Розподіл Парето в теорії імовірностей — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів. Названий на честь італійського [en], економіста, і соціолога Вільфредо Парето. Це степеневий розподіл ймовірностей, який використовується для описання соціальних, наукових, геофізичних, актуарних, та багатьох інших типів спостережуваних явищ. Початково застосовувалася для описання [en] серед суспільства, що відповідає тенденції, що велика частина багатства зосереджена в руках невеликої частини населення людей. У розмовній версії розподіл Парето відомий як принцип Парето, або "правило 80—20", а також іноді може називатися "ефектом Матвія". Це правило стверджує що, наприклад, 80% багатства суспільства утримують 20% його населення. Однак, розподіл Парето дає цей результат тільки при певному значенні степеня, (α = log45 ≈ 1.16). Хоча є змінною, емпіричні спостереження установили, що розподіл 80-20 відповідає широкому загалу випадків, включаючи природні явища і діяльність людини.
Розподіл Парето | |
---|---|
Щільність розподілу Функції щільності розподілу Парето типу I для різних при При тому як розподіл наближається до де це Дельта-функція Дірака. | |
Функція розподілу ймовірностей Кумулятивна функція розподілу Парето типу 1 для різних при | |
Параметри | масштаб (дійсне) параметр форми (дійсне) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Медіана | |
Мода | |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу | |
Ентропія | |
Твірна функція моментів (mgf) | |
Характеристична функція |
Визначення
Якщо X є випадковою величиною із розподілом Парето (Типу I), тоді імовірність того, що X є більшою за деяке число x, тобто [en] (іноді називається функцією надійності), визначається як
де xm де (обов'язково додатне) мінімально можливе значення X, та α є додатнім параметром. Розподіл Парето типу I характеризується параметром масштабування xm і параметром форми α. Якщо розподіл використовують для моделювання розподілу багатства, тоді параметр α в даному контексті називають [en].
Властивості
Кумулятивна функція розподілу
Із визначення, кумулятивною функцією розподілу імовірностей випадкової величини Парето із параметрами α і xm є
Функція густини імовірностей
Звідси випливає (шляхом диференціювання) що функцією густини імовірностей є
При відображені на графіку, функція густини нагадує вигнуту криву, яка асимптотично наближається до кожної із осей. Всі сегменти кривої є самоподібними (з урахуванням відповідних коефіцієнтів масштабування). При зображенні на логарифмічному графіку, розподіл представляється у вигляді прямої лінії.
Моменти і характеристична функція
- Математичне сподівання випадкової величини, що має розподіл Парето визначається як
- Дисперсія випадкової величини, що відповідає розподілу Парето визначається як
- (Якщо α ≤ 1, дисперсія не існує.)
- Загальна формула для визначення моментів є наступною:
- Твірна функція моментів визначена лише для не додатних значень t ≤ 0, оскільки
- Характеристична функція випадкової величини визначається як
- де Γ(a, x) є неповною Гамма-функцією.
Умовний розподіл
Умовний розподіл імовірностей випадкової величини із розподілом Парето, задає подію що величина є більшою або рівною у порівнянні із певним числом , яке перевищує , є розподілом Парето із тим самим індексом Парето , але із мінімальним замість .
Характеристична теорема
Припустимо, що є незалежні однаково розподілені випадкові величини, розподіл імовірностей яких знаходиться в інтервалі supported для деякого значення . Припустимо, що для всіх , пара випадкових величин і є незалежними. Тоді їх спільний розподіл буде розподілом Парето.
Середнє геометричне
Середнє геометричне (G) визначається як:
Середнє гармонійне
Середнє гармонійне (H) визначається як:
Узагальнений розподіл Парето
Існує ієрархія розподілів Парето, що відомі як Парето Тип I, II, III, IV, і розподіл Феллера–Парето. Парето типу IV включає Парето типів I–III як особливі випадки. Розподіл Феллера–Парето узагальнює Парето IV типу.
Парето I–IV типів
Ієрархія розподілів Парето узагальнена у наступній таблиці, яка порівнює [en] (доповнена кумулятивна функція розподілу).
Коли μ = 0, розподіл Парето II типу відомий також як розподіл Ломакса.
В даному розділі, символ xm, що використовується для позначення мінімального значення x, замінено на символ σ.
Умова | Параметри | ||
---|---|---|---|
Тип I | |||
Тип II | |||
Ломакса | |||
Тип III | |||
Тип IV |
Параметр форми позначено як α, μ - положення, σ це масштаб, γ - параметр нерівності. Деякими особливими випадками розподілу Парето IV типу є:
Скінченність середнього значення, а також існування і скінченність дисперсії залежить від індексу α (індексу нерівності γ). Зокрема, часткові δ-моменти є скінченними для деяких δ > 0, як показано у таблиці нижче, де δ не обов'язково є цілим числом.
Умова | Умова | |||
---|---|---|---|---|
Тип I | ||||
Тип II | ||||
Тип III | ||||
Тип IV |
Розподіл Феллера–Парето
Феллер визначає змінну Парето шляхом перетворення U = Y−1 − 1 випадкової величини Y із Бета-розподілом, функція густини розподілу якої дорівнює
де B( ) - Бета-функція. Якщо
тоді W має розподіл Феллера–Парето FP(μ, σ, γ, γ1, γ2).
Якщо і є незалежними Гамма-розподіленими величинами, іншим способом побудувати випадково величину із розподілом Феллера–Парето (ФП) можна як
і ми запишемо W ~ FP(μ, σ, γ, δ1, δ2). Особливими випадками розподілу Феллера–Парето є
Застосування
Парето спочатку застосував цей розподіл для моделювання [en] між людьми оскільки здавалося він досить добре показує те, що більша частина багатства будь-якого суспільства як правило зосереджена у власності невеликого проценту осіб із даного суспільства. Він також використовував її для описання розподілу прибутку. Цю ідею як правило описують в більш простій формі як принцип Парето або "правило 80—20" яке стверджує, що 20% населення контролюють 80% всіх багатств. Однак, правило 80-20 відповідає частковому значенню α, і на справді, дані Парето про податки на прибуток в Британії в його роботі Cours d'économie politique вказують, що близько 30% населення мали близько 70% прибутку. Графік функції густини імовірності на початку цієї статті показу, що "імовірність" або частка населення, яка володіє невеликою кількістю багатства на людину, є досить великою, і зменшується зі зростанням кількості багатства. (Слід зауважити, що розподіл Парето не є реалістичним для випадку із невеликою величиною багатства. Насправді, чисті активи можуть бути навіть від'ємними.) Цей розподіл не обмежується використанням для описання багатства або прибутку населення, а і використовується для багатьох ситуацій, в яких знаходиться рівновага у розподіленні від "малого" до "великого". Наступні прикладі іноді розглядають як такі, що приблизно мають розподіл Парето:
- Розмір населених пунктів (небагато міст, багато селищ/сіл)
- Розподіл розмірів файлів в Інтернет-трафіку в якому використовується протокол TCP (багато менших файлів, рідше великі)
- Частота помилок запису на жорсткому диску
- Кластери конденсації Бозе — Ейнштейна близько абсолютного нуля
- Величина запасів нафти в нафтових родовищах (не багато [en], і багато малих родовищ)
- Обсяг задач, які виносилися для вирішення на суперкомп'ютерах (декілька великих, багато малих)
- Нормалізована дохідність цін на окремі акції.
- Розміри частинок піску
- Розмір метеоритів
- Величина значних втрат унаслідок катастроф для певного роду бізнесу, генеральні зобов'язання, комерційні авто, і компенсація робітникам.
- В Гідрології розподіл Парето застосовується для моделювання надзвичайних подій таких як щорічні максимальні опади на добу і паводок рік. Зображення із синім фоном показує приклад підбору розподілу Парето для впорядкованого показнику щорічного максимуму опадів на добу показує також 90% довірчий інтервал оснований на біноміальному розподілі. Дані випадіння опадів показані за допомогою точкових позицій, що зрештою показує процес кумулятивний частотний аналіз.
Зв'язок із іншими розподілами
Зв'язок із експоненційним розподілом
Розподіл Парето пов'язаний із експоненційним розподілом наступним чином. Якщо випадкова величина X має розподіл Парето із мінімумом xm і індексом α, тоді
є експоненційно розподіленою величиною із параметром α. Аналогічно, якщо Y експоненційно розподілена випадкова величина із параметром α, тоді
має розподіл Парето із мінімумом xm та індексом α.
Це можна використовувати у стандартній процедурі заміни змінної:
Крайній вираз задає кумулятивну функцію розподілу для експоненційного розподілу із параметром α.
Зв'язок із узагальненим розподілом Парето
Розподіл Парето є особливим випадком узагальненого розподілу Парето, який є сімейством розподілів подібної форми, але містить додатковий параметр, що дозволяє обмежити розподіл знизу (в довільній точці), або бути обмеженим зверху і знизу (де обидві межі є змінними), і містить розподіл Ломакса як особливий випадок. До цього сімейства відносяться також обидва зміщений і не зміщений експоненційні розподіли.
Розподіл Парето із масштабом і формою еквівалентний узагальненому розподілу Парето із зсувом , масштабом і формою . І навпаки, можна отримати розподіл Парето із узагальненого розподілу Парето прийнявши, що і .
Зв'язок із законом Ципфа
Розподіл Парето є неперервним розподілом ймовірностей.Закон Ципфа, який іноді називають дзета-розподілом, це дискретний розподіл, який розділяє величини на просте ранжування. Обидва є простим степеневим законом із від'ємним показником, масштабовані так, що їхня кумулятивна функція розподілу дорівнює 1. Розподіл Ципфа можна отримати із розподілу Парето якщо значення (прибутки) ранговані на класів, так що кількість людей в кожному класі визначається відповідно до відношення 1/ранг. Розподіл нормалізують шляхом визначення такого , що де є узагальненим гармонічним числом. Це дозволяє отримати функцію густини імовірностей для розподілу Ципфа із розподілу Парето.
де і є цілим числом, що задає ранг від 1 до N де N є найвищим доходом. Таким чином довільно обрана особа (або слово, посилання на вебсайт, або місто) із популяції (або мови, інтернету, чи країни) має ймовірність ранжування .
Зв'язок із "Принципом Парето"
"Правило 80—20", відповідно до якого 20% всіх людей отримують 80% всього прибутку, і 20% з найбільш забезпечених 20% отримують 80% із тих 80%, і так далі, точно дотримується якщо індекс Парето становить α = log4(5) = log(5)/log(4), приблизно 1.161. Цей результат можна отримати із формули для розподілу Лоренца наведеної нижче. Крім того, було показано що наступні твердження є математично еквівалентними:
- Прибуток розподіляється відповідно до розподілу Парето з індексом α > 1.
- Існує деяке число 0 ≤ p ≤ 1/2 таке що 100p % з усіх людей отримують 100(1 − p)% всього прибутку, і аналогічно для кожного дійсного числа (не обов'язково цілого) n > 0, 100pn % з усіх людей отримують 100(1 − p)n процентів всього доходу. α і p пов'язані між собою наступним чином
Це відноситься не тільки до прибутку, а і до багатства, або будь-чого що може моделювати цей розподіл.
Це включає також розподіли Парето що мають 0 < α ≤ 1, які, як було вказано вище, мають нескінченне математичне сподівання і таким чином не можуть достовірно моделювати розподіл прибутку.
Розподіл Лоренца і коефіцієнт Джині
Розподіл Лоренца часто використовують для характеристики розподілу доходів і багатства. Для будь-якого розподілу, розподіл Лоренца L(F) можна записати через функцію щільності f або функцію розподілу F як
де x(F) є оберненою для функції розподілу CDF. Для розподілу Парето,
а крива Лоренца розраховується як
Для знаменник буде нескінченним, що приводить до L=0. Приклади кривої Лоренца для декількох розподілів Парето показані на малюнку праворуч.
Відповідно до Оксфам (2016) найбагатші 62 людини мають стільки ж статку як найбідніша половина світової популяції. Ми можемо розрахувати індекс Парето, який відповідатиме цій ситуації. Прийнявши, що ε дорівнює маємо:
або
В результаті α дорівнює близько 1.15, і близько 9% з усіх статків належать кожній з цих груп. Але насправді найбідніші 69% із дорослих людей всього світу володіють лише близько 3% статків.
Коефіцієнт Джині є мірою відхилення кривої Лоренца від рівнорозподіленої прямої, що є прямою яка сполучає точки [0, 0] і [1, 1], яка на графіку праворуч показана чорним кольором (α = ∞). Конкретно, коефіцієнт Джині є подвоєною площею між кривою Лоренца і рівнорозподіленою прямою. Коефіцієнт Джині для розподілу Парето розраховується (для ) як
Оцінка параметрів
Функція правдоподібності для параметрів α і xm розподілу Парето, для незалежної вибірки x = (x1, x2, ..., xn), задається як
Таким чином, логарифмічна функція правдоподібності дорівнює
Можна побачити, що монотонно зростає із зростанням xm, таким чином, чим більшим є значення xm, тим більшим буде значення функції правдоподібності. Таким чином, оскільки x ≥ xm, ми можемо зробити висновок, що
Для того, щоб знайти статистичну оцінку для α, ми розраховуємо відповідну часткову похідну і знаходимо де вона дорівнює нулю:
Таким чином, оцінкою максимальної правдоподібності для α буде:
Очікувана статистична оцінка дорівнює:
Малік (1970) приводить результат із точним спільним розподілом величин . Зокрема, і є незалежними а має розподіл Парето із параметром масштабу xm і параметром форми nα, тоді як має Обернений гамма-розподіл із параметрами форми і масштабу n − 1 та nα, відповідно.
Графічне представлення
Характерна крива розподілу із 'довгим хвостом' при зображенні на лінійній шкалі, приховує в собі внутрішню простоту функції при зображенні її у логарифмічній системі координат, де вона приймає форму прямої лінії із від'ємним градієнтом: Із формули для функції густини імовірностей випливає, що для x ≥ xm,
Оскільки α є додатнім, градієнт −(α + 1) є від'ємним.
Генерування випадкової вибірки
Генерування випадкової вибірки можна виконати за допомогою [en]. Дано випадкову величину U, яка отримана із неперервного рівномірного розподілу у одиничному інтервалі (0, 1], змінна T задана виразом
маж розподіл Парето. Якщо U неперервно рівномірно розподілена у інтервалі [0, 1), її можливо замінити на (1 − U).
Варіанти
Обмежений розподіл Парето
Обмежений розподіл Парето | |
---|---|
Параметри | зсув (дійсне число) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Медіана | |
Дисперсія | (це момент другого порядку, не дисперсія) |
Коефіцієнт асиметрії | (це момент k-го порядку, не скошеність) |
Обмежений (або обрізаний) розподіл Парето має три параметри: α, L і H. Як і в стандартному розподілі Парето параметр α визначає форму. L означає мінімальне значення, а H позначає максимальне значення.
Функція густини імовірностей є наступною:
- ,
де L ≤ x ≤ H, і α > 0.
Генерування випадкових величин обмеженого розподілу Парето
Якщо U is рівномірно розподілена в інтервалі (0, 1), тоді застосувавши метод зворотнього перетворення, отримаємо
є відповідає обмеженому розподілу Парето.
Симетричний розподіл Парето
Симетричний розподіл Парето можна визначити за допомогою наступної функції густини імовірностей:
Він має форму подібну до розподілу Парето при x > xm є [en] відносно вертикальної осі.
Див. також
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Pareto distribution, Математична енциклопедія, , ISBN
- Weisstein, Eric W. Pareto distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Aabergé, Rolf (May 2005), (PDF), архів оригіналу (PDF) за 20 квітня 2020, процитовано 5 березня 2019
- Crovella, Mark E.; Bestavros, Azer (December 1997). (PDF). IEEE/ACM Transactions on Networking. Т. 5, № 6. с. 835—846. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 5 березня 2019.
- syntraf1.c [ 10 лютого 2019 у Wayback Machine.] - програма на мові програмування C для генерування штучного трафіку пакетів, із обмеженим розміром пакетів і часом між пакетами відповідно до розподілу Парето.
Примітки
- Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions. International Co-operative Publishing House. ISBN .
- Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.
- Johnson, Kotz, and Balakrishnan (1994), (20.4).
- Christian Kleiber & Samuel Kotz (2003). . . ISBN . Архів оригіналу за 20 квітня 2020. Процитовано 6 березня 2019.
- Feller, W. (1971). An Introduction to Probability Theory and its Applications. Т. II (вид. 2nd). New York: Wiley. с. 50. "The densities (4.3) are sometimes called after the economist Pareto. It was thought (rather naïvely from a modern statistical standpoint) that income distributions should have a tail with a density ~ Ax−α as x → ∞."
- Lomax, K. S. (1954). Business failures. Another example of the analysis of failure data. Journal of the American Statistical Association. 49 (268): 847—52. doi:10.1080/01621459.1954.10501239.
- Chotikapanich, Duangkamon. . Modeling Income Distributions and Lorenz Curves. с. 121—22. Архів оригіналу за 20 квітня 2020. Процитовано 6 березня 2019.
- Pareto, Vilfredo, Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino, Librairie Droz, Geneva, 1964, pp. 299–345.
- For a two-quantile population, where approximately 18% of the population owns 82% of the wealth, the takes the value 1.
- Reed, William J. та ін. (2004). The Double Pareto-Lognormal Distribution – A New Parametric Model for Size Distributions. Communications in Statistics – Theory and Methods. 33 (8): 1733—53. CiteSeerX 10.1.1.70.4555. doi:10.1081/sta-120037438.
- Schroeder, Bianca; Damouras, Sotirios; Gill, Phillipa (24 лютого 2010). (PDF). 8th Usenix Conference on File and Storage Technologies (FAST 2010). Архів оригіналу (PDF) за 11 січня 2011. Процитовано 10 вересня 2010.
We experimented with 5 different distributions (Geometric,Weibull, Rayleigh, Pareto, and Lognormal), that are commonly used in the context of system reliability, and evaluated their fit through the total squared differences between the actual and hypothesized frequencies (χ2 statistic). We found consistently across all models that the geometric distribution is a poor fit, while the Pareto distribution provides the best fit.
- Yuji Ijiri; Simon, Herbert A. (May 1975). Some Distributions Associated with Bose–Einstein Statistics. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 72 (5): 1654—57. Bibcode:1975PNAS...72.1654I. doi:10.1073/pnas.72.5.1654. PMC 432601. PMID 16578724.
- ; Downey, Allen (August 1997). (PDF). ACM Transactions on Computer Systems. 15 (3): 253—258. doi:10.1145/263326.263344. Архів оригіналу (PDF) за 20 квітня 2020. Процитовано 6 березня 2019.
- Kleiber and Kotz (2003): p. 94.
- Seal, H. (1980). Survival probabilities based on Pareto claim distributions. ASTIN Bulletin. 11: 61—71. doi:10.1017/S0515036100006620.
- CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [1] [ 21 лютого 2018 у Wayback Machine.]
- Hardy, Michael (2010). Pareto's Law. Mathematical Intelligencer. 32 (3): 38—43. doi:10.1007/s00283-010-9159-2.
- . Oxfam. Jan 2016. Архів оригіналу за 20 жовтня 2019. Процитовано 7 березня 2019.
- . Credit Suisse. Oct 2013. с. 22. Архів оригіналу за 14 лютого 2015. Процитовано 7 березня 2019.
- M. E. J. Newman (2005). Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. . 46 (5): 323—51. arXiv:cond-mat/0412004. Bibcode:2005ConPh..46..323N. doi:10.1080/00107510500052444.
- H. J. Malik (1970). Estimation of the Parameters of the Pareto Distribution. Metrika. 15: 126—132. doi:10.1007/BF02613565.
- Tanizaki, Hisashi (2004). . CRC Press. с. 133. ISBN . Архів оригіналу за 20 квітня 2020. Процитовано 6 березня 2019.
- . Архів оригіналу за 17 січня 2012. Процитовано 6 березня 2019.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title () - Grabchak, M. & Samorodnitsky, D. (PDF). с. 7—8. Архів оригіналу (PDF) за 11 липня 2012. Процитовано 7 березня 2019.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozpodil Pareto v teoriyi imovirnostej dvoparametrichna sim ya absolyutno neperervnih rozpodiliv Nazvanij na chest italijskogo en ekonomista i sociologa Vilfredo Pareto Ce stepenevij rozpodil jmovirnostej yakij vikoristovuyetsya dlya opisannya socialnih naukovih geofizichnih aktuarnih ta bagatoh inshih tipiv sposterezhuvanih yavish Pochatkovo zastosovuvalasya dlya opisannya en sered suspilstva sho vidpovidaye tendenciyi sho velika chastina bagatstva zoseredzhena v rukah nevelikoyi chastini naselennya lyudej U rozmovnij versiyi rozpodil Pareto vidomij yak princip Pareto abo pravilo 80 20 a takozh inodi mozhe nazivatisya efektom Matviya Ce pravilo stverdzhuye sho napriklad 80 bagatstva suspilstva utrimuyut 20 jogo naselennya Odnak rozpodil Pareto daye cej rezultat tilki pri pevnomu znachenni stepenya a displaystyle alpha a log45 1 16 Hocha a displaystyle alpha ye zminnoyu empirichni sposterezhennya ustanovili sho rozpodil 80 20 vidpovidaye shirokomu zagalu vipadkiv vklyuchayuchi prirodni yavisha i diyalnist lyudini Rozpodil ParetoShilnist rozpodilu Funkciyi shilnosti rozpodilu Pareto tipu I dlya riznih a displaystyle alpha pri x m 1 displaystyle x mathrm m 1 Pri tomu yak a displaystyle alpha rightarrow infty rozpodil nablizhayetsya do d x x m displaystyle delta x x mathrm m de d displaystyle delta ce Delta funkciya Diraka Funkciya rozpodilu jmovirnostej Kumulyativna funkciya rozpodilu Pareto tipu 1 dlya riznih a displaystyle alpha pri x m 1 displaystyle x mathrm m 1 Parametri x m gt 0 displaystyle x mathrm m gt 0 masshtab dijsne a gt 0 displaystyle alpha gt 0 parametr formi dijsne Nosij funkciyi x x m displaystyle x in x mathrm m infty Rozpodil imovirnostej a x m a x a 1 displaystyle frac alpha x mathrm m alpha x alpha 1 Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf 1 x m x a displaystyle 1 left frac x mathrm m x right alpha Serednye dlya a 1 a x m a 1 dlya a gt 1 displaystyle begin cases infty amp text dlya alpha leq 1 dfrac alpha x mathrm m alpha 1 amp text dlya alpha gt 1 end cases Mediana x m 2 a displaystyle x mathrm m sqrt alpha 2 Moda x m displaystyle x mathrm m Dispersiya dlya a 2 x m 2 a a 1 2 a 2 dlya a gt 2 displaystyle begin cases infty amp text dlya alpha leq 2 dfrac x mathrm m 2 alpha alpha 1 2 alpha 2 amp text dlya alpha gt 2 end cases Koeficiyent asimetriyi 2 1 a a 3 a 2 a dlya a gt 3 displaystyle frac 2 1 alpha alpha 3 sqrt frac alpha 2 alpha text dlya alpha gt 3 Koeficiyent ekscesu 6 a 3 a 2 6 a 2 a a 3 a 4 dlya a gt 4 displaystyle frac 6 alpha 3 alpha 2 6 alpha 2 alpha alpha 3 alpha 4 text dlya alpha gt 4 Entropiya log x m a e 1 1 a displaystyle log left left frac x mathrm m alpha right e 1 tfrac 1 alpha right Tvirna funkciya momentiv mgf a x m t a G a x m t dlya t lt 0 displaystyle alpha x mathrm m t alpha Gamma alpha x mathrm m t text dlya t lt 0 Harakteristichna funkciya a i x m t a G a i x m t displaystyle alpha ix mathrm m t alpha Gamma alpha ix mathrm m t ViznachennyaYaksho X ye vipadkovoyu velichinoyu iz rozpodilom Pareto Tipu I todi imovirnist togo sho X ye bilshoyu za deyake chislo x tobto en inodi nazivayetsya funkciyeyu nadijnosti viznachayetsya yak F x Pr X gt x x m x a x x m 1 x lt x m displaystyle overline F x Pr X gt x begin cases left frac x mathrm m x right alpha amp x geq x mathrm m 1 amp x lt x mathrm m end cases de xm de obov yazkovo dodatne minimalno mozhlive znachennya X ta a ye dodatnim parametrom Rozpodil Pareto tipu I harakterizuyetsya parametrom masshtabuvannya xm i parametrom formi a Yaksho rozpodil vikoristovuyut dlya modelyuvannya rozpodilu bagatstva todi parametr a v danomu konteksti nazivayut en VlastivostiKumulyativna funkciya rozpodilu Iz viznachennya kumulyativnoyu funkciyeyu rozpodilu imovirnostej vipadkovoyi velichini Pareto iz parametrami a i xm ye F X x 1 x m x a x x m 0 x lt x m displaystyle F X x begin cases 1 left frac x mathrm m x right alpha amp x geq x mathrm m 0 amp x lt x mathrm m end cases Funkciya gustini imovirnostej Zvidsi viplivaye shlyahom diferenciyuvannya sho funkciyeyu gustini imovirnostej ye f X x a x m a x a 1 x x m 0 x lt x m displaystyle f X x begin cases frac alpha x mathrm m alpha x alpha 1 amp x geq x mathrm m 0 amp x lt x mathrm m end cases Pri vidobrazheni na grafiku funkciya gustini nagaduye vignutu krivu yaka asimptotichno nablizhayetsya do kozhnoyi iz osej Vsi segmenti krivoyi ye samopodibnimi z urahuvannyam vidpovidnih koeficiyentiv masshtabuvannya Pri zobrazhenni na logarifmichnomu grafiku rozpodil predstavlyayetsya u viglyadi pryamoyi liniyi Momenti i harakteristichna funkciya Matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini sho maye rozpodil Pareto viznachayetsya yak E X a 1 a x m a 1 a gt 1 displaystyle operatorname E X begin cases infty amp alpha leq 1 frac alpha x mathrm m alpha 1 amp alpha gt 1 end cases dd Dispersiya vipadkovoyi velichini sho vidpovidaye rozpodilu Pareto viznachayetsya yak D X a 1 2 x m a 1 2 a a 2 a gt 2 displaystyle operatorname D X begin cases infty amp alpha in 1 2 left frac x mathrm m alpha 1 right 2 frac alpha alpha 2 amp alpha gt 2 end cases dd Yaksho a 1 dispersiya ne isnuye Zagalna formula dlya viznachennya momentiv ye nastupnoyu m n a n a x m n a n a gt n displaystyle mu n begin cases infty amp alpha leq n frac alpha x mathrm m n alpha n amp alpha gt n end cases dd Tvirna funkciya momentiv viznachena lishe dlya ne dodatnih znachen t 0 oskilki M t a x m E e t X a x m t a G a x m t displaystyle M left t alpha x mathrm m right operatorname E left e tX right alpha x mathrm m t alpha Gamma alpha x mathrm m t M 0 a x m 1 displaystyle M left 0 alpha x mathrm m right 1 dd Harakteristichna funkciya vipadkovoyi velichini viznachayetsya yak f t a x m a i x m t a G a i x m t displaystyle varphi t alpha x mathrm m alpha ix mathrm m t alpha Gamma alpha ix mathrm m t dd de G a x ye nepovnoyu Gamma funkciyeyu Umovnij rozpodil Umovnij rozpodil imovirnostej vipadkovoyi velichini iz rozpodilom Pareto zadaye podiyu sho velichina ye bilshoyu abo rivnoyu u porivnyanni iz pevnim chislom x 1 displaystyle x 1 yake perevishuye x m displaystyle x text m ye rozpodilom Pareto iz tim samim indeksom Pareto a displaystyle alpha ale iz minimalnim x 1 displaystyle x 1 zamist x m displaystyle x text m Harakteristichna teorema Pripustimo sho X 1 X 2 X 3 displaystyle X 1 X 2 X 3 dotsc ye nezalezhni odnakovo rozpodileni vipadkovi velichini rozpodil imovirnostej yakih znahoditsya v intervali supported x m displaystyle x text m infty dlya deyakogo znachennya x m gt 0 displaystyle x text m gt 0 Pripustimo sho dlya vsih n displaystyle n para vipadkovih velichin min X 1 X n displaystyle min X 1 dotsc X n i X 1 X n min X 1 X n displaystyle X 1 dotsb X n min X 1 dotsc X n ye nezalezhnimi Todi yih spilnij rozpodil bude rozpodilom Pareto Serednye geometrichne Serednye geometrichne G viznachayetsya yak G x m exp 1 a displaystyle G x text m exp left frac 1 alpha right Serednye garmonijne Serednye garmonijne H viznachayetsya yak H x m 1 1 a displaystyle H x text m left 1 frac 1 alpha right Uzagalnenij rozpodil ParetoDiv takozh Uzagalnenij rozpodil Pareto Isnuye iyerarhiya rozpodiliv Pareto sho vidomi yak Pareto Tip I II III IV i rozpodil Fellera Pareto Pareto tipu IV vklyuchaye Pareto tipiv I III yak osoblivi vipadki Rozpodil Fellera Pareto uzagalnyuye Pareto IV tipu Pareto I IV tipiv Iyerarhiya rozpodiliv Pareto uzagalnena u nastupnij tablici yaka porivnyuye en dopovnena kumulyativna funkciya rozpodilu Koli m 0 rozpodil Pareto II tipu vidomij takozh yak rozpodil Lomaksa V danomu rozdili simvol xm sho vikoristovuyetsya dlya poznachennya minimalnogo znachennya x zamineno na simvol s Rozpodili Pareto F x 1 F x displaystyle overline F x 1 F x Umova Parametri Tip I x s a displaystyle left frac x sigma right alpha x s displaystyle x geq sigma s gt 0 a displaystyle sigma gt 0 alpha Tip II 1 x m s a displaystyle left 1 frac x mu sigma right alpha x m displaystyle x geq mu m R s gt 0 a displaystyle mu in mathbb R sigma gt 0 alpha Lomaksa 1 x s a displaystyle left 1 frac x sigma right alpha x 0 displaystyle x geq 0 s gt 0 a displaystyle sigma gt 0 alpha Tip III 1 x m s 1 g 1 displaystyle left 1 left frac x mu sigma right 1 gamma right 1 x m displaystyle x geq mu m R s g gt 0 displaystyle mu in mathbb R sigma gamma gt 0 Tip IV 1 x m s 1 g a displaystyle left 1 left frac x mu sigma right 1 gamma right alpha x m displaystyle x geq mu m R s g gt 0 a displaystyle mu in mathbb R sigma gamma gt 0 alpha Parametr formi poznacheno yak a m polozhennya s ce masshtab g parametr nerivnosti Deyakimi osoblivimi vipadkami rozpodilu Pareto IV tipu ye P I V s s 1 a P I s a displaystyle P IV sigma sigma 1 alpha P I sigma alpha P I V m s 1 a P I I m s a displaystyle P IV mu sigma 1 alpha P II mu sigma alpha P I V m s g 1 P I I I m s g displaystyle P IV mu sigma gamma 1 P III mu sigma gamma dd Skinchennist serednogo znachennya a takozh isnuvannya i skinchennist dispersiyi zalezhit vid indeksu a indeksu nerivnosti g Zokrema chastkovi d momenti ye skinchennimi dlya deyakih d gt 0 yak pokazano u tablici nizhche de d ne obov yazkovo ye cilim chislom Momenti rozpodiliv Pareto I IV dlya vipadku m 0 E X displaystyle operatorname E X Umova E X d displaystyle operatorname E X delta Umova Tip I s a a 1 displaystyle frac sigma alpha alpha 1 a gt 1 displaystyle alpha gt 1 s d a a d displaystyle frac sigma delta alpha alpha delta d lt a displaystyle delta lt alpha Tip II s a 1 displaystyle frac sigma alpha 1 a gt 1 displaystyle alpha gt 1 s d G a d G 1 d G a displaystyle frac sigma delta Gamma alpha delta Gamma 1 delta Gamma alpha 1 lt d lt a displaystyle 1 lt delta lt alpha Tip III s G 1 g G 1 g displaystyle sigma Gamma 1 gamma Gamma 1 gamma 1 lt g lt 1 displaystyle 1 lt gamma lt 1 s d G 1 g d G 1 g d displaystyle sigma delta Gamma 1 gamma delta Gamma 1 gamma delta g 1 lt d lt g 1 displaystyle gamma 1 lt delta lt gamma 1 Tip IV s G a g G 1 g G a displaystyle frac sigma Gamma alpha gamma Gamma 1 gamma Gamma alpha 1 lt g lt a displaystyle 1 lt gamma lt alpha s d G a g d G 1 g d G a displaystyle frac sigma delta Gamma alpha gamma delta Gamma 1 gamma delta Gamma alpha g 1 lt d lt a g displaystyle gamma 1 lt delta lt alpha gamma Rozpodil Fellera Pareto Feller viznachaye zminnu Pareto shlyahom peretvorennya U Y 1 1 vipadkovoyi velichini Y iz Beta rozpodilom funkciya gustini rozpodilu yakoyi dorivnyuye f y y g 1 1 1 y g 2 1 B g 1 g 2 0 lt y lt 1 g 1 g 2 gt 0 displaystyle f y frac y gamma 1 1 1 y gamma 2 1 B gamma 1 gamma 2 qquad 0 lt y lt 1 gamma 1 gamma 2 gt 0 de B Beta funkciya Yaksho W m s Y 1 1 g s gt 0 g gt 0 displaystyle W mu sigma Y 1 1 gamma qquad sigma gt 0 gamma gt 0 todi W maye rozpodil Fellera Pareto FP m s g g1 g2 Yaksho U 1 G d 1 1 displaystyle U 1 sim Gamma delta 1 1 i U 2 G d 2 1 displaystyle U 2 sim Gamma delta 2 1 ye nezalezhnimi Gamma rozpodilenimi velichinami inshim sposobom pobuduvati vipadkovo velichinu iz rozpodilom Fellera Pareto FP mozhna yak W m s U 1 U 2 g displaystyle W mu sigma left frac U 1 U 2 right gamma i mi zapishemo W FP m s g d1 d2 Osoblivimi vipadkami rozpodilu Fellera Pareto ye F P s s 1 1 a P I s a displaystyle FP sigma sigma 1 1 alpha P I sigma alpha F P m s 1 1 a P I I m s a displaystyle FP mu sigma 1 1 alpha P II mu sigma alpha F P m s g 1 1 P I I I m s g displaystyle FP mu sigma gamma 1 1 P III mu sigma gamma F P m s g 1 a P I V m s g a displaystyle FP mu sigma gamma 1 alpha P IV mu sigma gamma alpha ZastosuvannyaPareto spochatku zastosuvav cej rozpodil dlya modelyuvannya en mizh lyudmi oskilki zdavalosya vin dosit dobre pokazuye te sho bilsha chastina bagatstva bud yakogo suspilstva yak pravilo zoseredzhena u vlasnosti nevelikogo procentu osib iz danogo suspilstva Vin takozh vikoristovuvav yiyi dlya opisannya rozpodilu pributku Cyu ideyu yak pravilo opisuyut v bilsh prostij formi yak princip Pareto abo pravilo 80 20 yake stverdzhuye sho 20 naselennya kontrolyuyut 80 vsih bagatstv Odnak pravilo 80 20 vidpovidaye chastkovomu znachennyu a i na spravdi dani Pareto pro podatki na pributok v Britaniyi v jogo roboti Cours d economie politique vkazuyut sho blizko 30 naselennya mali blizko 70 pributku Grafik funkciyi gustini imovirnosti na pochatku ciyeyi statti pokazu sho imovirnist abo chastka naselennya yaka volodiye nevelikoyu kilkistyu bagatstva na lyudinu ye dosit velikoyu i zmenshuyetsya zi zrostannyam kilkosti bagatstva Slid zauvazhiti sho rozpodil Pareto ne ye realistichnim dlya vipadku iz nevelikoyu velichinoyu bagatstva Naspravdi chisti aktivi mozhut buti navit vid yemnimi Cej rozpodil ne obmezhuyetsya vikoristannyam dlya opisannya bagatstva abo pributku naselennya a i vikoristovuyetsya dlya bagatoh situacij v yakih znahoditsya rivnovaga u rozpodilenni vid malogo do velikogo Nastupni prikladi inodi rozglyadayut yak taki sho priblizno mayut rozpodil Pareto Rozmir naselenih punktiv nebagato mist bagato selish sil Rozpodil rozmiriv fajliv v Internet trafiku v yakomu vikoristovuyetsya protokol TCP bagato menshih fajliv ridshe veliki Chastota pomilok zapisu na zhorstkomu disku Klasteri kondensaciyi Boze Ejnshtejna blizko absolyutnogo nulya Pidibranij za dopomogoyu kumulyativnij rozpodil Pareto Lomaks do maksimalnih dobovih opadiv Velichina zapasiv nafti v naftovih rodovishah ne bagato en i bagato malih rodovish Obsyag zadach yaki vinosilisya dlya virishennya na superkomp yuterah dekilka velikih bagato malih Normalizovana dohidnist cin na okremi akciyi Rozmiri chastinok pisku Rozmir meteoritiv Velichina znachnih vtrat unaslidok katastrof dlya pevnogo rodu biznesu generalni zobov yazannya komercijni avto i kompensaciya robitnikam V Gidrologiyi rozpodil Pareto zastosovuyetsya dlya modelyuvannya nadzvichajnih podij takih yak shorichni maksimalni opadi na dobu i pavodok rik Zobrazhennya iz sinim fonom pokazuye priklad pidboru rozpodilu Pareto dlya vporyadkovanogo pokazniku shorichnogo maksimumu opadiv na dobu pokazuye takozh 90 dovirchij interval osnovanij na binomialnomu rozpodili Dani vipadinnya opadiv pokazani za dopomogoyu tochkovih pozicij sho zreshtoyu pokazuye proces kumulyativnij chastotnij analiz Zv yazok iz inshimi rozpodilamiZv yazok iz eksponencijnim rozpodilom Rozpodil Pareto pov yazanij iz eksponencijnim rozpodilom nastupnim chinom Yaksho vipadkova velichina X maye rozpodil Pareto iz minimumom xm i indeksom a todi Y log X x m displaystyle Y log left frac X x mathrm m right ye eksponencijno rozpodilenoyu velichinoyu iz parametrom a Analogichno yaksho Y eksponencijno rozpodilena vipadkova velichina iz parametrom a todi x m e Y displaystyle x mathrm m e Y maye rozpodil Pareto iz minimumom xm ta indeksom a Ce mozhna vikoristovuvati u standartnij proceduri zamini zminnoyi Pr Y lt y Pr log X x m lt y Pr X lt x m e y 1 x m x m e y a 1 e a y displaystyle begin aligned Pr Y lt y amp Pr left log left frac X x mathrm m right lt y right amp Pr X lt x mathrm m e y 1 left frac x mathrm m x mathrm m e y right alpha 1 e alpha y end aligned Krajnij viraz zadaye kumulyativnu funkciyu rozpodilu dlya eksponencijnogo rozpodilu iz parametrom a Zv yazok iz uzagalnenim rozpodilom Pareto Rozpodil Pareto ye osoblivim vipadkom uzagalnenogo rozpodilu Pareto yakij ye simejstvom rozpodiliv podibnoyi formi ale mistit dodatkovij parametr sho dozvolyaye obmezhiti rozpodil znizu v dovilnij tochci abo buti obmezhenim zverhu i znizu de obidvi mezhi ye zminnimi i mistit rozpodil Lomaksa yak osoblivij vipadok Do cogo simejstva vidnosyatsya takozh obidva zmishenij i ne zmishenij eksponencijni rozpodili Rozpodil Pareto iz masshtabom x m displaystyle x m i formoyu a displaystyle alpha ekvivalentnij uzagalnenomu rozpodilu Pareto iz zsuvom m x m displaystyle mu x m masshtabom s x m a displaystyle sigma x m alpha i formoyu 3 1 a displaystyle xi 1 alpha I navpaki mozhna otrimati rozpodil Pareto iz uzagalnenogo rozpodilu Pareto prijnyavshi sho x m s 3 displaystyle x m sigma xi i a 1 3 displaystyle alpha 1 xi Zv yazok iz zakonom Cipfa Rozpodil Pareto ye neperervnim rozpodilom jmovirnostej Zakon Cipfa yakij inodi nazivayut dzeta rozpodilom ce diskretnij rozpodil yakij rozdilyaye velichini na proste ranzhuvannya Obidva ye prostim stepenevim zakonom iz vid yemnim pokaznikom masshtabovani tak sho yihnya kumulyativna funkciya rozpodilu dorivnyuye 1 Rozpodil Cipfa mozhna otrimati iz rozpodilu Pareto yaksho znachennya x displaystyle x pributki rangovani na N displaystyle N klasiv tak sho kilkist lyudej v kozhnomu klasi viznachayetsya vidpovidno do vidnoshennya 1 rang Rozpodil normalizuyut shlyahom viznachennya takogo x m displaystyle x m sho a x m a 1 H N a 1 displaystyle alpha x mathrm m alpha frac 1 H N alpha 1 de H N a 1 displaystyle H N alpha 1 ye uzagalnenim garmonichnim chislom Ce dozvolyaye otrimati funkciyu gustini imovirnostej dlya rozpodilu Cipfa iz rozpodilu Pareto f x a x m a x a 1 1 x s H N s displaystyle f x frac alpha x mathrm m alpha x alpha 1 frac 1 x s H N s de s a 1 displaystyle s alpha 1 i x displaystyle x ye cilim chislom sho zadaye rang vid 1 do N de N ye najvishim dohodom Takim chinom dovilno obrana osoba abo slovo posilannya na vebsajt abo misto iz populyaciyi abo movi internetu chi krayini maye f x displaystyle f x jmovirnist ranzhuvannya x displaystyle x Zv yazok iz Principom Pareto Pravilo 80 20 vidpovidno do yakogo 20 vsih lyudej otrimuyut 80 vsogo pributku i 20 z najbilsh zabezpechenih 20 otrimuyut 80 iz tih 80 i tak dali tochno dotrimuyetsya yaksho indeks Pareto stanovit a log4 5 log 5 log 4 priblizno 1 161 Cej rezultat mozhna otrimati iz formuli dlya rozpodilu Lorenca navedenoyi nizhche Krim togo bulo pokazano sho nastupni tverdzhennya ye matematichno ekvivalentnimi Pributok rozpodilyayetsya vidpovidno do rozpodilu Pareto z indeksom a gt 1 Isnuye deyake chislo 0 p 1 2 take sho 100p z usih lyudej otrimuyut 100 1 p vsogo pributku i analogichno dlya kozhnogo dijsnogo chisla ne obov yazkovo cilogo n gt 0 100pn z usih lyudej otrimuyut 100 1 p n procentiv vsogo dohodu a i p pov yazani mizh soboyu nastupnim chinom 1 1 a ln 1 p n ln 1 1 p n displaystyle 1 frac 1 alpha frac ln 1 p n ln 1 1 p n Ce vidnositsya ne tilki do pributku a i do bagatstva abo bud chogo sho mozhe modelyuvati cej rozpodil Ce vklyuchaye takozh rozpodili Pareto sho mayut 0 lt a 1 yaki yak bulo vkazano vishe mayut neskinchenne matematichne spodivannya i takim chinom ne mozhut dostovirno modelyuvati rozpodil pributku Rozpodil Lorenca i koeficiyent DzhiniKrivi Lorenca dlya dekilkoh rozpodiliv Pareto Vipadok iz a vidpovidaye idealno rivnomirnomu rozpodilu G 0 a pryama a 1 vidpovidaye povnistyu nerivnomu rozpodilu G 1 Rozpodil Lorenca chasto vikoristovuyut dlya harakteristiki rozpodilu dohodiv i bagatstva Dlya bud yakogo rozpodilu rozpodil Lorenca L F mozhna zapisati cherez funkciyu shilnosti f abo funkciyu rozpodilu F yak L F x m x F x f x d x x m x f x d x 0 F x F d F 0 1 x F d F displaystyle L F frac int x mathrm m x F xf x dx int x mathrm m infty xf x dx frac int 0 F x F dF int 0 1 x F dF de x F ye obernenoyu dlya funkciyi rozpodilu CDF Dlya rozpodilu Pareto x F x m 1 F 1 a displaystyle x F frac x mathrm m 1 F frac 1 alpha a kriva Lorenca rozrahovuyetsya yak L F 1 1 F 1 1 a displaystyle L F 1 1 F 1 frac 1 alpha Dlya 0 lt a 1 displaystyle 0 lt alpha leq 1 znamennik bude neskinchennim sho privodit do L 0 Prikladi krivoyi Lorenca dlya dekilkoh rozpodiliv Pareto pokazani na malyunku pravoruch Vidpovidno do Oksfam 2016 najbagatshi 62 lyudini mayut stilki zh statku yak najbidnisha polovina svitovoyi populyaciyi Mi mozhemo rozrahuvati indeks Pareto yakij vidpovidatime cij situaciyi Prijnyavshi sho e dorivnyuye 62 7 10 9 displaystyle 62 7 times 10 9 mayemo L 1 2 1 L 1 ϵ displaystyle L 1 2 1 L 1 epsilon abo 1 1 2 1 1 a ϵ 1 1 a displaystyle 1 1 2 1 frac 1 alpha epsilon 1 frac 1 alpha V rezultati a dorivnyuye blizko 1 15 i blizko 9 z usih statkiv nalezhat kozhnij z cih grup Ale naspravdi najbidnishi 69 iz doroslih lyudej vsogo svitu volodiyut lishe blizko 3 statkiv Koeficiyent Dzhini ye miroyu vidhilennya krivoyi Lorenca vid rivnorozpodilenoyi pryamoyi sho ye pryamoyu yaka spoluchaye tochki 0 0 i 1 1 yaka na grafiku pravoruch pokazana chornim kolorom a Konkretno koeficiyent Dzhini ye podvoyenoyu plosheyu mizh krivoyu Lorenca i rivnorozpodilenoyu pryamoyu Koeficiyent Dzhini dlya rozpodilu Pareto rozrahovuyetsya dlya a 1 displaystyle alpha geq 1 yak G 1 2 0 1 L F d F 1 2 a 1 displaystyle G 1 2 left int 0 1 L F dF right frac 1 2 alpha 1 Ocinka parametrivFunkciya pravdopodibnosti dlya parametriv a i xm rozpodilu Pareto dlya nezalezhnoyi vibirki x x1 x2 xn zadayetsya yak L a x m i 1 n a x m a x i a 1 a n x m n a i 1 n 1 x i a 1 displaystyle L alpha x mathrm m prod i 1 n alpha frac x mathrm m alpha x i alpha 1 alpha n x mathrm m n alpha prod i 1 n frac 1 x i alpha 1 Takim chinom logarifmichna funkciya pravdopodibnosti dorivnyuye ℓ a x m n ln a n a ln x m a 1 i 1 n ln x i displaystyle ell alpha x mathrm m n ln alpha n alpha ln x mathrm m alpha 1 sum i 1 n ln x i Mozhna pobachiti sho ℓ a x m displaystyle ell alpha x mathrm m monotonno zrostaye iz zrostannyam xm takim chinom chim bilshim ye znachennya xm tim bilshim bude znachennya funkciyi pravdopodibnosti Takim chinom oskilki x xm mi mozhemo zrobiti visnovok sho x m min i x i displaystyle widehat x mathrm m min i x i Dlya togo shob znajti statistichnu ocinku dlya a mi rozrahovuyemo vidpovidnu chastkovu pohidnu i znahodimo de vona dorivnyuye nulyu ℓ a n a n ln x m i 1 n ln x i 0 displaystyle frac partial ell partial alpha frac n alpha n ln x mathrm m sum i 1 n ln x i 0 Takim chinom ocinkoyu maksimalnoyi pravdopodibnosti dlya a bude a n i ln x i x m displaystyle widehat alpha frac n sum i ln x i widehat x mathrm m Ochikuvana statistichna ocinka dorivnyuye s a n displaystyle sigma frac widehat alpha sqrt n Malik 1970 privodit rezultat iz tochnim spilnim rozpodilom velichin x m a displaystyle hat x mathrm m hat alpha Zokrema x m displaystyle hat x mathrm m i a displaystyle hat alpha ye nezalezhnimi a x m displaystyle hat x mathrm m maye rozpodil Pareto iz parametrom masshtabu xm i parametrom formi na todi yak a displaystyle hat alpha maye Obernenij gamma rozpodil iz parametrami formi i masshtabu n 1 ta na vidpovidno Grafichne predstavlennyaHarakterna kriva rozpodilu iz dovgim hvostom pri zobrazhenni na linijnij shkali prihovuye v sobi vnutrishnyu prostotu funkciyi pri zobrazhenni yiyi u logarifmichnij sistemi koordinat de vona prijmaye formu pryamoyi liniyi iz vid yemnim gradiyentom Iz formuli dlya funkciyi gustini imovirnostej viplivaye sho dlya x xm log f X x log a x m a x a 1 log a x m a a 1 log x displaystyle log f X x log left alpha frac x mathrm m alpha x alpha 1 right log alpha x mathrm m alpha alpha 1 log x Oskilki a ye dodatnim gradiyent a 1 ye vid yemnim Generuvannya vipadkovoyi vibirkiGeneruvannya vipadkovoyi vibirki mozhna vikonati za dopomogoyu en Dano vipadkovu velichinu U yaka otrimana iz neperervnogo rivnomirnogo rozpodilu u odinichnomu intervali 0 1 zminna T zadana virazom T x m U 1 a displaystyle T frac x mathrm m U 1 alpha mazh rozpodil Pareto Yaksho U neperervno rivnomirno rozpodilena u intervali 0 1 yiyi mozhlivo zaminiti na 1 U VariantiObmezhenij rozpodil Pareto Obmezhenij rozpodil ParetoParametri L gt 0 displaystyle L gt 0 zsuv dijsne chislo H gt L displaystyle H gt L zsuv dijsne chislo a gt 0 displaystyle alpha gt 0 forma dijsne chislo Nosij funkciyi L x H displaystyle L leqslant x leqslant H Rozpodil imovirnostej a L a x a 1 1 L H a displaystyle frac alpha L alpha x alpha 1 1 left frac L H right alpha Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf 1 L a x a 1 L H a displaystyle frac 1 L alpha x alpha 1 left frac L H right alpha Serednye L a 1 L H a a a 1 1 L a 1 1 H a 1 a 1 displaystyle frac L alpha 1 left frac L H right alpha cdot left frac alpha alpha 1 right cdot left frac 1 L alpha 1 frac 1 H alpha 1 right alpha neq 1 Mediana L 1 1 2 1 L H a 1 a displaystyle L left 1 frac 1 2 left 1 left frac L H right alpha right right frac 1 alpha Dispersiya L a 1 L H a a a 2 1 L a 2 1 H a 2 a 2 displaystyle frac L alpha 1 left frac L H right alpha cdot left frac alpha alpha 2 right cdot left frac 1 L alpha 2 frac 1 H alpha 2 right alpha neq 2 ce moment drugogo poryadku ne dispersiya Koeficiyent asimetriyi L a 1 L H a a L k a H k a a k a j displaystyle frac L alpha 1 left frac L H right alpha cdot frac alpha L k alpha H k alpha alpha k alpha neq j ce moment k go poryadku ne skoshenist Obmezhenij abo obrizanij rozpodil Pareto maye tri parametri a L i H Yak i v standartnomu rozpodili Pareto parametr a viznachaye formu L oznachaye minimalne znachennya a H poznachaye maksimalne znachennya Funkciya gustini imovirnostej ye nastupnoyu a L a x a 1 1 L H a displaystyle frac alpha L alpha x alpha 1 1 left frac L H right alpha de L x H i a gt 0 Generuvannya vipadkovih velichin obmezhenogo rozpodilu Pareto Yaksho U is rivnomirno rozpodilena v intervali 0 1 todi zastosuvavshi metod zvorotnogo peretvorennya otrimayemo U 1 L a x a 1 L H a displaystyle U frac 1 L alpha x alpha 1 frac L H alpha x U H a U L a H a H a L a 1 a displaystyle x left frac UH alpha UL alpha H alpha H alpha L alpha right frac 1 alpha ye vidpovidaye obmezhenomu rozpodilu Pareto Simetrichnij rozpodil Pareto Simetrichnij rozpodil Pareto mozhna viznachiti za dopomogoyu nastupnoyi funkciyi gustini imovirnostej f x a x m 1 2 a x m a x a 1 x gt x m 0 v inshih vipadkah displaystyle f x alpha x mathrm m begin cases tfrac 1 2 alpha x mathrm m alpha x alpha 1 amp x gt x mathrm m 0 amp text v inshih vipadkah end cases Vin maye formu podibnu do rozpodilu Pareto pri x gt xm ye en vidnosno vertikalnoyi osi Div takozhPortal Matematika Princip Pareto Rozpodil Pareto dlya vtrat v strahuvanni Rovnomirnij rozpodil vtrat v strahuvanniDzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros Hazewinkel Michiel red 2001 Pareto distribution Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Pareto distribution angl na sajti Wolfram MathWorld Aaberge Rolf May 2005 PDF arhiv originalu PDF za 20 kvitnya 2020 procitovano 5 bereznya 2019 Crovella Mark E Bestavros Azer December 1997 PDF IEEE ACM Transactions on Networking T 5 6 s 835 846 Arhiv originalu PDF za 4 bereznya 2016 Procitovano 5 bereznya 2019 syntraf1 c 10 lyutogo 2019 u Wayback Machine programa na movi programuvannya C dlya generuvannya shtuchnogo trafiku paketiv iz obmezhenim rozmirom paketiv i chasom mizh paketami vidpovidno do rozpodilu Pareto PrimitkiBarry C Arnold 1983 Pareto Distributions International Co operative Publishing House ISBN 978 0 89974 012 6 Johnson NL Kotz S Balakrishnan N 1994 Continuous univariate distributions Vol 1 Wiley Series in Probability and Statistics Johnson Kotz and Balakrishnan 1994 20 4 Christian Kleiber amp Samuel Kotz 2003 Wiley ISBN 978 0 471 15064 0 Arhiv originalu za 20 kvitnya 2020 Procitovano 6 bereznya 2019 Feller W 1971 An Introduction to Probability Theory and its Applications T II vid 2nd New York Wiley s 50 The densities 4 3 are sometimes called after the economist Pareto It was thought rather naively from a modern statistical standpoint that income distributions should have a tail with a density Ax a as x Lomax K S 1954 Business failures Another example of the analysis of failure data Journal of the American Statistical Association 49 268 847 52 doi 10 1080 01621459 1954 10501239 Chotikapanich Duangkamon Modeling Income Distributions and Lorenz Curves s 121 22 Arhiv originalu za 20 kvitnya 2020 Procitovano 6 bereznya 2019 Pareto Vilfredo Cours d Economie Politique Nouvelle edition par G H Bousquet et G Busino Librairie Droz Geneva 1964 pp 299 345 For a two quantile population where approximately 18 of the population owns 82 of the wealth the takes the value 1 Reed William J ta in 2004 The Double Pareto Lognormal Distribution A New Parametric Model for Size Distributions Communications in Statistics Theory and Methods 33 8 1733 53 CiteSeerX 10 1 1 70 4555 doi 10 1081 sta 120037438 Schroeder Bianca Damouras Sotirios Gill Phillipa 24 lyutogo 2010 PDF 8th Usenix Conference on File and Storage Technologies FAST 2010 Arhiv originalu PDF za 11 sichnya 2011 Procitovano 10 veresnya 2010 We experimented with 5 different distributions Geometric Weibull Rayleigh Pareto and Lognormal that are commonly used in the context of system reliability and evaluated their fit through the total squared differences between the actual and hypothesized frequencies x2 statistic We found consistently across all models that the geometric distribution is a poor fit while the Pareto distribution provides the best fit Yuji Ijiri Simon Herbert A May 1975 Some Distributions Associated with Bose Einstein Statistics Proc Natl Acad Sci USA 72 5 1654 57 Bibcode 1975PNAS 72 1654I doi 10 1073 pnas 72 5 1654 PMC 432601 PMID 16578724 Downey Allen August 1997 PDF ACM Transactions on Computer Systems 15 3 253 258 doi 10 1145 263326 263344 Arhiv originalu PDF za 20 kvitnya 2020 Procitovano 6 bereznya 2019 Kleiber and Kotz 2003 p 94 Seal H 1980 Survival probabilities based on Pareto claim distributions ASTIN Bulletin 11 61 71 doi 10 1017 S0515036100006620 CumFreq software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting 1 21 lyutogo 2018 u Wayback Machine Hardy Michael 2010 Pareto s Law Mathematical Intelligencer 32 3 38 43 doi 10 1007 s00283 010 9159 2 Oxfam Jan 2016 Arhiv originalu za 20 zhovtnya 2019 Procitovano 7 bereznya 2019 Credit Suisse Oct 2013 s 22 Arhiv originalu za 14 lyutogo 2015 Procitovano 7 bereznya 2019 M E J Newman 2005 Power laws Pareto distributions and Zipf s law 46 5 323 51 arXiv cond mat 0412004 Bibcode 2005ConPh 46 323N doi 10 1080 00107510500052444 H J Malik 1970 Estimation of the Parameters of the Pareto Distribution Metrika 15 126 132 doi 10 1007 BF02613565 Tanizaki Hisashi 2004 CRC Press s 133 ISBN 9780824750886 Arhiv originalu za 20 kvitnya 2020 Procitovano 6 bereznya 2019 Arhiv originalu za 17 sichnya 2012 Procitovano 6 bereznya 2019 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Obslugovuvannya CS1 Storinki z tekstom archived copy yak znachennya parametru title posilannya Grabchak M amp Samorodnitsky D PDF s 7 8 Arhiv originalu PDF za 11 lipnya 2012 Procitovano 7 bereznya 2019