Z-розподіл Фішера

Z-розподіл Фішера (англ. Fisher's z-distribution) — статистичний розподіл половини логарифма від F розподіленої випадкової величини:

Z-розподіл Фішера
Параметри	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ deg. of freedom
Носій функції	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	{{{cdf}}}
Медіана	{{{median}}}
Мода	${\displaystyle 0}$
Дисперсія	{{{variance}}}
Коефіцієнт асиметрії	{{{skewness}}}
Коефіцієнт ексцесу	{{{kurtosis}}}
Твірна функція моментів (mgf)	{{{mgf}}}
Характеристична функція	{{{char}}}

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\log F}$

Вперше його було описано Рональдом Фішером у статті, виголошеній на Міжнародному математичному конгресі 1924 року в Торонто. Сьогодні натомість зазвичай працюють з F-розподілом.

Рональд Фішер

Функції густини ймовірності та розподілу можна вивести за допомогою F- розподілу в точці ${\displaystyle x'=e^{2x}\,}$. Однак середнє значення та дисперсія не є такою ж трансформацією.

Функція щільності записується

${\displaystyle f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}},}$ де В — бета-функція.

Коли кількість ступенів свободи зростає (${\displaystyle d_{1},d_{2}\rightarrow \infty }$) розподіл прямує до нормального із середнім значенням

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)}$

і дисперсією

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right).}$

Пов'язаний розподіл

• Якщо ${\displaystyle X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ тоді ${\displaystyle e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)\,}$ (F -розподіл)
• Якщо ${\displaystyle X\sim \operatorname {F} (n,m)}$ тоді ${\displaystyle {\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$

Примітки

1. Fisher, R. A. (1924). (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematics, Toronto. 2: 805—813. Архів оригіналу (PDF) за 12 квітня 2011.
2. (December 1941). A study of R. A. Fisher's z distribution and the related F distribution. The Annals of Mathematical Statistics. 12 (4): 429—448. doi:10.1214/aoms/1177731681. JSTOR 2235955.
3. (1961). A first course in mathematical statistics.

Ланки

• Запис у MathWorld [ 29 квітня 2021 у Wayback Machine.]