Згортка в тензорному численні — операція пониження валентності тензора на 2, котра переводить тензор валентності в тензор валентності . Згортку можна розглядати як узагальнення сліду матриці. В координатах вона записується таким чином:
- де застосовано правило сумування Ейнштейна за різноваріантними індексами, що повторюються.
Часто операцію згортки проводять над тензорами, що є добутками тензорів. Наприклад, є запис звичайного множення матриці А на матрицю B (тобто ).
У випадку евклідового простору в ортогональній системі віднесення різниця між ко- і контраваріантними компонентами тензорів зникає, і згортку можна вести за будь-якими двома індексами. Проте, при роботі в криволінійних або косокутних координатах згортка знов визначається тільки у випадку, якщо один з індексів підсумовування верхній, а інший нижній. В метричному просторі ко- і контраваріантні індекси можна однозначно переводити один в одного, тому при використанні метричного тензора згортку можна вести також за будь-якою парою індексів.
Приклади
- Згортка тензора за двійкою індексів, за якими він анти(косо)симетричний, дає нульовий тензор.
- Згортка вектора v із тензором A рангу (1,1) представляє множення вектора на лінійний оператор, яким є такий тензор по відношенню до вектора.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zgortka v tenzornomu chislenni operaciya ponizhennya valentnosti tenzora na 2 kotra perevodit tenzor valentnosti m n displaystyle m n v tenzor valentnosti m 1 n 1 displaystyle m 1 n 1 Zgortku mozhna rozglyadati yak uzagalnennya slidu matrici V koordinatah vona zapisuyetsya takim chinom T j 1 j 0 j n i 1 i 0 i n T j 1 j n i 1 i n T j 1 i 0 j n i 1 i 0 i n displaystyle T j 1 dots underline j 0 dots j n i 1 dots underline i 0 dots i n rightarrow T j 1 dots j n i 1 dots i n T j 1 dots underline i 0 dots j n i 1 dots underline i 0 dots i n de zastosovano pravilo sumuvannya Ejnshtejna za riznovariantnimi indeksami sho povtoryuyutsya Chasto operaciyu zgortki provodyat nad tenzorami sho ye dobutkami tenzoriv Napriklad A j i B k j displaystyle A j i B k j ye zapis zvichajnogo mnozhennya matrici A na matricyu B tobto j 1 N A i j B j k displaystyle sum j 1 N A ij B jk U vipadku evklidovogo prostoru v ortogonalnij sistemi vidnesennya riznicya mizh ko i kontravariantnimi komponentami tenzoriv znikaye i zgortku mozhna vesti za bud yakimi dvoma indeksami Prote pri roboti v krivolinijnih abo kosokutnih koordinatah zgortka znov viznachayetsya tilki u vipadku yaksho odin z indeksiv pidsumovuvannya verhnij a inshij nizhnij V metrichnomu prostori ko i kontravariantni indeksi mozhna odnoznachno perevoditi odin v odnogo tomu pri vikoristanni metrichnogo tenzora zgortku mozhna vesti takozh za bud yakoyu paroyu indeksiv PrikladiZgortka tenzora za dvijkoyu indeksiv za yakimi vin anti koso simetrichnij daye nulovij tenzor Zgortka A j i v j displaystyle A j i v j vektora v iz tenzorom A rangu 1 1 predstavlyaye mnozhennya vektora na linijnij operator yakim ye takij tenzor po vidnoshennyu do vektora