Напівпроста алгебра Лі

Напівпроста алебра Лі — алгебра Лі, що є прямою сумою своїх простих некомутативних ідеалів, тобто ідеалів, що є простими алгебрами Лі (тобто не містять нетривіальних ідеалів). Значення напівпростих алгебр Лі пояснюється зокрема тим, що згідно теореми Леві кожна алгебра Лі над полем характеристики 0 є прямою сумою свого радикала (максимального розв'язного ідеала) і напівпростої підалгебри.

Також для напівпростих алгебр Лі існує досить проста класифікація (особливо для алгебрично замкнутих полів) і добре розвинута теорія представлень, зокрема класифікація скінченновимірних представлень.

Комплексні напівпрості алгебри Лі відіграють ключову роль у класифікації компактних груп Лі і їх скінченновимірних представлень.

Історія

Напівпрості алгебри Лі над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ були вперше розглянуті в роботах , який дав їх класифікацію, хоча в його доведеннях були прогалини, заповнені Елі Картаном. Уже в роботах Кіллінга і Картана з'явилися корені алгебри Ля як характеристичні числа оператора ad X. Елі Картан дав також класифікацію дійсних напівпростих алгебр Лі, встановивши глибокий зв'язок між цими алгебрами і глобально симетричними рімановими просторами.

Означення

Надалі розглядаються скінченновимірні напівпрості алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем k характеристики 0. Скінченновимірна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є напівпростою тоді і тільки тоді, коли виконується будь-яка з еквівалентних умов:

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ не містить ненульових абелевих ідеалів;
• алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ не має ненульових розв'язних ідеалів;
• форма Кіллінга алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є невирожденою (це твердження називається критерієм Картана);
• радикал (максимальний розв'язний ідеал) алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є рівним нулю;
• будь-яке скінченновимірне лінійне представлення алгебри є цілком звідним (інакше кажучи всякий скінченновимірний ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модуль є напівпростим). Дане твердження називається теоремою Вейля;
• одновимірні когомології алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ зі значеннями в будь-якому скінченновимірному ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модулі є тривіальними.

Властивості

• Будь-який ідеал і будь-яка факторалгебра напівпростої алгебри Лі також є напівпростими.
• Розклад напівпростої алгебри Лі в пряму суму неабелевих простих ідеалів є єдиним.
• Центр алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є рівним нулю (оскільки центр алгебри Лі є комутативним ідеалом).
• Всі диференціювання напівпростої алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (тобто лінійні відображення ${\displaystyle A:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ для яких ${\displaystyle A[X,Y]=[AX,Y]+[X,AY]}$) є внутрішніми, тобто мають вигляд ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X},\;X\in {\mathfrak {g}}}$. Окрім того ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ є ізоморфізмом алгебр Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і ${\displaystyle \operatorname {Der} {\mathfrak {g}}.}$ Ця алгебра є алгеброю Лі алгебричної групи всіх автоморфізмів алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і тим самим алгебричною алгеброю Лі.
• Властивість напівпростоти алгебри Лі зберігається як при розширенні, так і при звуженні основного поля.
• Елемент ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ називається напівпростим (нільпотентним), якщо ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$ є напівпростим (відповідно нільпотентним) лінійним оператором. Ця властивість елемента X зберігається при будь-якому гомоморфізмі алгебри в іншу напівпросту алгебру Лі. Якщо ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, то розклад Жордана — Шевальє лінійного відображення ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}}$ має вигляд

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}=\operatorname {ad} _{S}+\operatorname {ad} _{N}.}$

S і N є однозначно визначеними елементами ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і N є нільпотентним, S є напівпростим, до того ж [N,S] = 0. Для будь-якого скінченновимірного представлення ρ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ розклад Жордана — Шевальє ρ(x) має вигляд:

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

де S і N ті ж елементи, що і для приєднаного представлення. Такий однозначний розклад для всіх представлень може не обов'язково існує для загальних алгебр Лі.

Ваги і корені

При вивченні напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k суттєву роль відіграють корені напівпростої алгебри Лі, які визначаються наступним чином. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ — підалгебра Картана алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ Для ненульової лінійної функції ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ можна ввести лінійний підпростір ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X,\;\forall H\in {\mathfrak {h}}\}.}$

Ненульова функція ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ називається коренем якщо підпростір ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ є ненульовим. Множина всіх коренів називається системою коренів алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ і позначається R. Множина R є скінченною і

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in R}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Властивості

• Лінійною оболонкою множини R є ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ і R є зведеною системою коренів в абстрактному сенсі (в лінійній оболонці системи над полем дійсних чисел). Система є незвідною тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є простою.
• Для будь-якого ${\displaystyle \alpha \in R}$ розмірність просторів ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ і ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$ є рівною одиниці. Існує єдиний елемент ${\displaystyle H_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ для якого ${\displaystyle \alpha (H_{\alpha })=2.}$
• Для кожного ненульового ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ існує єдиний ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha },}$ що ${\displaystyle [X_{\alpha },Y_{\alpha }]=H_{\alpha }.}$ До того ж:

${\displaystyle [H_{\alpha },X_{\alpha }]=2X_{\alpha },\quad [H_{\alpha },Y_{\alpha }]=2Y_{\alpha },}$

${\displaystyle \beta (H_{\alpha })=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}},\;\forall \alpha ,\beta \in R.}$

де ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ — скалярний добуток породжений формою Кіллінга.

• Якщо ${\displaystyle \alpha ,\beta \in R,\;\;\alpha +\beta \neq 0}$ то підпростори ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }}$ є ортогональними щодо форми Кіллінга і ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]={\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }.}$
• Напівпрості алгебри Лі визначаються з точністю до ізоморфізму своєю підалгеброю Картана і відповідною системою коренів. Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$ — напівпрості алгебри Лі над полем ${\displaystyle k}$ із підалгебрами Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1},{\mathfrak {h}}_{2}}$ і системами коренів ${\displaystyle R_{1},R_{2},}$ то всякий ізоморфізм ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{2},}$ що індукує ізоморфізм відповідних систем коренів продовжується до ізоморфізму ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}.}$ З іншого боку, будь-яка зведена система коренів може бути реалізована як система коренів деякої напівпростої алгебри Лі.

Класифікація напівпростих алгебр Лі

Для алгебрично замкнутих полів

Класифікація напівпростих алгебр Лі над алгебрично замкнутим полем k по суті збігається з класифікацією зведених систем коренів.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів ${\displaystyle A_{n}-D_{n}}$ називаються класичними і мають такий вигляд.

• ${\displaystyle A_{n},\;n\geqslant 1:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle k^{n+1}}$ зі слідом 0.
• ${\displaystyle B_{n}:\;n\geqslant 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle k^{2n+1}}$, кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.
• ${\displaystyle C_{n}:\;n\geqslant 3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n}}$, алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle k^{2n},}$ кососиметричних щодо заданої невиродженої кососиметричної білінійної форми.
• ${\displaystyle D_{n}:\;n\geqslant 4}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle k^{2n},}$ кососиметричних щодо заданої невиродженої симетричної білінійної форми.

Прості алгебри Лі, які відповідають системам коренів типів E₆, E₇, Е₈, F₄, G₂ називаються особливими, або винятковими.

Для довільних полів

Класифікація розщеплених напівпростих алгебр Лі (тобто напівпростих алгебр Лі для яких існує така підалгебра Картана ${\displaystyle {\mathfrak {h}},}$ що всі характеристичні числа операторів ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X},\ X\in {\mathfrak {h}}}$ належать k) над довільним полем k характеристики 0 є аналогічною випадку алгебрично замкнутого поля. А саме, кожній незвідній системі коренів відповідає єдина розщеплена напівпроста алгебра Лі. Зокрема, розщеплені напівпрості алгебри Лі типів ${\displaystyle A_{n}-D_{n}}$ мають зазначений вище вид з тією різницею, що в випадках ${\displaystyle B_{n}}$ і ${\displaystyle D_{n}}$ треба розглядати невироджені симетричні білінійні форми індексу Вітта n.

Проблема класифікації довільних напівпроста алгебра Лі над k зводиться до такої задачі: перерахувати з точністю до ізоморфізму всі k-форми ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}}}$ тобто такі k-підалгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\subset {\mathfrak {g}},}$ що ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{k}K={\mathfrak {g}},}$ де K — алгебрично замкнуте розширення поля k, а ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — напівпроста алгебра Лі над K. Розв'язок цієї задачі також можна отримати в термінах систем коренів.

Класифікація дійсних алгебр Лі

Будь-яка проста неабелева алгебра Лі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або є простою алгеброю Лі над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (що розглядається як алгебра над ${\displaystyle \mathbb {R} }$), або є дійсною формою простої алгебри Лі над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Класифікація дійсних форм в простих класичних алгебрах Лі над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ має такий вигляд.

• ${\displaystyle A_{n},\;n\geqslant 1:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} )}$

• ${\displaystyle A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle A_{II}:n+1=2m,\;{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{n+1}^{*}(\mathbb {R} )}$ — підалгебра елементів з ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2m}(\mathbb {C} ),}$ що зберігають деяку кватерніонну структуру
• ${\displaystyle A_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {su}}_{(p,n+1-p)}}$ — підалгебра елементів з ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} ),}$ які є кососиметричними щодо невиродженої ермітової форми додатного індексу p, де ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant (n+1)/2}$.

• ${\displaystyle B_{n}:\;n\geqslant 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbb {C} )}$

• ${\displaystyle A_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n+1,-p}(\mathbb {R} )}$ — алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1},}$ які є кососиметричними щодо невиродженої симетричної білінійної форми додатного індексу p, де ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$.

• ${\displaystyle C_{n}:\;n\geqslant 3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )}$

• ${\displaystyle C_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbb {C} )}$ — алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ які є кососиметричними щодо невиродженої кососиметричної білінійної форми.
• ${\displaystyle C_{II}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {sp}}_{(p,n-p)},\;\;1\leqslant p\leqslant (n+1)/2,}$ — підалгебра в ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{(2p,2(n-p))}}$ елементи якої зберігають деяку кватерніонну структуру.

• ${\displaystyle D_{n}:\;n\geqslant 4}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} )}$

• ${\displaystyle D_{I}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{p,2n-p}}$ — алгебра лінійних перетворень простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$ які є кососиметричними щодо невиродженої білінійної симетричної форми додатного індексу p, де ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$.
• ${\displaystyle D_{III}:{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {so}}_{2n}^{*}}$ — підалгебра елементів з ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} ),}$ що зберігають деяку кватерніонну структуру

Див. також

• Алгебра Лі
• Компактна група Лі
• Підалгебра Картана
• Редуктивна алгебра Лі
• Розв'язна алгебра Лі
• Форма Кіллінга

Література

• Dobrev, V. K. (2016). Noncompact Semisimple Lie Algebras and Groups. De Gruyter studies in mathematical physics. De Gruyter. ISBN .
• Goto, Morikuni; Grosshans, Frank D. (1978). Semisimple Lie algebras. New York: M. Dekker. ISBN .
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 113. Cambridge University Press. ISBN .
• Arkady L. Onishchik (2003). Lectures on Real Semisimple Lie Algebras and Their Representations. ESI Lectures in Mathematics & Physics. European Mathematical Society. ISBN .
• John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN 
• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN