Цю статтю написано занадто професійним зі специфічною термінологією, що може бути незрозумілим для більшості читачів. (липень 2021) |
цієї статті, ймовірно, несповна підсумовує ключові тези її вмісту. (липень 2021) |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Moment (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (липень 2021)
|
Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.
Означення
Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини , яка приймає значення
з ймовірністю
, де
, називається число
, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто
.
Величина називається абсолютним моментом випадкової величини
.
Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини з густиною
, називається число
, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто
.
Якщо дана випадкова величина визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини
називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Початковим моментом k-го порядку називається величина:
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
-им факторіальним моментом випадкової величини
називається величина
якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.
Зауваження
Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:
- Якщо визначені моменти
-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків
.
Геометрична інтерпретація деяких моментів
дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини
і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
- називається коефіцієнтом асиметрії.
контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
- називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.
Обчислення моментів
- Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю
маємо:
якщо
,
а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей :
якщо
- Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію
:
- Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів,
, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
Можна також розглядати моменти в.в. для значень , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу
, називається .
Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. ) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.
Див. також
Джерела
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.
Примітки
- (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник (укр) . К.: ВПЦ "Київський університет". (PDF) оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 10 жовтня 2015.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cyu stattyu napisano zanadto profesijnim stilem zi specifichnoyu terminologiyeyu sho mozhe buti nezrozumilim dlya bilshosti chitachiv Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu zrobivshi yiyi zrozumiloyu dlya nespecialistiv bez vtrat zmistu Mozhlivo mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin lipen 2021 Vstupnij rozdil ciyeyi statti jmovirno nespovna pidsumovuye klyuchovi tezi yiyi vmistu Bud laska dopomozhit rozshiriti vstup dodavshi stislij oglyad najvazhlivishih aspektiv statti lipen 2021 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Moment mathematics angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi lipen 2021 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Mome nt vipadkovoyi velichini chislova harakteristika rozpodilu danoyi vipadkovoyi velichini OznachennyaMomentom n togo poryadku diskretnoyi vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi yaka prijmaye znachennya x i displaystyle x i z jmovirnistyu p i displaystyle p i de i 1 2 3 displaystyle i 1 2 3 nazivayetsya chislo M 3 n i 1 x i k p i displaystyle M xi n sum i 1 infty x i k p i yaksho cej ryad zbigayetsya absolyutno tobto M 3 n i 1 x i k p i lt displaystyle M xi n sum i 1 infty x i k p i lt infty Velichina M 3 n displaystyle M xi n nazivayetsya absolyutnim momentom vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi Momentom n togo poryadku neperervnoyi vipadkovoyi velichini 3 displaystyle xi z gustinoyu p x displaystyle p x nazivayetsya chislo M 3 n x k p x d x displaystyle M xi n int infty infty x k p x dx yaksho integral zbigayetsya absolyutno tobto M 3 n x k p x d x lt displaystyle M xi n int infty infty x k p x dx lt infty Yaksho dana vipadkova velichina X displaystyle displaystyle X viznachena na deyakomu imovirnisnomu prostori to centra lnim momentom k go poryadku vipadkovoyi velichini X displaystyle displaystyle X nazivayetsya velichina m k E X E X k displaystyle mu k mathbb E left X mathbb E X k right yaksho matematichne spodivannya v pravij chastini ciyeyi rivnosti viznachene Pochatkovim momentom k go poryadku nazivayetsya velichina n k E X k displaystyle nu k mathbb E left X k right yaksho matematichne spodivannya v pravij chastini ciyeyi rivnosti viznachene k displaystyle displaystyle k im faktorialnim momentom vipadkovoyi velichini X displaystyle displaystyle X nazivayetsya velichina m k E X X 1 X k 1 displaystyle mu k mathbb E left X X 1 X k 1 right yaksho matematichne spodivannya v pravij chastini ciyeyi rivnosti viznachene Zauvazhennya Vrahovuyuchi linijnist matematichnogo spodivannya centralni momenti mozhna viraziti cherez pochatkovi i navpaki Napriklad m 1 0 displaystyle displaystyle mu 1 0 m 2 n 2 n 1 2 displaystyle displaystyle mu 2 nu 2 nu 1 2 m 3 n 3 3 n 1 n 2 2 n 1 3 displaystyle displaystyle mu 3 nu 3 3 nu 1 nu 2 2 nu 1 3 m 4 n 4 4 n 1 n 3 6 n 1 2 n 2 3 n 1 4 displaystyle displaystyle mu 4 nu 4 4 nu 1 nu 3 6 nu 1 2 nu 2 3 nu 1 4 m k s 0 k 1 s C k s v k s v 1 s displaystyle mu k sum limits s 0 k 1 s C k s v k s v 1 s Yaksho viznacheni momenti k displaystyle displaystyle k go poryadku to viznacheni i vsi momenti nizhchih poryadkiv 1 k lt k displaystyle 1 leqslant k lt k Geometrichna interpretaciya deyakih momentivn 1 displaystyle displaystyle nu 1 dorivnyuye matematichnomu spodivannyu vipadkovoyi velichini i pokazuye vidnosne roztashuvannya rozpodilu na chislovij pryamij m 2 displaystyle displaystyle mu 2 dorivnyuye dispersiyi rozpodilu vipadkovoyi velichini m 2 s 2 displaystyle displaystyle mu 2 sigma 2 i pokazuye rozsiyannya rozkid dovkola serednogo znachennya m 3 displaystyle displaystyle mu 3 buduchi vidpovidnim chinom normalizovanij ye chislovoyu harakteristikoyu simetriyi rozpodilu Tochnishe viraz g 1 m 3 s 3 displaystyle gamma 1 frac mu 3 sigma 3 nazivayetsya koeficiyentom asimetriyi m 4 displaystyle displaystyle mu 4 kontrolyuye naskilki yaskravo virazhena verhivka rozpodilu v okoli matematichnogo spodivannya Velichina g 2 m 4 s 4 3 displaystyle gamma 2 frac mu 4 sigma 4 3 nazivayetsya koeficiyentom ekscesu rozpodilu v v X displaystyle displaystyle X Obchislennya momentivMomenti mozhna obchisliti bezposeredno shlyahom integruvannya vidpovidnoyi funkiyi vipadkovoyi velichini Zokrema dlya absolyutno neperervnogo rozpodilu iz shilnistyuf x displaystyle displaystyle f x mayemo n k x k f x d x displaystyle nu k int limits infty infty x k f x dx yaksho n k x k f x d x lt displaystyle nu k int limits infty infty x k f x dx lt infty a dlya diskretnih rozpodiliv iz funkciyeyu jmovirnostej p x displaystyle displaystyle p x n k x x k p x displaystyle nu k sum limits x x k p x yaksho n k x x k p x lt displaystyle nu k sum limits x x k p x lt infty Takozh pochatkovi momenti vipadkovoyi velichini mozhna obchisliti vikoristovuyuchi yiyi harakteristichnu funkciyu f t displaystyle displaystyle varphi t n k i k d k d t k f t t 0 displaystyle nu k left i k frac d k dt k varphi t right vert t 0 Yaksho rozpodil takij sho dlya nogo v deyakomu okoli nulya viznachena tvirna funkciya momentiv M X t displaystyle displaystyle M X t to pochatkovi momenti mozhna obchisliti vikoristovuyuchi nastupnu formulu n k d k d t k M X t t 0 displaystyle nu k left frac d k dt k M X t right vert t 0 Mozhna takozh rozglyadati momenti v v dlya znachen k displaystyle k sho ne ye cilimi chislami Takij moment moment sho rozglyaduyetsya yak funkciya vid disnogo argumentu k displaystyle k nazivayetsya Mozhna rozglyanuti momenti bagatovimirnoyi vipadkovoyi velichini Todi pershij moment bude vektorom tiyeyi zh rozmirnosti drugij tenzorom drugogo poryadku div nad prostorom tiyeyi zh rozmirnosti hocha mozhna rozglyanuti i slid ciyeyi matrici sho daye skalyarne uzagalnennya dispersiyi Itd Div takozhMatematichne spodivannya Dispersiya vipadkovoyi velichiniDzherelaKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gnedenko B V Kurs teorii veroyatnostej 6 e izd Moskva Nauka 1988 446 s ros Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros 2004 Rozdil 4 3 Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika vid 1 e Kiyiv Centr navchalnoyi literaturi s 448 Primitki 2001 Teoriya jmovirnostej matematichna statistika i vipadkovi procesi Navchalnij posibnik ukr K VPC Kiyivskij universitet PDF originalu za 24 lyutogo 2007 Procitovano 10 zhovtnya 2015