Логарифмічна похідна

В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна функції f визначається формулою

${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\!}$,

де f ′ похідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, строго додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це випливає з ланцюгового правила.

Основні властивості

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть тоді коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, тому що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

Таким чином для додатно-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників. Також можна використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку:

${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}$

Таким чином, для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на ${\displaystyle -1}$:

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}$

як і у випадку із логарифмом оберненого додатного числа.

Логарифмічна похідна ділення - це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}$

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}$

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.