Нільпотентна матриця

У лінійній алгебрі нільпотентною матрицею називається квадратна матриця N така що

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

для деякого додатного цілого числа k. Найменше таке k іноді називають порядком або індексом матриці N.

Нільпотентним лінійним перетворенням називається лінійне перетворення L лінійного простору таке що L^k = 0 для деякого цілого числа k (і відповідно, L^j = 0 для всіх j ≥ k). Обидва ці поняття є прикладами нільпотентних елементів кільця.

Приклади

Матриця

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною, оскільки M² = 0. Більш загально, будь-яка трикутна матриця всі діагональні елементи якої рівні 0 є нільпотентною порядку ${\displaystyle \leq n}$. Наприклад, матриця

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною:

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Матриця

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}}$

є нільпотентною, оскільки її квадрат дорівнює нулю, хоча всі елементи матриці є ненульовими.

Класифікація

Матриця розмірності n × n і виду:

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

є нільпотентною порядку n.

Як частковий випадок жорданової нормальної форми кожна нільпотентна матриця N є подібною до блокової матриці виду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

де кожен з блоків S₁, S₂, ..., S_r є матрицею виду розглянутого вище.

Наприклад будь-яка ненульова нільпотентна матриця порядку 2 × 2 є подібною до матриці

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

Дана теорема про класифікацію справедлива для довільного поля, не обов'язково алгебраїчно замкнутого.

Послідовність підпросторів

Нільпотентне перетворення L на просторі Rⁿ визначає послідовність підпросторів

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

і послідовність цілих чисел

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

Дана послідовність чисел визначає L з точністю до оборотних лінійних перетворень. Окрім того справедливі нерівності:

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

Навпаки довільна послідовність натуральних чисел, що задовольняють цим послідовностям пов'язана з деяким нільнотентним перетворенням.

Властивості

Для квадратної матриці N порядку n × n з дійсними чи комплексними елементами, наступні твердження є еквівалентними:

• Матриця N є нільпотентною.
• Мінімальний многочлен матриці N рівний x^k для деякого натурального числа k ≤ n.
• Характеристичний многочлен матриці N рівний xⁿ.
• Всі власні значення матриці N дорівнюють 0.
• Слід матриць (N^k) = 0 для всіх k > 0.

Останнє твердження справедливе для всіх полів характеристики 0 або достатньо великої характеристики.

• Порядок нільпотентної матриці розмірності n × n завжди менший або рівний n.
• Визначник і слід нільпотентної матриці дорівнюють 0. Відповідно кожна нільпотентна матриця є виродженою.
• Єдиною нільпотентною діагоналізовною матрицею є нульова матриця.
• Якщо N — нільпотентна матриця, то матриця I + N є оборотною, де I є одиничною матрицею розмірності n × n. Обернена матриця задається рядом:${\displaystyle (I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots .}$

З нільпотентності N випливає, що лише скінченна кількість доданків у ряді є ненульовими.

• Якщо матриця N є нільпотентною то ${\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,}$

Навпаки якщо A є матрицею і ${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

для всіх t, то A є нільпотентною. Оскільки ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ є многочленом степеня ${\displaystyle n}$, достатньо виконання рівності лише для ${\displaystyle n+1}$ різних значень ${\displaystyle t}$.

• Кожна вироджена матриця може бути записана як добуток нільпотентних матриць.
• Якщо A і B — дві комутуючі квадратні нільпотентні матриці однакової розмірності, то нільпотендним буде і їх добуток і всі лінійні комбінації.

Справді, якщо p є більшим з порядків нільпотентності матриць A і B то:

${\displaystyle (AB)^{p}=A^{p}B^{p}=0}$

і, оскільки i або 2p – i є не меншим від p то:

${\displaystyle (\alpha A+\beta B)^{2p}=\sum _{i\in [0,2p]}C_{2p}^{i}\alpha ^{i}\beta ^{2p-i}A^{i}B^{2p-i}=0.}$

Див. також

• Нільпотентний елемент
• Уніпотентна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: , ISBN 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: , ISBN 
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: , LCCN 76091646
• Nilpotent matrix і nilpotent transformation on PlanetMath.

Примітки

1. Herstein, (1964, с. 250)
2. Beauregard та Fraleigh, (1973, с. 312)
3. Herstein, (1964, с. 224)
4. Nering, (1970, с. 274)
5. Herstein, (1964, с. 248)
6. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3