Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле, то розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається .
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlUyTDBkaGJXMWhYMlJwYzNSeWFXSjFkR2x2Ymw5d1pHWXVjM1puTHpNeU5YQjRMVWRoYlcxaFgyUnBjM1J5YVdKMWRHbHZibDl3WkdZdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Означення
Нехай розподіл випадкової величини задається щільністю ймовірності, яка має вигляд
де функція
має вигляд
і має наступні властивості:
;
;
константи . Тоді кажуть, що випадкова величина
має гамма-розподіл з параметрами
і
. Пишуть
.
Зауваження. Деколи використовують іншу параметризацію сімейства гамма-розподілів. Або вводять третій параметр — зсуву.
Моменти
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини , яка має гамма-розподіл, мають вигляд
,
.
Властивості гамма-розподілу
- Якщо
— незалежні випадкові величини, такі що
, то
.
- Якщо
, і
— довільна константа, то
.
- Гамма-розподіл .
Зв'язок з іншими розподілами
- Експоненціальний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу:
.
- Якщо
— незалежні експоненціальні випадкові величини, такі що
, то
.
- Розподіл хі-квадрат є окремим випадком гамма-розподілу:
.
Зокрема, якщо , то
і
.
- Згідно з центральною граничною теоремою,
при великих гамма-розподіл може бути наближений нормальним розподілом:
при
.
- Якщо
— незалежні випадкові величини такі, що
, то
.
Моделювання гамма-величин
Враховуючи властивість масштабування по параметру θ, що вказана вище, достатньо змоделювати гамма-величину для θ = 1. Перехід до інших значень параметра здійснюється простим множенням.
Використовуючи той факт, що розподіл збігається з експоненціальним розподілом, отримуємо, що якщо U — випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1], то
.
Тепер, використовуючи властивість k-сумування, :
де Ui — (незалежні) випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
Залишилось змоделювати гамма-величину для 0 < k < 1 і ще раз застосувати властивість k-сумування.
Нижче наведено алгоритм без доведення. Він є прикладом
- Нехай m дорівнює 1.
- Згенеруємо
и
— незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі (0, 1].
- Якщо
, де
, перейти до кроку 4, інакше до кроку 5.
- Покладемо
. Перейти до кроку 6.
- Покладемо
.
- Якщо
, то залишити m
на одиницю и вернутися до кроку 2.
- Прийняти
за реалізацію
.
Таким чином :
де [k] є цілою частиною k, а ξ згенерована по алгоритму, наведеному вище при δ = {k} (дробова частина k); Ui and Vl розподілені як вказано вище і попарно незалежні.
Гамма-розподіл втрат в страхуванні
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
Гамма-розподіл в теорії ймовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Він складається з параметрів θ і k. Якщо k — ціле тоді розподіл показує суму k незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, кожна з яких набуває значення θ. Якщо параметр k набуває цілого значення, то такий гамма-розподіл також називається розподілом Ерланга.
Випадкова величина Y має гамма-розподіл з параметрами λ > 0 і α > 0, якщо
де Γ — гамма-функція,
Середнє значення для випадкової величини, що має гамма-розподіл дорівнює
При x → ∞ щільність гамма-розподілу спадає швидше, ніж щільність розподілу Парето, але повільніше, ніж експоненціальна щільність. Це означає, що для однакового розміру збитку імовірність його виникнення при гамма-розподілі більше, ніж при експоненціальному розподілі, але менше, ніж при розподілі Парето. При α > 1 гамма-розподіл відповідає ситуації, коли позови в основному згруповані навколо деякого значення, а невеликі позови можливі, але малоімовірні.
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Примітки
- (англ.) Gliffy Public Diagram. [ 3 грудня 2013 у Wayback Machine.]
- Актуарні розрахунки : навчальний посібник / О. В. Козьменко, О. В. Кузьменко. — Суми: Університетська книга, 2011. — 224 с. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет