Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

В скінченній геометрії площина Фано від імені італійського математика Джино Фано це скінченна проєктивна площина 2 го по

Площина Фано

Площина Фано

В скінченній геометрії, площина Фано (від імені італійського математика Джино Фано) — це скінченна проєктивна площина 2-го порядку, яка має найменшу можливу кількість точок та прямих — всього 7 точок і 7 прямих: кожна пряма проходить через три точки і через кожну точку проходить три прямі. Стандартне позначення для цієї площини, як для представника проєктивного простору, є PG(2,2), де скорочення PG означає англ. Projective Geometry, перший параметр — геометрична розмірність, другий — порядок.

image
Площина Фано
image
Дуальність площини Фано: Кожна точка відповідає прямій та навпаки.

Однорідні координати

Площину Фано можна побудувати методами лінійної алгебри, як проєктивну площину над скінченним полем з двома елементами. Можна так само побудувати проєктивні площини над будь-яким іншим скінченним полем, але площина Фано буде найменшою.

Використовуючи стандартну побудову проєктивних просторів за допомогою однорідних координат, сім точок площини Фано можна помітити сімома ненульовими трійками двійкових цифр 001, 010, 011, 100, 101, 110 і 111. Для будь-якої пари точок p і q третя точка на прямій pq має мітку, що виходить з міток p і q додаванням по модулю 2. Іншими словами, точки площини Фано відповідають ненульовим точкам скінченного векторного простору розмірності 3 над скінченним полем 2-го порядку.

Згідно з цією побудовою площина Фано вважається дезарговою, хоча площина занадто мала, щоб містити невироджену конфігурацію Дезарга (яка має 10 точок і 10 прямих).

Прямим площини Фано можна також приписати однорідні координати, знову використовуючи ненульові трійки двійкових цифр. У цій системі точка інцидентна прямій, якщо координати точки і координати прямої мають парне число позицій, в яких обидві координати є ненульовими бітами. Наприклад, точка 101 належить прямій 111, оскільки і пряма, і точка мають ненульові біти в двох однакових позиціях. В термінах лінійної алгебри, точка належить прямій, якщо внутрішній добуток векторів, що представляють точку і пряму, дорівнює нулю.

Прямі можна розділити на три типи:

  • На три прямі, у яких двійкові коди для точок мають 0 у фіксованій позиції. Так, на прямій 100 (що містить точки 001, 010 і 011) всі точки мають 0 в першій позиції. Прямі 010 і 001 мають ту ж властивість.
  • На три прямі, у яких двійковий код точки має одне і те саме значення в двох фіксованих позиціях. Так, на прямій 110 (що містить точки 001, 110 і 111) значення першої і другої позицій (координат) точок завжди одинакові. Прямі 101 і 011 мають аналогічну властивість.
  • На прямій, що залишилася, 111 (що містить точки 011, 101 і 110) кожен код має в точності два ненульових біта.

Симетрії

image
Колінеації площини Фано відповідають перестановкам 3-бітного кода Грея

Перестановки семи точок площини Фано, які зберігають інцидентність точок (прямої), тобто коли точка, що лежить на прямій, виявляється на тій самій прямій, називається «колінеацією», «автоморфізмом» або «симетрією» площини. Повною групою колінеації (чи групою автоморфізмів, або групою симетрії) є проєктивна лінійна група PGL(3,2), яка в даному випадку ізоморфна проєктивній спеціальній лінійній групі PSL(2,7) = PSL(3,2) і загальній лінійній групі GL(3,2) (яка дорівнює PGL(3,2), оскільки поле має тільки один ненульовий елемент). Група складається зі 168 різних перестановок.

Група автоморфізмів складається з 6 класів спряженості.
Усі [en], за винятком циклу довжиною 7, однозначно визначають клас спряженості:

  • image Тотожна перестановка
  • image 21 перестановка двох 2-циклів
  • image 42 перестановки 4-циклів і 2-циклів
  • image 56 перестановок 3-циклів

48 перестановок з повним циклом довжини 7 утворюють два класи спряженності по 24 елементи в кожному:

  • image A переходить в B, B в C, C в D. В цьому випадку D лежить на одній прямій з A і B.
  • image A переходить в B, B в C, C в D. В цьому випадку D лежить на одній прямій з A і C.

Внаслідок теореми Редфілда — Поя число нееквівалентних розмальовок площини Фано в n кольорів дорівнює:

image

Конфігурації

Докладніше: Конфігурація (геометрія)

Площина Фано містить такі різні конфігурації точок та прямих. Для кожного виду конфігурації число копій конфігурації, помножене на число симетрій площини, за якою конфігурація зберігається, дорівнює 168, розміру усієї групи симетрій.

  • Існує 7 точок і 24 симетрії, що зберігають ці точки.
  • Існує 7 прямих і 24 симетрії, що зберігають ці прямі.
  • Існує 7 варіантів вибору чотирикутника з чотирьох (невпорядкованих) точок, ніякі три з яких не лежать на одній прямій і 24 симетрії, які зберігають такий чотирикутник. Ці чотири точки утворюють доповнення прямої, яка є діагоналлю чотирикутника.
  • Існує 21 невпорядкована пара точок, кожна з яких може бути переведена симетрією в будь-яку іншу невпорядковану пару. Для кожної невпорядкованої пари існує 8 симетрій, що зберігають її.
  • Існує 21 прапор, що складається з прямої та точки на ній. Кожен прапор відповідає невпорядкованій парі інших точок, що лежать на тій самій прямій. Для кожного прапора існує 8 різних симетрій, що зберігають його.
  • Існує 28 трикутників, які взаємно однозначно відповідають 28 [en] . Для кожного трикутника існує шість симетрій, що зберігають його, по одному для кожної перестановки точок усередині трикутника.
  • Існує 28 способів вибору точки та прямої, не інцидентних одна одній (антипрапор) і шість способів перестановки площини Фано, що зберігають антипрапор. Для будь-якої пари неінцидентних точки та прямої (p,l) три точки, не рівні p й такі, що не належать l, утворюють трикутник, і для будь-якого трикутника існує єдиний спосіб згрупувати чотири точки, що залишилися, в антипрапор.
  • Існує 28 способів побудови шестикутника, у якому ніякі три послідовні вершини не лежать на одній прямій, і шість симетрій, що зберігають будь-який такий шестикутник.
  • Існує 42 впорядкованих пари точок і знову, кожна може бути переведена симетрією в будь-яку іншу впорядковану пару. Для впорядкованих пар існує 4 симетрії, які зберігають її.
  • Існує 42 способи вибору чотирикутника з чотирьох циклічно впорядкованих точок, ніякі три з яких не лежать на одній прямі, і чотири симетрії, що зберігають будь-який такий впорядкований чотирикутник. Для будь-якої неорієнтованої четвірки є два циклічні порядки.
  • Існує 84 способи вибору трикутника з точкою на цьому трикутнику та для кожного вибору існує дві симетрії, що зберігають цей вибір.
  • Існує 84 способи вибору п'ятикутника, за якого ніякі три послідовні вершини не лежать на одній прямій, і дві симетрії, що зберігають будь-який п'ятикутник.
  • Існує 168 різних способів вибору трикутника зі впорядкуванням його трьох вершин і лише одна тотожна симетрія, що зберігає цю конфігурацію.

Теоретико-групові побудови

7 точок площини відповідають 7 неодиничним елементам групи (Z2)3 = Z2 × Z2 × Z2. Прямі площини відповідають підгрупам 4-го порядку, ізоморфним Z2 × Z2. Група автоморфізмів [en] групи (Z2)3 є групою ізоморфізмів площини Фано та має порядок 168.

Блок-схеми

Докладніше: Блок-схема (математика)

Площина Фано є малою симетричною блок-схемою, а саме, схемою 2-(7,3,1). Точки схеми є точками площини, а блоки схеми є прямими площини. Таким чином, площина Фано є важливим прикладом теорії блок-схем.

Теорія матроїдів

Докладніше: Матроїд

Площина Фано є одним з важливих прикладів в теорії матроїдів. Виключення площини Фано як [en] необхідне для опису деяких важливих класів матроїдів, таких як [en], [en] та кографовий матроїди.

Якщо розбити одну пряму на три двоточкові прямі, отримаємо «нефанову конфігурацію», яку можна вкласти в дійсну площину. Це інший важливий приклад із теорії матроїдів, який слід виключити, щоби виконувалася велика кількість теорем.

Система Штейнера

Докладніше: Система Штейнера

Площина Фано, як блок-схема, є системою трійок Штейнера. А в такому разі, їй можна надати структуру квазігрупи. Ця квазігрупа збігається з мультиплікативною структурою, визначеною одиницями октоніонів e1, e2, …, e7 (без 1) якщо знаки добутку октоніонів ігнорувати.

Тривимірний простір Фано

image
PG(3,2), але не всі прямі намальовані

Площину Фано можна розширити на тривимірний випадок, щоб утворити найменший тривимірний проєктивний простір, а позначається він — PG(3,2). Простір має 15 точок, 35 прямих і 15 площин.

  • Кожна площина містить 7 точок і 7 прямих.
  • Кожна пряма містить 3 точки та міститься у 3-х площинах.
  • Площини ізоморфні площині Фано.
  • Кожна точка належить 7 прямим та 7 лініям.
  • Кожна пара різних точок належить рівно одній прямій.
  • Будь-яка пара різних площин перетинається по одній прямій.
  • Пряма та площина, що не містить лінію, перетинаються рівно в одній точці.

Див. також

Примітки

  1. Насправді це група PΓL(3,2), але скінченне поле 2-го порядку не має тотожного автоморфізму, тому група перетворюється на PGL(3,2).
  2. Manivel, 2006, с. 457–486.
  3. Baez, 2002, с. 145–205.

Література

  • John Baez. The Octonions. — Bull. Amer. Math. Soc. — 2002. — Т. 39. — DOI:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. (Online HTML version [ 9 жовтня 2008 у Wayback Machine.])
  • J. H. van Lint, R. M. Wilson. A Course in Combinatorics. — Cambridge University Press, 1992. — С. 197.
  • L. Manivel. Configurations of lines and models of Lie algebras // Journal of Algebra. — 2006. — Т. 304, вип. 1. — ISSN 0021-8693. — DOI:10.1016/j.jalgebra.2006.04.029.
  • Burkard Polster (1998) A Geometrical Picture Book, Chapter 1: «Introduction via the Fano Plane», also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer .

Посилання

  • Weisstein, Eric W. Fano Plane(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Finite plane and Fano plane [ 1 березня 2017 у Wayback Machine.] на PlanetMath
  • (2002), , Bull. Amer. Math. Soc., 39 (2): 145—205, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, архів оригіналу за 9 грудня 2008, процитовано 20 лютого 2017 (Online HTML version [ 9 жовтня 2008 у Wayback Machine.])
  • van Lint, J. H.; Wilson, R. M. (1992), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, с. 197
  • Manivel, L. (2006), Configurations of lines and models of Lie algebras, Journal of Algebra, 304 (1): 457—486, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.04.029, ISSN 0021-8693
  • Burkard Polster (1998) A Geometrical Picture Book, Chapter 1: «Introduction via the Fano Plane», also pp 21, 23, 27, 29, 71, 73, 77, 112, 115, 116, 132, 174, Springer .

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

V skinchennij geometriyi ploshina Fano vid imeni italijskogo matematika Dzhino Fano ce skinchenna proyektivna ploshina 2 go poryadku yaka maye najmenshu mozhlivu kilkist tochok ta pryamih vsogo 7 tochok i 7 pryamih kozhna pryama prohodit cherez tri tochki i cherez kozhnu tochku prohodit tri pryami Standartne poznachennya dlya ciyeyi ploshini yak dlya predstavnika proyektivnogo prostoru ye PG 2 2 de skorochennya PG oznachaye angl Projective Geometry pershij parametr geometrichna rozmirnist drugij poryadok Ploshina Fano Dualnist ploshini Fano Kozhna tochka vidpovidaye pryamij ta navpaki Odnoridni koordinatiPloshinu Fano mozhna pobuduvati metodami linijnoyi algebri yak proyektivnu ploshinu nad skinchennim polem z dvoma elementami Mozhna tak samo pobuduvati proyektivni ploshini nad bud yakim inshim skinchennim polem ale ploshina Fano bude najmenshoyu Vikoristovuyuchi standartnu pobudovu proyektivnih prostoriv za dopomogoyu odnoridnih koordinat sim tochok ploshini Fano mozhna pomititi simoma nenulovimi trijkami dvijkovih cifr 001 010 011 100 101 110 i 111 Dlya bud yakoyi pari tochok p i q tretya tochka na pryamij pq maye mitku sho vihodit z mitok p i q dodavannyam po modulyu 2 Inshimi slovami tochki ploshini Fano vidpovidayut nenulovim tochkam skinchennogo vektornogo prostoru rozmirnosti 3 nad skinchennim polem 2 go poryadku Zgidno z ciyeyu pobudovoyu ploshina Fano vvazhayetsya dezargovoyu hocha ploshina zanadto mala shob mistiti nevirodzhenu konfiguraciyu Dezarga yaka maye 10 tochok i 10 pryamih Pryamim ploshini Fano mozhna takozh pripisati odnoridni koordinati znovu vikoristovuyuchi nenulovi trijki dvijkovih cifr U cij sistemi tochka incidentna pryamij yaksho koordinati tochki i koordinati pryamoyi mayut parne chislo pozicij v yakih obidvi koordinati ye nenulovimi bitami Napriklad tochka 101 nalezhit pryamij 111 oskilki i pryama i tochka mayut nenulovi biti v dvoh odnakovih poziciyah V terminah linijnoyi algebri tochka nalezhit pryamij yaksho vnutrishnij dobutok vektoriv sho predstavlyayut tochku i pryamu dorivnyuye nulyu Pryami mozhna rozdiliti na tri tipi Na tri pryami u yakih dvijkovi kodi dlya tochok mayut 0 u fiksovanij poziciyi Tak na pryamij 100 sho mistit tochki 001 010 i 011 vsi tochki mayut 0 v pershij poziciyi Pryami 010 i 001 mayut tu zh vlastivist Na tri pryami u yakih dvijkovij kod tochki maye odne i te same znachennya v dvoh fiksovanih poziciyah Tak na pryamij 110 sho mistit tochki 001 110 i 111 znachennya pershoyi i drugoyi pozicij koordinat tochok zavzhdi odinakovi Pryami 101 i 011 mayut analogichnu vlastivist Na pryamij sho zalishilasya 111 sho mistit tochki 011 101 i 110 kozhen kod maye v tochnosti dva nenulovih bita SimetriyiKolineaciyi ploshini Fano vidpovidayut perestanovkam 3 bitnogo koda Greya Perestanovki semi tochok ploshini Fano yaki zberigayut incidentnist tochok pryamoyi tobto koli tochka sho lezhit na pryamij viyavlyayetsya na tij samij pryamij nazivayetsya kolineaciyeyu avtomorfizmom abo simetriyeyu ploshini Povnoyu grupoyu kolineaciyi chi grupoyu avtomorfizmiv abo grupoyu simetriyi ye proyektivna linijna grupa PGL 3 2 yaka v danomu vipadku izomorfna proyektivnij specialnij linijnij grupi PSL 2 7 PSL 3 2 i zagalnij linijnij grupi GL 3 2 yaka dorivnyuye PGL 3 2 oskilki pole maye tilki odin nenulovij element Grupa skladayetsya zi 168 riznih perestanovok Grupa avtomorfizmiv skladayetsya z 6 klasiv spryazhenosti Usi en za vinyatkom ciklu dovzhinoyu 7 odnoznachno viznachayut klas spryazhenosti Totozhna perestanovka 21 perestanovka dvoh 2 cikliv 42 perestanovki 4 cikliv i 2 cikliv 56 perestanovok 3 cikliv 48 perestanovok z povnim ciklom dovzhini 7 utvoryuyut dva klasi spryazhennosti po 24 elementi v kozhnomu A perehodit v B B v C C v D V comu vipadku D lezhit na odnij pryamij z A i B A perehodit v B B v C C v D V comu vipadku D lezhit na odnij pryamij z A i C Vnaslidok teoremi Redfilda Poya chislo neekvivalentnih rozmalovok ploshini Fano v n koloriv dorivnyuye 1 168 n 7 21 n 5 98 n 3 48 n displaystyle 1 over 168 left n 7 21n 5 98n 3 48n right KonfiguraciyiDokladnishe Konfiguraciya geometriya Ploshina Fano mistit taki rizni konfiguraciyi tochok ta pryamih Dlya kozhnogo vidu konfiguraciyi chislo kopij konfiguraciyi pomnozhene na chislo simetrij ploshini za yakoyu konfiguraciya zberigayetsya dorivnyuye 168 rozmiru usiyeyi grupi simetrij Isnuye 7 tochok i 24 simetriyi sho zberigayut ci tochki Isnuye 7 pryamih i 24 simetriyi sho zberigayut ci pryami Isnuye 7 variantiv viboru chotirikutnika z chotiroh nevporyadkovanih tochok niyaki tri z yakih ne lezhat na odnij pryamij i 24 simetriyi yaki zberigayut takij chotirikutnik Ci chotiri tochki utvoryuyut dopovnennya pryamoyi yaka ye diagonallyu chotirikutnika Isnuye 21 nevporyadkovana para tochok kozhna z yakih mozhe buti perevedena simetriyeyu v bud yaku inshu nevporyadkovanu paru Dlya kozhnoyi nevporyadkovanoyi pari isnuye 8 simetrij sho zberigayut yiyi Isnuye 21 prapor sho skladayetsya z pryamoyi ta tochki na nij Kozhen prapor vidpovidaye nevporyadkovanij pari inshih tochok sho lezhat na tij samij pryamij Dlya kozhnogo prapora isnuye 8 riznih simetrij sho zberigayut jogo Isnuye 28 trikutnikiv yaki vzayemno odnoznachno vidpovidayut 28 en Dlya kozhnogo trikutnika isnuye shist simetrij sho zberigayut jogo po odnomu dlya kozhnoyi perestanovki tochok useredini trikutnika Isnuye 28 sposobiv viboru tochki ta pryamoyi ne incidentnih odna odnij antiprapor i shist sposobiv perestanovki ploshini Fano sho zberigayut antiprapor Dlya bud yakoyi pari neincidentnih tochki ta pryamoyi p l tri tochki ne rivni p j taki sho ne nalezhat l utvoryuyut trikutnik i dlya bud yakogo trikutnika isnuye yedinij sposib zgrupuvati chotiri tochki sho zalishilisya v antiprapor Isnuye 28 sposobiv pobudovi shestikutnika u yakomu niyaki tri poslidovni vershini ne lezhat na odnij pryamij i shist simetrij sho zberigayut bud yakij takij shestikutnik Isnuye 42 vporyadkovanih pari tochok i znovu kozhna mozhe buti perevedena simetriyeyu v bud yaku inshu vporyadkovanu paru Dlya vporyadkovanih par isnuye 4 simetriyi yaki zberigayut yiyi Isnuye 42 sposobi viboru chotirikutnika z chotiroh ciklichno vporyadkovanih tochok niyaki tri z yakih ne lezhat na odnij pryami i chotiri simetriyi sho zberigayut bud yakij takij vporyadkovanij chotirikutnik Dlya bud yakoyi neoriyentovanoyi chetvirki ye dva ciklichni poryadki Isnuye 84 sposobi viboru trikutnika z tochkoyu na comu trikutniku ta dlya kozhnogo viboru isnuye dvi simetriyi sho zberigayut cej vibir Isnuye 84 sposobi viboru p yatikutnika za yakogo niyaki tri poslidovni vershini ne lezhat na odnij pryamij i dvi simetriyi sho zberigayut bud yakij p yatikutnik Isnuye 168 riznih sposobiv viboru trikutnika zi vporyadkuvannyam jogo troh vershin i lishe odna totozhna simetriya sho zberigaye cyu konfiguraciyu Teoretiko grupovi pobudovi7 tochok ploshini vidpovidayut 7 neodinichnim elementam grupi Z2 3 Z2 Z2 Z2 Pryami ploshini vidpovidayut pidgrupam 4 go poryadku izomorfnim Z2 Z2 Grupa avtomorfizmiv en grupi Z2 3 ye grupoyu izomorfizmiv ploshini Fano ta maye poryadok 168 Blok shemiDokladnishe Blok shema matematika Ploshina Fano ye maloyu simetrichnoyu blok shemoyu a same shemoyu 2 7 3 1 Tochki shemi ye tochkami ploshini a bloki shemi ye pryamimi ploshini Takim chinom ploshina Fano ye vazhlivim prikladom teoriyi blok shem Teoriya matroyidivDokladnishe Matroyid Ploshina Fano ye odnim z vazhlivih prikladiv v teoriyi matroyidiv Viklyuchennya ploshini Fano yak en neobhidne dlya opisu deyakih vazhlivih klasiv matroyidiv takih yak en en ta kografovij matroyidi Yaksho rozbiti odnu pryamu na tri dvotochkovi pryami otrimayemo nefanovu konfiguraciyu yaku mozhna vklasti v dijsnu ploshinu Ce inshij vazhlivij priklad iz teoriyi matroyidiv yakij slid viklyuchiti shobi vikonuvalasya velika kilkist teorem Sistema ShtejneraDokladnishe Sistema Shtejnera Ploshina Fano yak blok shema ye sistemoyu trijok Shtejnera A v takomu razi yij mozhna nadati strukturu kvazigrupi Cya kvazigrupa zbigayetsya z multiplikativnoyu strukturoyu viznachenoyu odinicyami oktonioniv e1 e2 e7 bez 1 yaksho znaki dobutku oktonioniv ignoruvati Trivimirnij prostir FanoPG 3 2 ale ne vsi pryami namalovani Ploshinu Fano mozhna rozshiriti na trivimirnij vipadok shob utvoriti najmenshij trivimirnij proyektivnij prostir a poznachayetsya vin PG 3 2 Prostir maye 15 tochok 35 pryamih i 15 ploshin Kozhna ploshina mistit 7 tochok i 7 pryamih Kozhna pryama mistit 3 tochki ta mistitsya u 3 h ploshinah Ploshini izomorfni ploshini Fano Kozhna tochka nalezhit 7 pryamim ta 7 liniyam Kozhna para riznih tochok nalezhit rivno odnij pryamij Bud yaka para riznih ploshin peretinayetsya po odnij pryamij Pryama ta ploshina sho ne mistit liniyu peretinayutsya rivno v odnij tochci Div takozhSlovnik terminiv teoriyi grafiv Proyektivna geometriya Konfiguraciya Konfiguraciya Silvestra Gallayi Transilvanska lotereyaPrimitkiNaspravdi ce grupa PGL 3 2 ale skinchenne pole 2 go poryadku ne maye totozhnogo avtomorfizmu tomu grupa peretvoryuyetsya na PGL 3 2 Manivel 2006 s 457 486 Baez 2002 s 145 205 LiteraturaJohn Baez The Octonions Bull Amer Math Soc 2002 T 39 DOI 10 1090 S0273 0979 01 00934 X Online HTML version 9 zhovtnya 2008 u Wayback Machine J H van Lint R M Wilson A Course in Combinatorics Cambridge University Press 1992 S 197 L Manivel Configurations of lines and models of Lie algebras Journal of Algebra 2006 T 304 vip 1 ISSN 0021 8693 DOI 10 1016 j jalgebra 2006 04 029 Burkard Polster 1998 A Geometrical Picture Book Chapter 1 Introduction via the Fano Plane also pp 21 23 27 29 71 73 77 112 115 116 132 174 Springer ISBN 0 387 98437 2 PosilannyaWeisstein Eric W Fano Plane angl na sajti Wolfram MathWorld Finite plane and Fano plane 1 bereznya 2017 u Wayback Machine na PlanetMath 2002 Bull Amer Math Soc 39 2 145 205 doi 10 1090 S0273 0979 01 00934 X arhiv originalu za 9 grudnya 2008 procitovano 20 lyutogo 2017 Online HTML version 9 zhovtnya 2008 u Wayback Machine van Lint J H Wilson R M 1992 A Course in Combinatorics Cambridge University Press s 197 Manivel L 2006 Configurations of lines and models of Lie algebras Journal of Algebra 304 1 457 486 doi 10 1016 j jalgebra 2006 04 029 ISSN 0021 8693 Burkard Polster 1998 A Geometrical Picture Book Chapter 1 Introduction via the Fano Plane also pp 21 23 27 29 71 73 77 112 115 116 132 174 Springer ISBN 0 387 98437 2

Дата публікації:
Топ