Розподіл Максвелла — Больцмана

Розпо́діл Ма́ксвелла — Бо́льцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Розподіл Максвелла — Больцмана
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle a>0\,}$
Носій функції	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\textrm {erf}}\left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}},}$ де erf — функція помилок
Середнє	${\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
Мода	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
Дисперсія	${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle \gamma _{2}=4{\frac {(-96+40\pi -3\pi ^{2})}{(3\pi -8)^{2}}}}$
Ентропія	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-\gamma -\ln(a{\sqrt {2\pi }})}$

Ця стаття про рівні енергії та швидкості частинок. Про стани енергії системи див. .

Загальний опис

Ймовірність того, що частинка перебуває в стані з енергією ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

${\displaystyle p_{k}=n_{k}/N=e^{(\mu -\varepsilon _{k})/k_{B}T}=Ae^{(-\varepsilon _{k})/k_{B}T}}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана, N — число частинок.

${\displaystyle A=e^{(\mu )/k_{B}T}}$ — параметр виродження.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

${\displaystyle \sum _{k}n_{k}=N.}$.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли ${\displaystyle p_{k}\ll 1}$. Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі — Дірака так і розподіл Бозе — Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку ${\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {p} +d\mathbf {p} )}$ визначається формулою:

${\displaystyle dn_{\mathbf {p} }={\frac {N}{V(2\pi mk_{B}T)^{3/2}}}e^{-p^{2}/2mk_{B}T}dp_{x}dp_{y}dp_{z}}$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

${\displaystyle dn_{\mathbf {v} }={\frac {N}{V}}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-mv^{2}/2k_{B}T}dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$.

Розподіл Больцмана в зовнішньому потенціальному полі

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

${\displaystyle n(\mathbf {r} )=n_{0}e^{-U(\mathbf {r} )/k_{B}T}}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

${\displaystyle n(z)=n_{0}e^{-mgz/k_{B}T}}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також

• Дослід Ламмерта
• Розподіл Максвелла молекул ідеального газу за швидкостями
• Статистика Бозе — Ейнштейна
• Статистика Фермі — Дірака

Джерела

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие: Для вузов. В 10 т. — Москва : Физматлит, 2002. — Т. 5: Статистическая физика. Часть 1. — 616 с. — . (рос.)
• Глосарій термінів з хімії / Й. Опейда, О. Швайка. Інститут фізико-органічної хімії і вуглехімії імені Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет. — 5-е изд., стереот. — Донецьк : Вебер, 2008. — 738 с. — .