Тензор Річчі

Тензор Річчі, названий на честь Грегоріо Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривини многовиду, тобто ступеня відмінності геометрії многовиду від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманового многовиду. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію об'єму, тобто ступінь відмінності n-вимірних областей n-вимірного многовиду від аналогічних областей евклідового простору.

Зазвичай позначається ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ або ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$.

Означення

Нехай ${\displaystyle (M,g)}$ — n-вимірний ріманів многовид, а ${\displaystyle T_{p}M}$ — дотичний простір до M в точці p. Для будь-якої пари ${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$ дотичних векторів в точці p, тензор Річчі ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )}$, за означенням, відображає ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ в слід лінійного автоморфізма ${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$, що заданий тензором кривини Рімана R:

${\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi }$

Якщо на многовиді задані локальні координати, то тензор Річчі можна розкласти за компонентами:

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$

де ${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.}$ — слід тензора Рімана в координатному представлені.