Редуктивна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається редуктивною, якщо її приєднане представлення є цілком звідним. Еквівалентною умовою є те, що алгебра Лі є прямою сумою напівпростої і абелевої алгебри Лі: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}};}$ інші еквівалентні умови подані нижче.

Означення

Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем характеристики 0 називається редуктивною, якщо виконуються еквівалентні умови:

1. Приєднане представлення алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є прямою сумою незвідних представлень.
2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ допускає точне, цілком звідне, скінченновимірне лінійне представлення.
3. Радикал алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ рівний її центру: ${\displaystyle {\mathfrak {r}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Для загальної алгебри Лі її радикал містить центр, але може не бути рівним йому.

4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є прямою сумою напівпростого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{0}}$ і її центру ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$
5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є прямою сумою напівпростої алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ і абелевої алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.}$
6. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ є прямою сумою простих ідеалів: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.}$

Приклади

• Одним із найпростіших і найважливіших прикладів є алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ матриць розмірності ${\displaystyle n\times n}$ зі звичайним комутатором матриць. Вона є редуктивною, оскільки є сумою скалярних матриць і матриць, слід яких рівний нулю.
• За означенням будь-яка напівпроста алгебра Лі і є редуктивними.
• Над полем дійсних чисел, компактні алгебри Лі є редуктивними.

Властивості

• Властивість редуктивності зберігається як при розширенні, так і при звуженні поля, над яким визначена алгебра Лі.
• Для алгебрично замкнутого поля редуктивна алгебра Лі є ізоморфною алгебрі Лі деякої редуктивної алгебричної групи.
• Перетином редуктивних алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі є абелеві алгебри Лі.

Див. також

• Розв'язна алгебра Лі

Посилання

• Lie algebra, reductive, A.L. Onishchik, in Encyclopaedia of Mathematics, , SpringerLink