В математиці дигамма-функція визначається через логарифмічну похідну гамма-функції:
Вона є першою полігамма-функцією, а вищі функції (тригамма-функція і т.д.) виходять з неї диференціюванням.
Зв'язок з гармонічними числами
Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням
- ,
де -n-е гармонійне число, а - постійна Ейлера — Маскероні.
Покажемо звідки береться такий зв'язок. Гамма функція задовольняє рівняння
Візьмемо похідну по z:
Поділимо на Γ(z + 1) або ж еквівалентно на zΓ(z):
або:
Оскільки гармонічні числа визначені для додатніх цілих числах n за формулою
отже, дигамма функція пов'язана з ними формулою
де H0 = 0, і γ — стала Ейлера — Маскероні. Для напів цілих чисел дигамма функція набуває вигляду
Властивості
- Формула доповнення
- Рекурентні співвідношення
- Розкладання на нескінченну суму
- де - Дзета-функція Рімана.
- Логарифмічний розклад
- Теорема Гауса
- При цілих з умовою .
Деякі скінченні суми, в яких зустрічається дигамма функція
Є багато скінченних сум, де використовується дигамма функція. Основні з таких формул для сумування
виведені Ґауссом. А більш складніші формули, як такі
виведені багатьма сучасними математиками (див. наприклад Додаток B в статті Блаґошин (2014)).
Дигамма теорема Ґауса
Для натуральних r і m (r < m), дигамма функцію можна виразити через сталу Ейлера і скінченного числа елементарних функцій
дане вираження правильне спираючись на рекурсію для всіх раціональних аргументів.
Примітки
- R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
- H.M. Srivastava and J. Choi. Series Associated with the Zeta and Related Functions, Kluwer Academic Publishers, the Netherlands, 2001.
- Blagouchine, Iaroslav V. (2014). A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations. Journal of Number Theory. 148: 537—592. arXiv:1401.3724. doi:10.1016/j.jnt.2014.08.009.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Digamma Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Властивості дигамма-функції [ 18 лютого 2013 у Wayback Machine.] (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici digamma funkciya ps x displaystyle textstyle psi x viznachayetsya cherez logarifmichnu pohidnu gamma funkciyi Digamma funkciya ps x displaystyle psi x ps x d d x ln G x G x G x displaystyle psi x frac d dx ln Gamma x frac Gamma x Gamma x Vona ye pershoyu poligamma funkciyeyu a vishi funkciyi trigamma funkciya i t d vihodyat z neyi diferenciyuvannyam Zv yazok z garmonichnimi chislamiDigamma funkciya pov yazana z garmonijnimi chislami spivvidnoshennyam ps n H n 1 g displaystyle displaystyle psi n H n 1 gamma de H n displaystyle textstyle H n n e garmonijne chislo a g displaystyle textstyle gamma postijna Ejlera Maskeroni Pokazhemo zvidki beretsya takij zv yazok Gamma funkciya zadovolnyaye rivnyannya G z 1 z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z Vizmemo pohidnu po z G z 1 z G z G z displaystyle Gamma z 1 z Gamma z Gamma z Podilimo na G z 1 abo zh ekvivalentno na zG z G z 1 G z 1 G z G z 1 z displaystyle frac Gamma z 1 Gamma z 1 frac Gamma z Gamma z frac 1 z abo ps z 1 ps z 1 z displaystyle psi z 1 psi z frac 1 z Oskilki garmonichni chisla viznacheni dlya dodatnih cilih chislah n za formuloyu H n k 1 n 1 k displaystyle H n sum k 1 n frac 1 k otzhe digamma funkciya pov yazana z nimi formuloyu ps n H n 1 g displaystyle psi n H n 1 gamma de H0 0 i g stala Ejlera Maskeroni Dlya napiv cilih chisel digamma funkciya nabuvaye viglyadu ps n 1 2 g 2 ln 2 k 1 n 2 2 k 1 displaystyle psi left n tfrac 1 2 right gamma 2 ln 2 sum k 1 n frac 2 2k 1 VlastivostiFormula dopovnennya ps 1 x ps x p cot p x displaystyle displaystyle psi 1 x psi x pi cot pi x Rekurentni spivvidnoshennya ps x 1 ps x 1 x displaystyle psi x 1 psi x frac 1 x Rozkladannya na neskinchennu sumu ps x ln x 1 2 x n 1 z 1 2 n x 2 n displaystyle psi x ln x frac 1 2x sum n 1 infty frac zeta 1 2n x 2n de z x displaystyle zeta x Dzeta funkciya Rimana Logarifmichnij rozklad ps x n 0 1 n 1 k 0 n 1 k n k ln x k displaystyle psi x sum n 0 infty frac 1 n 1 sum k 0 n 1 k binom n k ln x k Teorema Gausa G p q G p q g ln 2 q p 2 cot p p q 2 0 lt n lt q 2 cos 2 p p n q ln sin p n q displaystyle frac Gamma p q Gamma p q gamma ln 2q frac pi 2 cot left frac pi p q right 2 sum 0 lt n lt q 2 cos left frac 2 pi pn q right ln left sin left frac pi n q right right Pri cilih p q displaystyle p q z umovoyu 0 lt p lt q displaystyle 0 lt p lt q Deyaki skinchenni sumi v yakih zustrichayetsya digamma funkciyaYe bagato skinchennih sum de vikoristovuyetsya digamma funkciya Osnovni z takih formul dlya sumuvannya r 1 m ps r m m g ln m displaystyle sum r 1 m psi left frac r m right m gamma ln m r 1 m ps r m exp 2 p r k i m m ln 1 exp 2 p k i m k Z m N k m displaystyle sum r 1 m psi left frac r m right cdot exp dfrac 2 pi rki m m ln left 1 exp frac 2 pi ki m right qquad k in mathbb Z quad m in mathbb N k neq m r 1 m 1 ps r m cos 2 p r k m m ln 2 sin k p m g k 1 2 m 1 displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot cos dfrac 2 pi rk m m ln left 2 sin frac k pi m right gamma qquad k 1 2 ldots m 1 r 1 m 1 ps r m sin 2 p r k m p 2 2 k m k 1 2 m 1 displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot sin frac 2 pi rk m frac pi 2 2k m qquad k 1 2 ldots m 1 vivedeni Gaussom A bilsh skladnishi formuli yak taki r 0 m 1 ps 2 r 1 2 m cos 2 r 1 k p m m ln tan p k 2 m k 1 2 m 1 displaystyle sum r 0 m 1 psi left frac 2r 1 2m right cdot cos frac 2r 1 k pi m m ln left tan frac pi k 2m right qquad k 1 2 ldots m 1 r 0 m 1 ps 2 r 1 2 m sin 2 r 1 k p m p m 2 k 1 2 m 1 displaystyle sum r 0 m 1 psi left frac 2r 1 2m right cdot sin dfrac 2r 1 k pi m frac pi m 2 qquad k 1 2 ldots m 1 r 1 m 1 ps r m cot p r m p m 1 m 2 6 displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot cot frac pi r m frac pi m 1 m 2 6 r 1 m 1 ps r m r m g 2 m 1 m 2 ln m p 2 r 1 m 1 r m cot p r m displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot frac r m frac gamma 2 m 1 frac m 2 ln m frac pi 2 sum r 1 m 1 frac r m cdot cot frac pi r m r 1 m 1 ps r m cos 2 ℓ 1 p r m p m r 1 m 1 r sin 2 p r m cos 2 p r m cos 2 ℓ 1 p m ℓ Z displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot cos dfrac 2 ell 1 pi r m frac pi m sum r 1 m 1 frac r cdot sin dfrac 2 pi r m cos dfrac 2 pi r m cos dfrac 2 ell 1 pi m qquad ell in mathbb Z r 1 m 1 ps r m sin 2 ℓ 1 p r m g ln 2 m cot 2 ℓ 1 p 2 m sin 2 ℓ 1 p m r 1 m 1 ln sin p r m cos 2 p r m cos 2 ℓ 1 p m ℓ Z displaystyle sum r 1 m 1 psi left frac r m right cdot sin dfrac 2 ell 1 pi r m gamma ln 2m cot frac 2 ell 1 pi 2m sin dfrac 2 ell 1 pi m sum r 1 m 1 frac ln sin dfrac pi r m cos dfrac 2 pi r m cos dfrac 2 ell 1 pi m qquad ell in mathbb Z r 1 m 1 ps 2 r m m 1 g 2 m 2 g ln 4 m ln m m m 1 ln 2 2 p 2 m 2 3 m 2 12 m ℓ 1 m 1 ln 2 sin p ℓ m displaystyle sum r 1 m 1 psi 2 left frac r m right m 1 gamma 2 m 2 gamma ln 4m ln m m m 1 ln 2 2 frac pi 2 m 2 3m 2 12 m sum ell 1 m 1 ln 2 sin frac pi ell m vivedeni bagatma suchasnimi matematikami div napriklad Dodatok B v statti Blagoshin 2014 Digamma teorema GausaDlya naturalnih r i m r lt m digamma funkciyu mozhna viraziti cherez stalu Ejlera i skinchennogo chisla elementarnih funkcij ps r m g ln 2 m p 2 cot r p m 2 n 1 m 1 2 cos 2 p n r m ln sin p n m displaystyle psi left frac r m right gamma ln 2m frac pi 2 cot left frac r pi m right 2 sum n 1 left lfloor frac m 1 2 right rfloor cos left frac 2 pi nr m right ln sin left frac pi n m right dane virazhennya pravilne spirayuchis na rekursiyu dlya vsih racionalnih argumentiv PrimitkiR Campbell Les integrales euleriennes et leurs applications Dunod Paris 1966 H M Srivastava and J Choi Series Associated with the Zeta and Related Functions Kluwer Academic Publishers the Netherlands 2001 Blagouchine Iaroslav V 2014 A theorem for the closed form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations Journal of Number Theory 148 537 592 arXiv 1401 3724 doi 10 1016 j jnt 2014 08 009 PosilannyaWeisstein Eric W Digamma Function angl na sajti Wolfram MathWorld Vlastivosti digamma funkciyi 18 lyutogo 2013 u Wayback Machine angl