Спінор

Спінор — двокомпонентна математична конструкція, за допомогою якої описуються частинки з напівцілим спіном.

На відміну від скаляра, спінор має дві компоненти, одна з яких відповідає спіну 1/2, а інша спіну -1/2. Вони позначаються ${\displaystyle \psi ^{1}\,}$ та ${\displaystyle \psi ^{2}\,}$ і записуються в стовпчик

${\displaystyle \psi =\left({\begin{matrix}\psi ^{1}\\\psi ^{2}\end{matrix}}\right)}$

Конструкція ${\displaystyle \psi \,}$ називається спінором.

При повороті системи координат компоненти спінора зв'язані лінійним співвідношенням

${\displaystyle \psi ^{1\prime }=a\psi ^{1}+b\psi ^{2},\qquad \psi ^{2\prime }=c\psi ^{1}+d\psi ^{2}\qquad }$

або

${\displaystyle \psi ={\hat {U}}\psi ,\qquad {\hat {U}}=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)}$.

${\displaystyle {\hat {U}}}$ — матриця перетворення, а її елементи a, b, c, d — комплексні числа.

Білінійна форма ${\displaystyle \psi ^{1}\varphi ^{2}-\psi ^{2}\varphi ^{1}}$, де ${\displaystyle \psi \,}$ та ${\displaystyle \varphi }$ — два спінори, що перетворюються при повороті системи координат як:

${\displaystyle \psi ^{1\prime }\varphi ^{2\prime }-\psi ^{2\prime }\varphi ^{1\prime }=(ad-bc)(\psi ^{1}\varphi ^{2}-\psi ^{2}\varphi ^{1})}$,

тобто ця форма перетворюється сама в себе. Отже, детермінант матриці перетворення повинен дорівнювати одиниці

${\displaystyle \det {\hat {U}}=ad-bc=1}$.

Додаткові умови на елементи матриці перетворення є наслідком того, що вираз

${\displaystyle \psi ^{1*}\psi ^{1}+\psi ^{2*}\psi ^{2}\,}$

задає ймовірність перебування частинки в точці простору, тож повинна бути скаляром. Отже, перетворення ${\displaystyle {\hat {U}}}$ повинно бути унітарним. Тоді

${\displaystyle a=d^{*},\qquad b=-c^{*}}$.

Враховуючи всі ці співвідношення, серед чотирьох комплексних чисел a, b, c, d всього три незалежні дійсні змінні, якраз стільки, щоб ними можна було описати поворот в тривимірному просторі.

В релятивістській квантовій механіці, де окрім просторових поворотів враховуються також перетворення Лоренца використовуються складніші чотирикомпонентні конструкції — біспінори.

Поворот навколо осі z

При повороті навколо осі z на кут ${\displaystyle \phi }$ матриця перетворення задається формулою

${\displaystyle {\hat {U}}=e^{iS_{z}\phi /\hbar }}$,

де ${\displaystyle S_{z}={\frac {1}{2}}\hbar \sigma _{z}}$ — z-ва складова (оператора спіну), ${\displaystyle \sigma _{z}}$ — матриця Паулі, ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, ${\displaystyle \phi \,}$ — кут повороту.

При дії цієї матриці на стан із спіном +1/2

${\displaystyle {\hat {U}}\left({\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right)=e^{i\phi /2}\left({\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right)}$

Таким чином при повороті на кут ${\displaystyle 2\pi }$ спінор міняє свій знак.

Див. також

• Рівняння Дірака
• Теорема Атії — Зінгера про індекс
• Ферміон Дірака

Джерела

• Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Москва: Наука.