Графічне позначення Пенроуза

У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році. Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена , який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації . Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в та квантових схемах .

Графічне позначення Пенроуза (позначення на тензорній діаграмі) п’яти частинок.

Інтерпретації

Мультилінійна алгебра

Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.

Тензори

Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису.

Матриці

Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.

Зображення спеціальних тензорів

Метричний тензор

Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.

метричний тензор ${\displaystyle g^{ab}}$

метричний тензор ${\displaystyle g_{ab}}$

Тензор Леві-Чивіти

Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}}$${\displaystyle =n!}$

Структурна константа

структурна константа ${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

Структурні константи ( ${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$ ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.

Тензорні операції

Згортка індексів

Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:

Дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

Скалярний добуток ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

Симетризація

Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.

Симетризація ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ (де ${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$ )

Антисиметризація

Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.

Антисиметризація ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ (де ${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$ )

Визначник

Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.

Визначник ${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

Обернена матриця ${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

Коваріантна похідна

Коваріантну похідну ( ${\displaystyle \nabla }$ ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.

Коваріантна похідна ${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

Тензорні маніпуляції

Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.

Наприклад, ${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!}$, де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.

Тензор кривини Рімана

Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення

Позначення тензора кривини Рімана

Тензор Річчі ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

Тотожність Річчі ${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

Тотожність Б'янкі ${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

Розширення

Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам .

Дивіться також

• Діаграми Фейнмана
• Мультилінійна алгебра
• Тензор
• Тензорні мережі

Примітки

1. , "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary.
2. (2008). Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press.
3. Roger Penrose, , 2005, , Chapter Manifolds of n dimensions.
4. Penrose, R.; Rindler, W. (1984). Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. с. 424—434. ISBN .
5. Penrose, R.; Rindler, W. (1986). Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. ISBN .