Розподіл Ерланга

Розподіл Ерланга — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів, визначених для ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$. Параметрами розподілу є:

• ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — параметр форми,
• ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ — коефіцієнт норми. Іноді використовується обернений параметр ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\lambda }}}$ — коефіцієнт масштабу.

Розподіл Ерланга
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$ — параметр форми ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ — коефіцієнт норми або обернений коефіцієнт масштабу
Носій функції	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n},}$ де ${\displaystyle \gamma }$ — неповна гамма-функція
Середнє	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Медіана	немає аналітичної форми
Мода	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Ентропія	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}}$ for ${\displaystyle t<\lambda }$
Характеристична функція	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}}$

Розподіл Ерланга — це розподіл суми ${\displaystyle k}$ незалежних однаково експоненційно розподілених випадкових величин з параметром ${\displaystyle 1/\lambda }$. Еквівалентним твердженням є те, що це розподіл часу до ${\displaystyle k}$-тої події пуассонівського процесу з параметром ${\displaystyle \lambda }$. Розподіли Ерланга та Пуассона є взаємнодоповнюючими: розподіл Пуассона підраховує кількість подій, що відбудуться за фіксований проміжок часу, а розподіл Ерланга підраховує кількість часу до появи фіксованої кількості подій. При ${\displaystyle k=1}$, розподіл Ерланга збігається з експоненційним розподілом. Розподіл Ерланга — окремий випадок гамма-розподілу з натуральними значеннями параметру форми ${\displaystyle k}$.

Випадкова величина ${\displaystyle \xi }$, що має розподіл Ерланга позначається наступним чином: ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$.

Названий на честь данського математика та інженера ^[en], який використовував розподіл для вивчення кількості телефонних дзвінків, які можуть бути здійснені одночасно до операторів телефонної станції. Ця робота з ^[en] була розширена для оцінки часу очікування в теорії черг загалом. Також розподіл використовується в площині випадкових процесів.

Опис

Щільність розподілу

Випадкова величина ${\displaystyle \xi }$ має розподіл Ерланга з параметром норми ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ порядку ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, якщо її щільність має вигляд:

${\displaystyle f_{\xi }(x)={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).}$

Альтернативна (але еквівалентна) параметризація використовує коефіцієнт масштабу ${\displaystyle \beta }$, який є оберненим до параметру норми (тобто ${\displaystyle \beta =1/\lambda }$), в такому випадку щільність розподілу має вигляд:

${\displaystyle f_{\xi }(x)={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).}$

При ${\displaystyle \beta =2}$, розподіл Ерланга збігається з хі-квадрат розподілом з ${\displaystyle 2k}$ ступенями свободи. Тому його можна розглядати як ^[en] для парної кількості ступенів свободи.

Функція розподілу ймовірностей

Розподіл Ерланга має таку функцію розподілу ймовірностей:

${\displaystyle F(x)=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — нижня неповна гамма-функція, а ${\displaystyle P}$ — (нижня регуляризована гамма-функція).

Функція розподілу також може бути записана в такій формі:

${\displaystyle F(x)=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

Медіана

Відомий асимптотичний розклад для медіани розподілу Ерланга з визначеними межами та обчислюваними параметрами. Наближене значення такого розкладу буде дорівнювати ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),}$ тобто менше за математичне сподівання ${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$

Генерація випадкових величин з розподілом Ерланга

Випадкова величина з розподілом Ерланга ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$ може бути згенерована з ${\displaystyle k}$ рівномірно розподілених випадкових величин ${\displaystyle \eta _{i}\sim U[0,1],i={\overline {1,k}}}$ за наступною формулою:

${\displaystyle \xi =-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}\eta _{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln \eta _{i}}$

Застосування

Час очікування

Незалежні випадкові події, які відбуваються з деякою середньою швидкістю моделюються за допомогою пуассонівського процесу. Час очікування між ${\displaystyle k}$ такими подіями має розподіл Ерланга (тоді як кількість подій, що відбулися за певний проміжок часу, розподілена за Пуассоном).

Розподіл Ерланга, який вимірює час між вхідними дзвінками, може бути використаний разом з очікуваною тривалістю вхідних дзвінків для отримання інформації про навантаження трафіку, що вимірюється в ^[en]. Це може бути використано для визначення ймовірності втрати або затримки пакетів, згідно з припущеннями щодо того чи заблоковані виклики перериваються (формула Erlang B) чи стовляться у чергу до обслуговування (формула Erlang C). Формули ^[en] та ^[en] досі використовуються для моделювання трафіку, наприклад при розробці дизайну кол-центрів.

Інші застосування

Віковий розподіл захворюваності на рак часто відповідає розподілу Ерланга, де параметри форми та масштабу передбачають кількість рушійних подій та часовий інтервал між ними, відповідно. У ширшому сенсі, розподіл Ерланга був запропонований як хороше наближення розподілу часу клітинного циклу, в результаті багатоступеневих моделей.

Він також використовувався в бізнес-економіці для опису часу між закупівлями.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$, то ${\displaystyle a\cdot \xi \sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)}$ для ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )}$, ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )}$ і ${\displaystyle \xi ,\eta }$ — незалежні, то ${\displaystyle \xi +\eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$

Зв'язок із іншими розподілами

• Розподіл Ерланга — це розподіл суми ${\displaystyle k}$ незалежних однаково розподілених випадкових величин з експоненційним розподілом. Довгострокова частота виникнення подій є оберненою до математичного сподівання ${\displaystyle \xi }$ величиною, тобто ${\displaystyle \lambda /k.}$ Інтенсивність (вікова інтенсивність відмов) розподілу Ерланга для ${\displaystyle k>1}$ монотонна в ${\displaystyle x,}$ зростає від 0 при ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle \lambda }$ при ${\displaystyle x\to \infty }$.
  • Тобто, якщо ${\displaystyle \xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),i={\overline {1,k}},}$ то ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{\xi _{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Через наявність факторіала в знаменнику щільності розподілу та функції розподілу, розподіл Ерланга може бути визначеним лише при ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$. Тому цей розподіл іноді називають розподілом Ерланга-k (англ. Erlang-k distribution) або розподілом Ерланга k-го порядку (наприклад, розподіл Ерланга-2 (2-го порядку) — це розподіл Ерланга з параметром ${\displaystyle k=2}$). Гамма-розподіл узагальнює розподіл Ерланга, дозволяючи набувати параметру ${\displaystyle k}$ будь-якого додатнього значення, оскільки використовує гамма-функцію замість факторіала.
  • Тобто якщо ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),}$ то ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$
• Відношення експоненційного розподілу та розподілу Ерланга ${\displaystyle n}$-го порядку з однаковими коефіцієнтами норми ${\displaystyle \lambda }$ зміщене на 1 має розподіл Парето:
  • Тобто якщо ${\displaystyle \xi \sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$ та ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$, то ${\displaystyle {\frac {\xi }{\eta }}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)}$
• Розподіл Ерланга пов'язаний з розподілом Пуассона через Пуассонівський процес: якщо ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i},}$ де ${\displaystyle \xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),}$

то $${\displaystyle S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )}$$ і $${\displaystyle \operatorname {P} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{S_{n}}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$$ В результаті маємо функцію розподілу Пуассона ${\displaystyle F_{\eta }(n-1)}$ для ${\displaystyle \eta \sim \operatorname {Pois} (\lambda x)}$.

Див. також

• Гамма-розподіл
• Розподіл Пуассона
• Експоненційний розподіл

Примітки

1. Choi, K. P. (травень 1994). On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan [Про медіани гамма-розподілів та рівняння Рамануджана]. Proceedings of the American Mathematical Society (англ.) . 121 (1): 245—251. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8. JSTOR 2160389.
2. Adell, J. A.; Jodrá, P. (липень 2008). On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma distribution [Про рівняння Рамануджана, пов’язане з медіаною гамма-розподілу]. Transactions of the American Mathematical Society (англ.) . 360 (7): 3631—3644. doi:10.1090/S0002-9947-07-04411-X.
3. Jodrá, P. (квітень 2012). Computing the Asymptotic Expansion of the Median of the Erlang Distribution [Обчислення асимптотичного розкладу медіани розподілу Ерланга]. Mathematical Modelling and Analysis (англ.) . 17 (2): 281—292. doi:10.3846/13926292.2012.664571.
4. Banneheka, BMSG; Ekanayake, GEMUPD (2009). [Нова точкова оцінка для медіани гамма-розподілу] (PDF). Viyodaya J Science (англ.) . 14: 95—103. Архів оригіналу (pdf) за 17 березня 2024.
5. Resa. Statistical Distributions - Erlang Distribution - Random Number Generator. www.xycoon.com. Процитовано 17 березня 2024.
6. Belikov, Aleksey V. (22 вересня 2017). The number of key carcinogenic events can be predicted from cancer incidence [Кількість ключових канцерогенних подій може бути передбачена на основі захворюваності на рак]. Scientific Reports (англ.) . 7 (1). doi:10.1038/s41598-017-12448-7. PMC 5610194. PMID 28939880.
7. Belikov, Aleksey V.; Vyatkin, Alexey; Leonov, Sergey V. (6 серпня 2021). The Erlang distribution approximates the age distribution of incidence of childhood and young adulthood cancers [Розподіл Ерланга апроксимується до вікового розподілу захворюваності на рак у дитячому та молодому віці]. PeerJ (англ.) . 9: e11976. doi:10.7717/peerj.11976. ISSN 2167-8359. PMC 8351573. PMID 34434669.
8. Yates, Christian A. (21 April 2017). A Multi-stage Representation of Cell Proliferation as a Markov Process [Багатоступеневе представлення проліферації клітин як марковського процесу]. Bulletin of Mathematical Biology (англ.) . 79 (1): 2905—2928. doi:10.1007/s11538-017-0356-4. PMC 5709504.
9. Gavagnin, Enrico (21 November 2019). The invasion speed of cell migration models with realistic cell cycle time distributions [Швидкість інвазії моделей клітинної міграції з реалістичними розподілами часу клітинного циклу]. Journal of Theoretical Biology (англ.) . 481: 91—99. arXiv:1806.03140. doi:10.1016/j.jtbi.2018.09.010.
10. Chatfield, C.; Goodhardt, G.J. (грудень 1973). A Consumer Purchasing Model with Erlang Inter-Purchase Times [Модель купівлі споживачем з міжкупівельним часом Ерланга]. Journal of the American Statistical Association (англ.) . 68: 828—835. JSTOR 2284508.
11. Cox, D. R. (1967). Renewal Theory. Methuen. с. 20. ISBN .

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Моклячук М. П. Лекцiї з теорiї ймовiрностей та математичної статистики. — 2020. — 177 с.
• Турчин В. М. Теорiя ймовiрностей i математична статистика. Основнi поняття, приклади, задачi: пiдручник для студентiв вищих навчальних закладiв. — Дніпропетровськ : IМА-прес, 2014. — 556 с.