Гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл в теорії імовірності моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.

Гіпергеометричний розподіл
Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}\,}$
Носій функції	${\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}\,}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
Середнє	${\displaystyle nm \over N}$
Мода	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Дисперсія	${\displaystyle n(m/N)(1-m/N)(N-n) \over (N-1)}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}$
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$

	витягнуті	не витягнуті	всього
з дефектом	k	D − k	D
без дефекта	n − k	N + k − n − D	N − D
всього	n	N − n	N

Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність N об'єктів, з яких D мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у вибірці з n різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно k об'єктів є бракованими. Загалом, якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами N, D та n, то ймовірність отримання рівно k успіхів визначається формулою:

${\displaystyle f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$

Ця ймовірність додатна, коли k лежить на проміжку між max{ 0, D + n − N } та min{ n, D }. Наведену формулу можна трактувати так: існує ${\displaystyle N \choose n}$ способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є ${\displaystyle D \choose k}$ способів вибрати k бракованих об'єктів та ${\displaystyle {N-D} \choose {n-k}}$ способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів. У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним розподілом з параметрами n (кількість випробувань) та p = D / N (ймовірність успіху в одному випробуванні).

Визначення

Нехай є скінченна сукупність, яка складається з ${\displaystyle N}$ елементів. Припустимо, що ${\displaystyle n}$ із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з ${\displaystyle D}$ елементів. Нехай ${\displaystyle Y}$ — випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей ${\displaystyle Y}$ має вигляд:

${\displaystyle p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {C_{D}^{k}\,C_{N-D}^{n-k}}{C_{N}^{n}}}}$,

де ${\displaystyle C_{n}^{k}\equiv {n \choose k}\equiv {\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$ позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {HG} (D,N,n)}$.

Моменти

Математичне сподівання ${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {nD}{N}}}$,

Дисперсія ${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}}$.

Приклади застосування

Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.

Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки? Задача описується в наступній таблиці:

	витягнуті	не витягнуті	завжди
білі кульки	4 (k)	1 = 5 − 4 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	6 = 10 − 4 (n − k)	39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Ймовірність ${\displaystyle \mathbb {P} (k=x)}$ того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=x)=f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}$

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=4)=f(4;50,5,10)={{{5 \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}=0.003964583\dots .}$

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази. Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.

	витягнуті	не витягнуті	всього
білі кульки	5 (k)	0 = 5 − 5 (D − k)	5 (D)
чорні кульки	5 = 10 − 5 (n − k)	40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D)	45 (N − D)
всього	10 (n)	40 (N − n)	50 (N)

Таким чином, ми отримуємо ймовірність:

${\displaystyle \mathbb {P} (k=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}=0.0001189375\dots ,}$

Симетричність

${\displaystyle f(k;N,D,n)={{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}=f(n-k;N,N-D,n)}$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

${\displaystyle f(k;N,D,n)=f(k;N,n,D)}$

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно ${\displaystyle k}$ кульок чорні й позначені як вийняті.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай ${\displaystyle X\sim \mathrm {HG} (m,N,n)}$ та ${\displaystyle p=m/N}$.

• Якщо ${\displaystyle n=1}$, то ${\displaystyle X}$ має розподіл Бернуллі з параметром ${\displaystyle p}$.

• Нехай випадкова величина ${\displaystyle Y}$ має біноміальний розподіл з параметрами ${\displaystyle n}$ та ${\displaystyle p}$; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли ${\displaystyle N}$ та ${\displaystyle m}$ досить великі порівняно з ${\displaystyle n}$, а також ${\displaystyle p}$ не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ мають подібні розподіли, тобто ${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)\approx \mathbb {P} (Y\leq k)}$.

• Якщо ${\displaystyle n}$ велике, ${\displaystyle N}$ та ${\displaystyle m}$ великі порівняно з ${\displaystyle n}$, а ${\displaystyle p}$ не є близьким до 0 чи 1, то

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}$

де ${\displaystyle \Phi }$ - функція розподілу стандартного нормального розподілу.

• Якщо ймовірності витягнути білу чи чорну кулі не рівні між собою, (наприклад, внаслідок різної величини), то ${\displaystyle X}$ має .

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)