Ін'єктивний модуль — один з типів модулів, що є двоїстим до проєктивного модуля і широко використовується в гомологічній алгебрі і загалом в теорії кілець.
Означення
Модуль над кільцем
(як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом) називається ін'єктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма
і мономорфізма
існує такий гомоморфізм
, що
, тобто дана діаграма є комутативною:
Існує декілька еквівалентних означень:
- Для будь-якої точної послідовності R-модулів:
- індукована послідовність
- теж є точною;
- Будь-яка точна послідовність R-модулів, що має вигляд
- розщеплюється, тобто підмодуль
є в М прямим доданком;
- Модуль
є прямим доданком у будь-якому модулі в якому він є підмодулем;
- Для будь-якого ідеала (правого для правих модулів, лівого для лівих)
кільця
будь-який гомоморфізм
-модулів
може бути продовжений до гомоморфізма
-модулів
Дане означення називається критерієм Бера. У випадку комутативного нетерового кільця, критерій Бера достатньо перевірити для простих ідеалів.
- Для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову
(і тому
)
В термінах теорії категорій можна дати визначення, що є ін'єктивним об'єктом категорії
-модулів.
Приклади
- Нульовий модуль {0} є ін'єктивним.
- Для будь-якого поля k, довільний k-векторний простір Q є ін'єктивним k-модулем. Дійсно, якщо Q є підпростором простору V, то базис простору Q можна доповнити до базису простору V (наприклад, згідно леми Стейніца про заміну). Якщо K — лінійна оболонка векторів, що доповнюють базис Q до базиса V, то V є прямою сумою підпросторів Q і K, тобто Q є прямим доданком у кожному просторі підпростором якого він є
- Раціональні числа Q (з операцією додавання) утворюють ін'єктивну абелеву групу (тобто Z-модуль). Фактор-група Q/Z теж є ін'єктивним Z-модулем. Фактор-група Z/nZ для n > 1 є ін'єктивною як Z/nZ-модуль, але не ін'єктивною як абелева група.
- ля будь-якої області цілісності R з полем часток K, R-модуль K і ін'єктивним R-модулем, до того ж найменшим ін'єктивним R-модулем, що містить R.
- Для кілець Дедекінда, фактор-модуль K/R теж є ін'єктивним, і його незвідні прямі доданки є локалізаціями
для ненульових простих ідеалів
. Нульовий ідеал теж є простим і відповідає ін'єктивному модулю K. Тобто існує бієкція між простими ідеалами і незвідними ін'єктивними модулями над кільцем Дедекінда.
Властивості
- Кожен R-модуль М можна вкласти в ін'єктивний модуль. Більш того, кожен модуль М міститься в своїй ін'єктивній оболонці Q (M), тобто в ін'єктивному модулі Q (M), кожен ненульовий підмодуль якого має ненульовий перетин з М. Будь-яке вкладення модуля М в ін'єктивний модуль Q продовжується до вкладення ін'єктивної оболонки Q (M) в Q .
- Кожен R-модуль М має ін'єктивну резольвенту, тобто точну послідовність
в якій всі модулі
є ін'єктивними. Довжина найкоротшої ін'єктивної резольвенти називається ін'єктивною розмірністю модуля. Довжиною тут називається число n, таке що
Якщо такого числа не існує ін'єктивна розмірність вважається нескінченною. Ін'єктивна розмірність ін'єктивних модулів і тільки їх рівна нулю.
- Прямий добуток ін'єктивних модулів є ін'єктивним модулем. Навпаки, якщо прямий добуток модулів є ін'єктивним модулем то й кожен множник теж є ін'єктивним модулем.
- Ін'єктивний модуль Q дорівнює rQ для будь-якого елемента
, що не є правим дільником нуля в R, тобто ін'єктивний модуль є подільним модулем. Зокрема, абелева група є ін'єктивним модулем над кільцем
тоді і тільки тоді, коли вона подільна.
- Над комутативним нетеровим кільцем R кожен ін'єктивний модуль є прямою сумою ін'єктивних оболонок модулів виду
, де
— простий ідеал кільця R
- Всі (ліві і праві) модулі над кільцем R є ін'єктивними тоді і тільки тоді коли кільце є напівпростим.
- Кільце R є нетеровим зліва (справа) тоді і тільки тоді коли пряма сума довільної множини ін'єктивних лівих (правих) R-модулів є ін'єктивним лівим (правим) R-модулем. Іншою еквівалентною умовою є те, що довільний лівий (правий) R-модуль розкладається на пряму суму незвідних лівих (правих) R-модулів.
- Кільце R є артіновим зліва (справа) тоді і тільки тоді кожен ін'єктивний модуль є прямою сумою ін'єктивних оболонок простих модулів. В цьому випадку існує бієкція між простими ідеалами кільця і незвідними ін'єктивними модулями. Кожен простий ідеал в цьому випадку є анігілятором деякого (однозначно визначеного) простого модуля і відповідний незвідний ін'єктивний модуль є його ін'єктивною оболонкою. Для кільця всі підмодулі усіх ін'єктивних модулів є теж ін'єктивними тоді і тільки тоді коли кільце є артіновим напівпростим.
- Кільце є спадковим (тобто кожен ідеал є проективним модулем) якщо і тільки якщо для кожного ін'єктивного модуля над ним всі фактор-модулі теж є ін'єктивними. Іншою еквівалентною умовою є те, що сума двох ін'єктивних підмодулів у довільному модулі теж буде ін'єктивним модулем.
- Якщо кільце R є спадковим зліва (справа) і нетеровим зліва (справа), то кожен R-модуль містить найбільший ін'єктивний підмодуль.
- Проективність (ін'єктивність) всіх ін'єктивних (проективних) R-модулів еквівалентна тому, що R є квазіфробеніусовим кільцем.
- Для довільного R-модуля можна визначити модуль
Тоді модуль M є плоским тоді і тільки тоді коли M* є ін'єктивним. Для нетерових кілець також навпаки модуль M є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли M* є плоским.
Див. також
Література
- Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960;
- Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966;
- Faith С, Lectures on infective modules and quotient rings, B.—Hdlb.—N.Y., 1967;
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1653294
- Sharpe D. W., Vamos P., Injective modules, Cambridge, 1972.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
In yektivnij modul odin z tipiv moduliv sho ye dvoyistim do proyektivnogo modulya i shiroko vikoristovuyetsya v gomologichnij algebri i zagalom v teoriyi kilec OznachennyaModul Q displaystyle Q nad kilcem R displaystyle R yak pravilo vvazhayetsya asociativnim z odinichnim elementom nazivayetsya in yektivnim yaksho dlya bud yakogo gomomorfizma g X Q displaystyle g X to Q i monomorfizma f X Y displaystyle f X to Y isnuye takij gomomorfizm h Y Q displaystyle h Y to Q sho g h f displaystyle g h circ f tobto dana diagrama ye komutativnoyu Isnuye dekilka ekvivalentnih oznachen Dlya bud yakoyi tochnoyi poslidovnosti R moduliv M1 aM2 bM3 displaystyle M 1 overset alpha longrightarrow M 2 overset beta longrightarrow M 3 indukovana poslidovnist HomR M1 Q HomR a Q HomR M2 Q HomR b Q HomR M3 Q displaystyle rm Hom R left M 1 Q right overset rm Hom R left alpha Q right longleftarrow rm Hom R left M 2 Q right overset rm Hom R left beta Q right longleftarrow rm Hom R left M 3 Q right tezh ye tochnoyu Bud yaka tochna poslidovnist R moduliv sho maye viglyadQ aM bL displaystyle Q overset alpha longrightarrow M overset beta longrightarrow L rozsheplyuyetsya tobto pidmodul Ima ker b displaystyle text Im alpha ker beta ye v M pryamim dodankom Modul Q displaystyle Q ye pryamim dodankom u bud yakomu moduli v yakomu vin ye pidmodulem Dlya bud yakogo ideala pravogo dlya pravih moduliv livogo dlya livih I displaystyle I kilcya R displaystyle R bud yakij gomomorfizm R displaystyle R moduliv f I Q displaystyle f I to Q mozhe buti prodovzhenij do gomomorfizma R displaystyle R moduliv g R Q displaystyle g R to Q Dane oznachennya nazivayetsya kriteriyem Bera U vipadku komutativnogo neterovogo kilcya kriterij Bera dostatno pereviriti dlya prostih idealiv Dlya vsih R moduliv T funktor Ext zadovolnyaye umovu ExtR1 T Q 0 displaystyle operatorname Ext R 1 T Q 0 i tomu ExtRi T Q 0 i gt 0 displaystyle operatorname Ext R i T Q 0 i gt 0 V terminah teoriyi kategorij mozhna dati viznachennya sho Q displaystyle Q ye in yektivnim ob yektom kategoriyi R displaystyle R moduliv PrikladiNulovij modul 0 ye in yektivnim Dlya bud yakogo polya k dovilnij k vektornij prostir Q ye in yektivnim k modulem Dijsno yaksho Q ye pidprostorom prostoru V to bazis prostoru Q mozhna dopovniti do bazisu prostoru V napriklad zgidno lemi Stejnica pro zaminu Yaksho K linijna obolonka vektoriv sho dopovnyuyut bazis Q do bazisa V to V ye pryamoyu sumoyu pidprostoriv Q i K tobto Q ye pryamim dodankom u kozhnomu prostori pidprostorom yakogo vin ye Racionalni chisla Q z operaciyeyu dodavannya utvoryuyut in yektivnu abelevu grupu tobto Z modul Faktor grupa Q Z tezh ye in yektivnim Z modulem Faktor grupa Z nZ dlya n gt 1 ye in yektivnoyu yak Z nZ modul ale ne in yektivnoyu yak abeleva grupa lya bud yakoyi oblasti cilisnosti R z polem chastok K R modul K i in yektivnim R modulem do togo zh najmenshim in yektivnim R modulem sho mistit R Dlya kilec Dedekinda faktor modul K R tezh ye in yektivnim i jogo nezvidni pryami dodanki ye lokalizaciyami Rp R displaystyle R mathfrak p R dlya nenulovih prostih idealiv p displaystyle mathfrak p Nulovij ideal tezh ye prostim i vidpovidaye in yektivnomu modulyu K Tobto isnuye biyekciya mizh prostimi idealami i nezvidnimi in yektivnimi modulyami nad kilcem Dedekinda VlastivostiKozhen R modul M mozhna vklasti v in yektivnij modul Bilsh togo kozhen modul M mistitsya v svoyij in yektivnij obolonci Q M tobto v in yektivnomu moduli Q M kozhen nenulovij pidmodul yakogo maye nenulovij peretin z M Bud yake vkladennya modulya M v in yektivnij modul Q prodovzhuyetsya do vkladennya in yektivnoyi obolonki Q M v Q Kozhen R modul M maye in yektivnu rezolventu tobto tochnu poslidovnist 0 M Q0 Q1 Qn displaystyle 0 longrightarrow M longrightarrow Q 0 longrightarrow Q 1 longrightarrow cdots longrightarrow Q n longrightarrow cdots v yakij vsi moduli Qi i 0 displaystyle Q i i geqslant 0 ye in yektivnimi Dovzhina najkorotshoyi in yektivnoyi rezolventi nazivayetsya in yektivnoyu rozmirnistyu modulya Dovzhinoyu tut nazivayetsya chislo n take sho Qn 0 i gt nQi 0 displaystyle Q n not 0 forall i gt n Q i not 0 Yaksho takogo chisla ne isnuye in yektivna rozmirnist vvazhayetsya neskinchennoyu In yektivna rozmirnist in yektivnih moduliv i tilki yih rivna nulyu Pryamij dobutok in yektivnih moduliv ye in yektivnim modulem Navpaki yaksho pryamij dobutok moduliv ye in yektivnim modulem to j kozhen mnozhnik tezh ye in yektivnim modulem In yektivnij modul Q dorivnyuye rQ dlya bud yakogo elementa r R displaystyle r in R sho ne ye pravim dilnikom nulya v R tobto in yektivnij modul ye podilnim modulem Zokrema abeleva grupa ye in yektivnim modulem nad kilcem Z displaystyle mathbb Z todi i tilki todi koli vona podilna Nad komutativnim neterovim kilcem R kozhen in yektivnij modul ye pryamoyu sumoyu in yektivnih obolonok moduliv vidu R p displaystyle R mathfrak p de p displaystyle mathfrak p prostij ideal kilcya R Vsi livi i pravi moduli nad kilcem R ye in yektivnimi todi i tilki todi koli kilce ye napivprostim Kilce R ye neterovim zliva sprava todi i tilki todi koli pryama suma dovilnoyi mnozhini in yektivnih livih pravih R moduliv ye in yektivnim livim pravim R modulem Inshoyu ekvivalentnoyu umovoyu ye te sho dovilnij livij pravij R modul rozkladayetsya na pryamu sumu nezvidnih livih pravih R moduliv Kilce R ye artinovim zliva sprava todi i tilki todi kozhen in yektivnij modul ye pryamoyu sumoyu in yektivnih obolonok prostih moduliv V comu vipadku isnuye biyekciya mizh prostimi idealami kilcya i nezvidnimi in yektivnimi modulyami Kozhen prostij ideal v comu vipadku ye anigilyatorom deyakogo odnoznachno viznachenogo prostogo modulya i vidpovidnij nezvidnij in yektivnij modul ye jogo in yektivnoyu obolonkoyu Dlya kilcya vsi pidmoduli usih in yektivnih moduliv ye tezh in yektivnimi todi i tilki todi koli kilce ye artinovim napivprostim Kilce ye spadkovim tobto kozhen ideal ye proektivnim modulem yaksho i tilki yaksho dlya kozhnogo in yektivnogo modulya nad nim vsi faktor moduli tezh ye in yektivnimi Inshoyu ekvivalentnoyu umovoyu ye te sho suma dvoh in yektivnih pidmoduliv u dovilnomu moduli tezh bude in yektivnim modulem Yaksho kilce R ye spadkovim zliva sprava i neterovim zliva sprava to kozhen R modul mistit najbilshij in yektivnij pidmodul Proektivnist in yektivnist vsih in yektivnih proektivnih R moduliv ekvivalentna tomu sho R ye kvazifrobeniusovim kilcem Dlya dovilnogo R modulya mozhna viznachiti modul M Hom Z M Q Z displaystyle M text Hom mathbb Z M mathbb Q mathbb Z Todi modul M ye ploskim todi i tilki todi koli M ye in yektivnim Dlya neterovih kilec takozh navpaki modul M ye in yektivnim todi i tilki todi koli M ye ploskim Div takozhIn yektivnij ob yekt Proektivnij modulLiteraturaKartan A Ejlenberg S Gomologicheskaya algebra per s angl M 1960 Maklejn S Gomologiya per s angl M 1966 Faith S Lectures on infective modules and quotient rings B Hdlb N Y 1967 Lam Tsit Yuen 1999 Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 98428 5 MR 1653294 Sharpe D W Vamos P Injective modules Cambridge 1972