Симетрична білінійна форма

Біліні́йна фо́рма (білінійний функціонал, білінійна функція) — це таке відображення декартового квадрата векторного простору ${\displaystyle V}$ в скалярне поле ${\displaystyle F}$, що є лінійним за кожним зі своїх аргументів:

${\displaystyle B:V\times V\to F,}$

скалярне поле — це, зазвичай, дійсні числа ${\displaystyle R}$ чи комплексні числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

• ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u'}},{\boldsymbol {v}}),}$
• ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v'}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})+B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v'}}),}$
• ${\displaystyle B(\lambda {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {u}},\lambda {\boldsymbol {v}})=\lambda \,B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}).}$

Білінійна форма ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {u}})}$ називається спряженою до форми ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$ і позначається ${\displaystyle B^{*}}$.

Для випадку комплексних чисел цікавішими є півторалінійні форми, що є подібними до білінійних, але є спряжено-лінійними за одним з аргументів.

Скалярний добуток на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ є прикладом білінійної форми..

Означення білінійної форми можна розширити на модулі над кільцем, де лінійне відображення замінюється ^[en].

Якщо ${\displaystyle \mathbb {K} }$ — поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, тоді часто більш цікавими об'єктами є півторалінійні форми, які подібні до білінійних форм, але за одним з аргументів є ^[en].

Координатне представлення

Нехай ${\displaystyle V\cong \mathbb {K} ^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-вимірний векторний простір з базисом ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}}$.

Матрицю ${\displaystyle A}$ розмірності ${\displaystyle (n\times n)}$, елементи якої визначаються як ${\displaystyle A_{ij}=B({\boldsymbol {e}}_{i},{\boldsymbol {e}}_{j})}$, називають матрицею білінійної форми у базисі ${\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{n}\}}$.

• Якщо ${\displaystyle (n\times 1)}$ — матриця ${\displaystyle x}$ представляє вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ у цьому базисі, аналогічно ${\displaystyle y}$ відповідає іншому вектору ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, то

${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}A{\boldsymbol {y}}=\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j},}$

де ${\displaystyle A}$ — квадратна матриця з елементами ${\displaystyle a_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$.

• Якщо ${\displaystyle \{{\boldsymbol {f}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {f}}_{n}\}}$ деякий інший базис в ${\displaystyle V}$, де ${\displaystyle S}$ — невироджена матриця, то

${\displaystyle {\boldsymbol {f}}_{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}{\boldsymbol {e}}_{i}.}$

Тоді при переході до нового базису матриця білінійної форми зміниться на конгруентну матрицю:

${\displaystyle A'=S^{T}AS.}$

Відображення у спряжений простір

Будь-яка білінійна форма ${\displaystyle B}$ на просторі ${\displaystyle V}$ визначає пару лінійних відображень з простору ${\displaystyle V}$ у спряжений до нього простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. Визначимо ${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ як

${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}),}$

${\displaystyle B_{2}({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).}$

Часто ці відображення позначається як

${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=B({\boldsymbol {v}},\cdot ),}$

${\displaystyle B_{2}({\boldsymbol {v}})=B(\cdot ,{\boldsymbol {v}}),}$

де ${\displaystyle (\cdot )}$ вказує на слот, в який потрібно помістити аргумент результуючого лінійного функціоналу (див. каррінг).

Для скінченновимірного векторного простору ${\displaystyle V}$, якщо будь-яке з відображень ${\displaystyle B_{1}}$ або ${\displaystyle B_{2}}$ є ізоморфізмом, то тоді обидва вони є ізоморфізмами, і білінійну форму ${\displaystyle B}$ називають ^[en]. Більш точніше, для скінченновимірного векторного простору невиродженість означає, що кожен ненульовий елемент нетривіально поєднується з якимсь іншим елементом:

${\displaystyle B(x,y)=0\,}$ для усіх ${\displaystyle y\in V}$ передбачає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=0}$ i

${\displaystyle B(x,y)=0\,}$ для усіх ${\displaystyle x\in V}$ передбачає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=0.}$

Відповідне поняття для модуля над комутативним кільцем полягає в тому, що білінійна форма є унімодулярною, якщо відображення ${\displaystyle V\rightarrow V^{\ast }}$ є ізоморфізмом. Нехай задано скінченний породжений модуль над комутативним кільцем, утворення пар може бути ін'єктивним (отже, "невиродженим" у наведеному вище розумінні), але не унімодулярним. Наприклад, для цілих чисел утворення пар ${\displaystyle B(x,y)=2xy}$ є невиродженим, але неунімодулярним, оскільки індуковане відображення з ${\displaystyle V={\mathbb {Z} }}$ на ${\displaystyle V^{\ast }={\mathbb {Z} }}$ є множенням на 2.

Якщо простір ${\displaystyle V}$ — скінченновимірний, тоді можна ототожнювати простір ${\displaystyle V}$ з двічі спряженим простором ${\displaystyle V^{\ast \ast }}$. Можна показати, що відображення ${\displaystyle B_{2}}$ є ^[en] лінійного відображення ${\displaystyle B_{1}}$ (якщо простір ${\displaystyle V}$ нескінченновимірний, то ${\displaystyle B_{2}}$ — транспонування ${\displaystyle B_{1}}$, обмежене образом простору ${\displaystyle V}$ у просторі ${\displaystyle V^{\ast \ast }}$). Для заданого відображення ${\displaystyle B}$ можна визначити транспоноване до нього через білінійну форму наступним чином

${\displaystyle {}^{\rm {t}}B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}).}$

Лівий і правий радикали білінійної форми ${\displaystyle B}$ є ядрами відображень ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}}$, відповідно; вони є векторами, ортогональними до всього простору зліва та справа.

Якщо простір ${\displaystyle V}$ — скінченновимірний, тоді ранг відображення ${\displaystyle B_{1}}$ дорівнює рангу відображення ${\displaystyle B_{2}}$. Якщо це значення дорівнює ${\displaystyle \dim V}$, тоді відображення ${\displaystyle B_{1}}$ і ${\displaystyle B_{2}}$ є лінійними ізоморфізмами з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. У цьому випадку білінійна форма ${\displaystyle B}$ є невиродженою. За ^[en] це еквівалентно умові, що лівий та правий радикали будуть тривіальними. Для скінченновимірних просторів це часто приймається як означення невиродженості:

Означення: Відображення ${\displaystyle B}$ є невиродженим, якщо з умови ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$, яка виконується для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, випливає, що ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}}$.

Для будь-якого лінійного відображення ${\displaystyle A\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ можна отримати білінійну форму ${\displaystyle B}$ у просторі ${\displaystyle V}$ як

${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=A({\boldsymbol {v}})({\boldsymbol {w}}).}$

Ця форма буде невиродженою тоді і лише тоді, коли відображення ${\displaystyle A}$ є ізоморфізмом.

Якщо простір ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним тоді, відносно деякого базису простору ${\displaystyle V}$, білінійна форма є виродженою тоді і тільки тоді, коли визначник відповідної матриці дорівнює нулю. Аналогічно, невиродженою формою є форма для якої визначник асоційованої матриці ненульовий (матриця є несингулярною). Ці твердження не залежать від вибраного базису. Для модуля над комутативним кільцем унімодулярна форма є формою, для якої визначник асоційованої матриці дорівнює одиниці (наприклад, 1), що і обґрунтовує термінологію. Зауважимо, що форма, визначник якої не дорівнює нулю, але не є одиницею, буде невиродженою, але не унімодулярною, наприклад, форма ${\displaystyle B({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=2xy}$ над полем цілих чисел.

Симетрична, кососиметрична та знакозмінна форми

Визначаємо білінійну форму як

• ^[en], якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$;
• ^[en], якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})=0}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$;
• кососиметричну, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=-B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V}$.

Твердження: Будь-яка знакозмінна форма є кососиметричною.

Доведення: Це можна побачити, розписавши ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}};{\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})}$.

Якщо характеристика поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ не дорівнює 2, то справедливо і зворотне твердження: кожна кососиметрична форма є знакозмінною. Однак, якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )=2}$, то кососиметрична форма є такою ж як симетрична форма, і існують симетричні/кососиметричні форми, які не є знакозмінними.

Білінійна форма є симетричною (відповідно, кососиметричною) тоді і лише тоді, коли її координатна матриця (відносно будь-якого базису) є симетричною (відповідно, кососиметричною). Білінійна форма є знакозмінною тоді і тільки тоді, коли її координатна матриця є кососиметричною, а діагональні елементи дорівнюють нулю (це випливає з кососиметричності при ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$).

Білінійна форма є симетричною тоді і лише тоді, коли відображення ${\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\rightarrow V^{\ast }}$ рівні (${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=B_{2}({\boldsymbol {v}})}$), і кососиметричною тоді і лише тоді, коли вони протилежні за знаком ((${\displaystyle B_{1}({\boldsymbol {v}})=-B_{2}({\boldsymbol {v}})}$). Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$, то білінійну форму можна розкласти на симетричну та кососиметричну частини наступним чином:

${\displaystyle B^{+}={\frac {1}{2}}(B+{}^{\rm {t}}B),\quad B^{-}={\frac {1}{2}}(B-{}^{\rm {t}}B),}$

де ${\displaystyle {}^{\rm {t}}B}$ — відображення транспоноване до ${\displaystyle B}$ (визначене вище).

${\displaystyle B^{\pm }={\frac {1}{2}}(B\pm B^{*})\quad \to \quad B=B^{+}+B^{-}}$

• Симетрична білінійна форма називається додатновизначеною (від'ємновизначеною), якщо ${\displaystyle \forall x\neq 0}$: ${\displaystyle B(x,x)>0}$ або ${\displaystyle B(x,x)<0}$.

Додатновизначена білінійна форма задовільняє всі аксіоми скалярного добутку.

Симетрична білінійна форма

Симетричні білінійні форми тісно пов'язані з квадратичними формами.

Симетричну білінійну форму A(x,y), називають полярною до квадратичної форми A(x,x). Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї квадратичної форми в тому ж базисі.

• Маючи білінійну форму ${\displaystyle B}$ (не обов'язково симетричну), отримаємо квадратичну форму як:

${\displaystyle Q({\boldsymbol {u}})=B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}).}$

• І навпаки, маючи квадратичну форму ${\displaystyle Q}$, використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{4}}\left(Q({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})-Q({\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}})\right).}$

Закон інерції

Докладніше: Закон інерції Сильвестра

Похідна квадратична форма

Для будь-якої білінійної форми ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ існує асоційована квадратична форма ${\displaystyle Q\colon V\rightarrow \mathbb {K} }$, визначена як ${\displaystyle Q\colon V\rightarrow \mathbb {K} \colon {\boldsymbol {v}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}})}$.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$, то квадратична форма ${\displaystyle Q}$ визначається симетричною частиною білінійної форми ${\displaystyle B}$ і не залежить від антисиметричної частини. У цьому випадку існує взаємнооднозначна відповідність між симетричною частиною білінійної форми та квадратичною формою, і є сенс говорити про симетричну білінійну форму асоційовану з квадратичною формою.

Якщо ${\displaystyle \operatorname {char} (\mathbb {K} )=2}$ і ${\displaystyle \dim V>1}$, то такої відповідності між квадратичними формами та симетричними білінійними формами немає.

Рефлексивність та ортогональність

Означення: Білінійна форма ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ називається рефлексивною, якщо із ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$ випливає, що і ${\displaystyle B({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}})=0}$ для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {v}}\in V}$.

Означення: Нехай ${\displaystyle B\colon V\times V\rightarrow \mathbb {K} }$ — рефлексивна білінійна форма. Вектори ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$ простору ${\displaystyle V}$ є ортогональними відносно ${\displaystyle B}$, якщо ${\displaystyle B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0}$.

Білінійна форма ${\displaystyle B}$ є рефлексивною тоді і лише тоді, коли вона симетрична або кососиметрична. За відсутності рефлексивності нам доводиться розрізняти ліву та праву ортогональність. У рефлексивному просторі лівий і правий радикали співпадають і називаються ядром або радикалом білінійної форми: підпростір усіх векторів, ортогональних з будь-яким іншим вектором. Вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ з матричним представленням ${\displaystyle x}$ знаходиться в радикалі білінійної форми з матричним представленням ${\displaystyle A}$, тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle Ax=0\Leftrightarrow x^{\top }A=0}$. Радикал — це завжди підпростір простору${\displaystyle V}$. Він тривіальний тоді і тільки тоді, коли матриця ${\displaystyle A}$ невироджена, і, отже, тоді і тільки тоді, коли білінійна форма є невиродженою.

Нехай ${\displaystyle W}$ є підпростором. Визначимо ортогональне доповнення як

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{{\boldsymbol {v}}\mid B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=0\ \forall {\boldsymbol {w}}\in W\right\}.}$

Для невироджених білінійної форми на скінченномірному просторі відображення ${\displaystyle V/W\rightarrow W^{\bot }}$ є бієкцією і розмірність ортогонального доповнення ${\displaystyle W^{\bot }}$ дорівнює ${\displaystyle \dim V-\dim W}$.

Різні простори

Більша частина теорії доступна для білінійного відображення з двох векторних просторів над тим самим базовим полем у це поле

${\displaystyle B\colon \ V\times V\rightarrow \mathbb {K} .}$

Тут все ще маємо індуковані лінійні відображення з простору ${\displaystyle V}$ у простір ${\displaystyle W^{\ast }}$ і з простору ${\displaystyle W}$ у простір ${\displaystyle V^{\ast }}$. Може трапитися так, що ці відображення є ізоморфізмами; припускаючи скінченновимірність, якщо одне є ізоморфізмом, інше також має бути ізоморфізмом. Коли це відбувається, білінійну форму ${\displaystyle B}$ називають досконалим утворюванням пар.

У випадку скінченних розмірностей це еквівалентно тому, що утворювання пар є невиродженим (простори обов'язково мають однакові розмірності). Для модулів (замість векторних просторів), подібно до того як зараз, невироджена форма є слабшою за унімодулярну форму, невироджене утворювання пар є слабшим поняттям ніж досконале утворювання пар. Утворювання пар може бути невиродженим, не будучи досконалим. Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$ вигляду ${\displaystyle (x,y)\mapsto 2xy}$ є невиродженим, але індукується множення на 2 при відображенні ${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ^{\ast }}$.

Термінологія змінюється при розгляді різних білінійних форм. Наприклад, Ф. Різ Харві обговорює "вісім видів внутрішнього добутку". Для їх визначення він використовує діагональні матриці ${\displaystyle A_{ij}}$, що мають лише ${\displaystyle +1}$ або ${\displaystyle -1}$ для ненульових елементів. Деякі з "внутрішніх добутків" є симплектичними формами, а деякі — півторалінійними формами або ермітовими формами. Замість загального поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ розлядаються поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ і кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Білінійна форма

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$

називається дійсним симетричним випадком і позначається як ${\displaystyle \mathbb {R} (p,q)}$, де ${\displaystyle p+q=n}$. Потім він формулює зв'язок із традиційною термінологією.

Деякі дійсні симетричні випадки дуже важливі.

Додатно визначений випадок ${\displaystyle \mathbb {R} (n,0)}$ називається евклідовим простором, тоді як випадок одного мінуса, ${\displaystyle \mathbb {R} (n-1,1)}$ — простором Лоренца.

Якщо ${\displaystyle n=4}$, то простір Лоренца також називають простором Мінковського або простором-часом Мінковського.

Частинний випадок ${\displaystyle \mathbb {R} (p,p)}$ будемо називати розщепленим випадком.

Зв'язок з тензорним добутком

Згідно універсальної властивості тензорного добутку існує канонічна відповідність між білінійними формами у просторі ${\displaystyle V}$ і лінійними відображеннями ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$. Якщо ${\displaystyle B}$ є білінійною формою у просторі ${\displaystyle V}$, то відповідне лінійне відображення визначається як

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\mapsto B({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}).}$

В іншому напрямку, якщо ${\displaystyle F\colon V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$ є лінійним відображенням, то відповідна білінійна форма задається композицією ${\displaystyle F}$ з білінійним відображенням ${\displaystyle V\times V\rightarrow V\otimes V}$, яка відображає ${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})}$ у ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}$.

Множина всіх лінійних відображень ${\displaystyle V\otimes V\rightarrow \mathbb {K} }$ є спряженим простором для ${\displaystyle V\otimes V}$, тому білінійні форми можна розглядати як елементи простору ${\displaystyle (V\otimes V)^{\ast }}$, який (для скінченновимірного простору ${\displaystyle V}$) канонічно ізоморфний простору ${\displaystyle V^{\ast }\otimes V^{\ast }}$.

Так само симетричні білінійні форми можна розглядати як елементи з ${\displaystyle {\rm {Sym}}^{2}(V^{\ast })}$ (друга ^[en] простору ${\displaystyle V^{\ast }}$), і знакозмінні білінійні форм як елементи з ${\displaystyle \wedge ^{2}V^{\ast }}$ (друга зовнішня степінь простору ${\displaystyle V^{\ast }}$).

На нормованих векторних просторах

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$ є обмеженою, якщо існує константа ${\displaystyle C}$, що для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in V}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})\leq C||{\boldsymbol {u}}||||{\boldsymbol {v}}||.}$

Означення: Білінійна форма на нормованому векторному просторі ${\displaystyle (V,||\cdot ||)}$ є еліптичною, або ^[en], якщо існує константа ${\displaystyle c>0}$, така, що для всіх ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\in V}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}})\geq c||{\boldsymbol {u}}||^{2}.}$

Узагальнення на модулі

Нехай задано кільце ${\displaystyle R}$ і правий ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$ та його ^[en]${\displaystyle M^{\ast }}$, відображення ${\displaystyle B\colon M\times M\rightarrow \mathbb {K} }$ називається білінійною формою, якщо

${\displaystyle B(u+v,x)=B(u,x)+B(v,x),}$

${\displaystyle B(u,x+y)=B(u,x)+B(u,y),}$

${\displaystyle B(\alpha x,x\beta )=\alpha B(u,x)\beta .}$

для всіх ${\displaystyle u,v\in M^{\ast }}$, всіх ${\displaystyle x,y\in M}$ і всіх ${\displaystyle \alpha ,\beta \in R}$.

Відображення ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto u(x)}$ відоме як ^[en], яке також називають канонічною білінійною формою на ${\displaystyle M^{\ast }\times M}$.

Лінійне відображення ${\displaystyle S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto S(u)}$ індукує білінійну форму ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (S(u),x)}$, а лінійне відображення ${\displaystyle T\colon M\rightarrow M\colon x\mapsto T(x)}$ індукує білінійну форму ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R\colon (u,x)\mapsto (u,T(x))}$.

І навпаки, білінійна форма ${\displaystyle B\colon M^{\ast }\times M\rightarrow R}$ індукує ${\displaystyle R}$-лінійні відображення ${\displaystyle S\colon M^{\ast }\rightarrow M^{\ast }\colon u\mapsto (x\mapsto B(u,x))}$ і ${\displaystyle T^{'}\colon M\rightarrow M^{\ast \ast }\colon x\mapsto (u\mapsto B(u,x))}$. Тут ${\displaystyle M^{\ast \ast }}$ позначає подвійний спряжений модуль для модуля ${\displaystyle M}$.

Див. також

• Білінійне відображення
• Білінійний оператор
• Простір із внутрішнім добутком (предгільбертовий простір)
• Лінійна форма
• ^[en]
• Квадратична форма
• Півторалінійна форма
• ^[en]

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)* Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 136, Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0768.00003
• Bourbaki, N. (1970), Algebra, Springer
• Cooperstein, Bruce (2010), Ch 8: Bilinear Forms and Maps, Advanced Linear Algebra, CRC Press, с. 249—88, ISBN 
• Grove, Larry C. (1997), Groups and characters, Wiley-Interscience, ISBN 
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0288.15002
• Harvey, F. Reese (1990), Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces, Spinors and calibrations, Academic Press, с. 19—40, ISBN 
• Popov, V. L. (1987), , у Hazewinkel, M. (ред.), Encyclopedia of Mathematics, т. 1, Kluwer Academic Publishers, с. 390—392, архів оригіналу за 24 жовтня 2019, процитовано 6 травня 2021. Also: Білінійна форма, с. 390, на «Google Books»
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, т. I (вид. 2nd), ISBN 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, т. 73, Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0292.10016
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press, ISBN 
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), , , ISBN , архів оригіналу за 9 листопада 2014, процитовано 6 травня 2021
• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ред.), Linear Algebra, Dover, ISBN 
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), form Bilinear form, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Bilinear form на PlanetMath

Примітки

1. (PDF). 16 січня 2021. Архів оригіналу (PDF) за 22 січня 2021. Процитовано 6 травня 2021.
2. Jacobson, 2009, с. 346.
3. Zhelobenko, 2006, с. 11.
4. Grove, 1997.
5. Adkins та Weintraub, 1992, с. 359.
6. Harvey, 1990, с. 22.
7. Harvey, 1990, с. 23.
8. Bourbaki, 1970, с. 233.