатовимірним узагальненням оберненого гамма-розподілу є обернений розподіл Вішарта.
- Про розподіл суми незалежних обернених гамма-змінних див. Witkovsky (2001)
Виведення з гамма-розподілу
Нехай , і нагадаємо, що щільність гамма-розподілу
- , .
Враховуючи, що – параметр темпу змін в гамма-розподілі.
Визначимо перетворення . Далі щільність записується
Зауважте, що – параметр масштабу для оберненого гамма-розподілу.
Поява
- Розподіл часу відліку вінерівського процесу
Див. також
- Гамма-розподіл
- Обернений розподіл хі-квадрат
- Нормальний розподіл
Примітки
- InverseGammaDistribution—Wolfram Language Documentation. reference.wolfram.com. Процитовано 9 квітня 2018.
- John D. Cook (3 жовтня 2008). InverseGammaDistribution (PDF). Процитовано 3 грудня 2018.
- Ludkovski, Mike (2007). (PDF). UC Santa Barbara. с. 5—6. Архів оригіналу (PDF) за 26 січня 2022. Процитовано 26 січня 2022.
Джерела
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi jmovirnostej i statistici obernenij gamma rozpodil ce dvoparametrichna sim ya neperervnih rozpodiliv jmovirnostej na dodatnij dijsnij pivosi sho ye rozpodilom obernenoyi do zminnoyi sho maye gamma rozpodil Mabut najbilshe obernenij gamma rozpodil vikoristovuyetsya v bayesivskij statistici de takij rozpodil vinikaye yak granichnij aposteriornij rozpodil dlya nevidomoyi dispersiyi normalnogo rozpodilu yaksho vikoristovuyetsya neinformativnij aprior i yak analitichno virazhenij spryazhenij aprior u vipadku informativnogo apriornogo rozpodilu Obernenij gammaShilnist rozpodiluFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametria gt 0 displaystyle alpha gt 0 forma dijsne b gt 0 displaystyle beta gt 0 masshtab dijsne Nosij funkciyix 0 displaystyle x in 0 infty Rozpodil imovirnostejbaG a x a 1exp bx displaystyle frac beta alpha Gamma alpha x alpha 1 exp left frac beta x right Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf G a b x G a displaystyle frac Gamma alpha beta x Gamma alpha Serednyeba 1 displaystyle frac beta alpha 1 dlya a gt 1 displaystyle alpha gt 1 Modaba 1 displaystyle frac beta alpha 1 Dispersiyab2 a 1 2 a 2 displaystyle frac beta 2 alpha 1 2 alpha 2 dlya a gt 2 displaystyle alpha gt 2 Koeficiyent asimetriyi4a 2a 3 displaystyle frac 4 sqrt alpha 2 alpha 3 dlya a gt 3 displaystyle alpha gt 3 Koeficiyent ekscesu6 5a 11 a 3 a 4 displaystyle frac 6 5 alpha 11 alpha 3 alpha 4 dlya a gt 4 displaystyle alpha gt 4 Entropiyaa ln bG a 1 a ps a displaystyle alpha ln beta Gamma alpha 1 alpha psi alpha div digamma funkciya Harakteristichna funkciya2 ibt a2G a Ka 4ibt displaystyle frac 2 left i beta t right frac alpha 2 Gamma alpha K alpha left sqrt 4i beta t right Odnak sered bayesivciv prijnyato rozglyadati alternativnu parametrizaciyu normalnogo rozpodilu z tochki zoru tochnosti sho viznachayetsya yak zvorotna velichina dispersiyi sho dozvolyaye vikoristovuvati gamma rozpodil bezposeredno yak spryazhenij aprior Inshi bayesivci vvazhayut za krashe parametrizuvati zvorotnij gamma rozpodil inakshe yak masshtabovanij obernenij rozpodil hi kvadrat HarakteristikaFunkciya shilnosti Funkciya shilnosti jmovirnosti obernenogo gamma rozpodilu viznachayetsya na nosiyi x gt 0 displaystyle x gt 0 f x a b baG a 1 x a 1exp b x displaystyle f x alpha beta frac beta alpha Gamma alpha 1 x alpha 1 exp left beta x right z parametrom formi a displaystyle alpha i parametrom masshtabu b displaystyle beta Tut G displaystyle Gamma cdot poznachaye gamma funkciyu Na vidminu vid gamma rozpodilu yakij mistit desho podibnij eksponencialnij chlen b displaystyle beta ye parametrom masshtabu oskilki funkciya rozpodilu zadovolnyaye umovu f x a b f x b a 1 b displaystyle f x alpha beta frac f x beta alpha 1 beta Funkciya rozpodilu Funkciya rozpodilu ye regulyarizovanoyu gamma funkciyeyu F x a b G a bx G a Q a bx displaystyle F x alpha beta frac Gamma left alpha frac beta x right Gamma alpha Q left alpha frac beta x right de chiselnik ce verhnya nepovna gamma funkciya a znamennik gamma funkciya Bagato matematichnih paketiv dozvolyayut bezposeredno obchisliti Q displaystyle Q regulyarizovanu gamma funkciyu Momenti Za umovi sho a gt n displaystyle alpha gt n n displaystyle n j moment obernenogo gamma rozpodilu zadayetsya formuloyu E Xn bn a 1 a n displaystyle mathrm E X n frac beta n alpha 1 cdots alpha n Harakteristichna funkciya Ka displaystyle K alpha cdot u virazi harakteristichnoyi funkciyi ye modifikovanoyu funkciye Besselya 2 go rodu VlastivostiDlya a gt 0 displaystyle alpha gt 0 i b gt 0 displaystyle beta gt 0 E ln X ln b ps a displaystyle mathbb E ln X ln beta psi alpha i E X 1 ab displaystyle mathbb E X 1 frac alpha beta Informacijna entropiya obislyuyetsya nastupnim chinom H X E ln p X E aln b ln G a a 1 ln X bX aln b ln G a a 1 ln b a 1 ps a a a ln bG a a 1 ps a displaystyle begin aligned operatorname H X amp operatorname E ln p X amp operatorname E left alpha ln beta ln Gamma alpha alpha 1 ln X frac beta X right amp alpha ln beta ln Gamma alpha alpha 1 ln beta alpha 1 psi alpha alpha amp alpha ln beta Gamma alpha alpha 1 psi alpha end aligned de ps a displaystyle psi alpha digamma funkciya Rozbizhnist Kulbaka Lejblera obernenoyi gammi a p b p vid obernenoyi gammi a q b q taka sama yak i KL rozbizhnist gamma a p b p vid gamma a q b q DKL ap bp aq bq E log r X p X E log r 1 Y p 1 Y E log rG Y pG Y displaystyle D mathrm KL alpha p beta p alpha q beta q mathbb E left log frac rho X pi X right mathbb E left log frac rho 1 Y pi 1 Y right mathbb E left log frac rho G Y pi G Y right de r p displaystyle rho pi ye shilnostyami obernenih gamma rozpodiliv ta rG pG displaystyle rho G pi G ye shilnostyami gamma rozpodiliv Y displaystyle Y maye Gamma a p b p rozpodil DKL ap bp aq bq ap aq ps ap log G ap log G aq aq log bp log bq apbq bpbp displaystyle begin aligned D mathrm KL alpha p beta p alpha q beta q amp alpha p alpha q psi alpha p log Gamma alpha p log Gamma alpha q alpha q log beta p log beta q alpha p frac beta q beta p beta p end aligned Pov yazani rozpodiliYaksho X Inv Gamma a b displaystyle X sim mbox Inv Gamma alpha beta todi kX Inv Gamma a kb displaystyle kX sim mbox Inv Gamma alpha k beta Yaksho X Inv Gamma a 12 displaystyle X sim mbox Inv Gamma alpha tfrac 1 2 todi X Inv x2 2a displaystyle X sim mbox Inv chi 2 2 alpha obernenij hi kvadrat rozpodil Yaksho X Inv Gamma a2 12 displaystyle X sim mbox Inv Gamma tfrac alpha 2 tfrac 1 2 todi X Scaled Inv x2 a 1a displaystyle X sim mbox Scaled Inv chi 2 alpha tfrac 1 alpha masshtabovanij obernenij hi kvadrat lt a href Obernenij rozpodil hi kvadrat rel mw WikiLink data linkid 164 data cx amp quot adapted amp quot false amp quot sourceTitle amp quot amp quot title amp quot amp quot Inverse chi squared distribution amp quot amp quot thumbnail amp quot amp quot source amp quot amp quot https upload wikimedia org wikipedia en thumb 5 5a Inverse chi squared density png 62px Inverse chi squared density png amp quot amp quot width amp quot 62 amp quot height amp quot 80 amp quot description amp quot amp quot Probability distribution amp quot amp quot pageprops amp quot amp quot wikibase item amp quot amp quot Q3258519 amp quot amp quot pagelanguage amp quot amp quot en amp quot amp quot targetFrom amp quot amp quot mt amp quot class cx link id mwhQ title Obernenij rozpodil hi kvadrat gt rozpodil lt a gt Yaksho X Inv Gamma 12 c2 displaystyle X sim textrm Inv Gamma tfrac 1 2 tfrac c 2 todi X Levy 0 c displaystyle X sim textrm Levy 0 c rozpodil Levi Yaksho X Inv Gamma 1 c displaystyle X sim textrm Inv Gamma 1 c todi 1X Exp c displaystyle tfrac 1 X sim textrm Exp c eksponencijnij rozpodil Yaksho X Gamma a b displaystyle X sim mbox Gamma alpha beta Gamma rozpodil z parametrom tempu b displaystyle beta todi 1X Inv Gamma a b displaystyle tfrac 1 X sim mbox Inv Gamma alpha beta Detali div vivedennya v nastupnomu abzaci Zvernit uvagu sho yaksho X Gamma k 8 displaystyle X sim mbox Gamma k theta Gamma rozpodil z parametrom masshtabu 8 displaystyle theta todi 1 X Inv Gamma k 8 displaystyle 1 X sim mbox Inv Gamma k theta Obernenij gamma rozpodil ye okremim vipadkom rozpodilu Pirsona 5go tipu Bagatovimirnim uzagalnennyam obernenogo gamma rozpodilu ye obernenij rozpodil Visharta Pro rozpodil sumi nezalezhnih obernenih gamma zminnih div Witkovsky 2001 Vivedennya z gamma rozpodiluNehaj X Gamma a b displaystyle X sim mbox Gamma alpha beta i nagadayemo sho shilnist gamma rozpodilu fX x baG a xa 1e bx displaystyle f X x frac beta alpha Gamma alpha x alpha 1 e beta x x gt 0 displaystyle x gt 0 Vrahovuyuchi sho b displaystyle beta parametr tempu zmin v gamma rozpodili Viznachimo peretvorennya Y g X 1X displaystyle Y g X tfrac 1 X Dali shilnist Y displaystyle Y zapisuyetsya fY y fX g 1 y ddyg 1 y baG a 1y a 1exp by 1y2 baG a 1y a 1exp by baG a y a 1exp by displaystyle begin aligned f Y y amp f X left g 1 y right left frac d dy g 1 y right 6pt amp frac beta alpha Gamma alpha left frac 1 y right alpha 1 exp left frac beta y right frac 1 y 2 6pt amp frac beta alpha Gamma alpha left frac 1 y right alpha 1 exp left frac beta y right 6pt amp frac beta alpha Gamma alpha left y right alpha 1 exp left frac beta y right 6pt end aligned Zauvazhte sho b displaystyle beta parametr masshtabu dlya obernenogo gamma rozpodilu PoyavaRozpodil chasu vidliku vinerivskogo procesuDiv takozhGamma rozpodil Obernenij rozpodil hi kvadrat Normalnij rozpodilPrimitkiInverseGammaDistribution Wolfram Language Documentation reference wolfram com Procitovano 9 kvitnya 2018 John D Cook 3 zhovtnya 2008 InverseGammaDistribution PDF Procitovano 3 grudnya 2018 Ludkovski Mike 2007 PDF UC Santa Barbara s 5 6 Arhiv originalu PDF za 26 sichnya 2022 Procitovano 26 sichnya 2022 DzherelaHoff P 2009 A first course in bayesian statistical methods Springer Witkovsky V 2001 Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables Kybernetika 37 1 79 90 MR 1825758 Zbl 1263 62022