Октоніони

Октоніо́н, окта́ва (число Келі) — гіперкомплексне число розмірності вісім. Октоніони були вивчені 1843 року ірландським математиком і, незалежно, через два роки Артуром Келі. На честь останнього октоніони доволі часто називають числами Келі.

Можуть бути отримані з кватерніонів за допомогою процедури подвоєння Келі-Діксона.

Кожен октоніон x може бути записаним у формі лінійної комбінації базових елементів ${\displaystyle \ \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$ із дійсними коефіцієнтами:

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl.}$

Таблиця множення базових елементів :

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Алгебра октоніонів (алгебра Келі) є 8-вимірною неасоціативною, некомутативною алгеброю над полем дійсних чисел. Алгебру Келі зазвичай позначають ${\displaystyle \mathbb {O} }$ (аналогічно системі раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, системі дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, системі комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ та системі кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} }$) Кожна з цих алгебр є розширенням попередньої:

${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} .}$

За теоремою Фробеніуса, алгебра Келі є єдиною 8-вимірною дійсною альтернативною алгеброю без дільників нуля.

Деякі визначення та властивості

Спряженим до октіона ${\displaystyle \ x}$ є октіон

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

Виконується рівність ${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$.

Норма октоніона ${\displaystyle x}$ за визначенням дорівнює:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}.}$

Квадратний корінь існує, оскільки ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$ завжди є невід'ємним дійсним числом:

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}$

З існування норми на ${\displaystyle \mathbb {O} }$ випливає існування оберненого елемента для всіх ненульових октоніонів.

Оберненим до ${\displaystyle \ x\neq 0}$ є:

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.}$

Виконуються рівності: ${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

Література

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)