В математиці, і зокрема в теорії груп, цикл — перестановка елементів деякої множини X, яка відображає елементи деякої підмножини S в X один в інший циклічним чином, тоді як інші елементи X залишаються фіксованими. Наприклад, перестановка {1, 2, 3, 4}, що переставляє 1 в 3, 2 в 4, 3 в 2 і 4 в 1 є циклом, тоді як перестановка 1 в 3, 2 в 4, 3 в 1 і 4 в 2 ні (це окремі пари {1, 3} і {2, 4}). Множина S називається орбітою циклу.
Визначення
Перестановка множини X, яка бієктивною функцією , називається циклом, якщо дія на X підгрупи утвореної
має саме одну орбіту з більш як одним елементом. Це поняття найчастіше вживають коли X скінченна множина; тоді й орбіта S скінченна. Нехай
довільний елемент з S, і покладемо
для будь-якого
. З того, що по припущенню S містить більше ніж один елемент,
; якщо S скінченна, існує мінімальне число
для якого
. Тоді
, і
є переставка визначена
і для будь-якого елементу з
. Елементи не зафіксовані
можна зобразити як
.
Цикл можна записати за допомогою циклічного запису (коми тут не вживаються з метою уникнення плутанини з k-кортежем). Довжина циклу — це кількість елементів його орбіти. Цикл довжини k також звуть k-цикл.
Основні властивості
Один з головних вислідів у симетричних групах стверджує, що будь-яку перестановку можна виразити як добуток неперетинних циклів (точніше: циклів з неперетинними орбітами); такі цикли комутують між собою, і вираз перестановки унікальний з точністю до порядку циклів (але зверніть увагу, що циклічний запис не унікальний: кожен k-цикл сам по собі може бути представлений k різними способами, в залежності від вибору в його орбіті). Отже мультимножина довжин циклів в цьому виразі унікально визначає перестановку, парність і клас спряженості перестановки в симетричній групі також визначаються цим.
Кількість k-циклів у симетричній групі Sn для дається такими тотожними формулами
k-цикл має парність (−1)k − 1.
Транспозиції
Цикл з лише двома елементами називається транспозицією. Наприклад перестановка {1, 4, 3, 2}, яка переводить 1 в 1, 2 в 4, 3 в 3 і 4 в 2 — це транспозиція (а саме така, що міняє місцями 2 і 4).
Джерела
- В.А. Вишенський, М.О. Перестюк. Комбінаторика: перші кроки. — Кам'янець-Подільський : Аксіома, 2010. — 324 с. — .(укр.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici i zokrema v teoriyi grup cikl perestanovka elementiv deyakoyi mnozhini X yaka vidobrazhaye elementi deyakoyi pidmnozhini S v X odin v inshij ciklichnim chinom todi yak inshi elementi X zalishayutsya fiksovanimi Napriklad perestanovka 1 2 3 4 sho perestavlyaye 1 v 3 2 v 4 3 v 2 i 4 v 1 ye ciklom todi yak perestanovka 1 v 3 2 v 4 3 v 1 i 4 v 2 ni ce okremi pari 1 3 i 2 4 Mnozhina S nazivayetsya orbitoyu ciklu ViznachennyaPerestanovka mnozhini X yaka biyektivnoyu funkciyeyu s X X displaystyle sigma X to X nazivayetsya ciklom yaksho diya na X pidgrupi utvorenoyi s displaystyle sigma maye same odnu orbitu z bilsh yak odnim elementom Ce ponyattya najchastishe vzhivayut koli X skinchenna mnozhina todi j orbita S skinchenna Nehaj s 0 displaystyle s 0 dovilnij element z S i poklademo s i s i s displaystyle s i sigma i s dlya bud yakogo i Z displaystyle i in mathbf Z Z togo sho po pripushennyu S mistit bilshe nizh odin element s 1 s 0 displaystyle s 1 neq s 0 yaksho S skinchenna isnuye minimalne chislo k gt 1 displaystyle k gt 1 dlya yakogo s k s 0 displaystyle s k s 0 Todi S s 0 s 1 s k 1 displaystyle S s 0 s 1 ldots s k 1 i s displaystyle sigma ye perestavka viznachena s s i s i 1 for 0 i lt k displaystyle sigma s i s i 1 quad mbox for 0 leq i lt k i s x x displaystyle sigma x x dlya bud yakogo elementu z X S displaystyle X setminus S Elementi ne zafiksovani s displaystyle sigma mozhna zobraziti yak s 0 s 1 s 2 s k 1 s k s 0 displaystyle s 0 mapsto s 1 mapsto s 2 mapsto cdots mapsto s k 1 mapsto s k s 0 Cikl mozhna zapisati za dopomogoyu ciklichnogo zapisu s s 0 s 1 s k 1 displaystyle sigma s 0 s 1 dots s k 1 komi tut ne vzhivayutsya z metoyu uniknennya plutanini z k kortezhem Dovzhina ciklu ce kilkist elementiv jogo orbiti Cikl dovzhini k takozh zvut k cikl Osnovni vlastivostiOdin z golovnih vislidiv u simetrichnih grupah stverdzhuye sho bud yaku perestanovku mozhna viraziti yak dobutok neperetinnih cikliv tochnishe cikliv z neperetinnimi orbitami taki cikli komutuyut mizh soboyu i viraz perestanovki unikalnij z tochnistyu do poryadku cikliv ale zvernit uvagu sho ciklichnij zapis ne unikalnij kozhen k cikl sam po sobi mozhe buti predstavlenij k riznimi sposobami v zalezhnosti vid viboru s 0 displaystyle s 0 v jogo orbiti Otzhe multimnozhina dovzhin cikliv v comu virazi unikalno viznachaye perestanovku parnist i klas spryazhenosti perestanovki v simetrichnij grupi takozh viznachayutsya cim Kilkist k cikliv u simetrichnij grupi Sn dlya 2 k n displaystyle 2 leq k leq n dayetsya takimi totozhnimi formulami n k k 1 n n 1 n k 1 k n n k k displaystyle binom n k k 1 frac n n 1 cdots n k 1 k frac n n k k k cikl maye parnist 1 k 1 TranspoziciyiCikl z lishe dvoma elementami nazivayetsya transpoziciyeyu Napriklad perestanovka 1 4 3 2 yaka perevodit 1 v 1 2 v 4 3 v 3 i 4 v 2 ce transpoziciya a same taka sho minyaye miscyami 2 i 4 DzherelaV A Vishenskij M O Perestyuk Kombinatorika pershi kroki Kam yanec Podilskij Aksioma 2010 324 s ISBN 978 966 496 136 0 ukr Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi