Правильний багатокутник

Правильний багатокутник
Правильний дванадцятикутник (приклад)
Тип	Багатокутник
Властивості	Опуклий, рівносторонній, ізогональний (вершинно-транзитивний), ізотоксальний (реберно-транзитивний), конциклічний (вписаний в коло)
Елементи	n ребер n вершин
Позначення
Символ Шлефлі	{n}
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (x n o)
Група симетрії	Dn, порядок 2n (Діедральна група)
Двоїстий	Самодвоїстий

В евклідовій геометрії пра́вильний багатоку́тник (многоку́тник, n-ку́тник, поліго́н) — многокутник, у якого всі кути рівні і всі сторони рівні (мають однакову довжину).

Правильні багатокутники можуть бути опуклими, зірчатими або просторовими.

Якщо n прямує до нескінченності, то правильний багатокутник наближається за формою до кола, якщо зробити сталим значення периметру чи площі, або до апейрогона (пряма лінія), якщо зробити сталою довжину сторони.

Опуклий правильний багатокутник

Всі опуклі правильні багатокутники є простими багатокутниками. Всі правильні n-кутники подібні між собою.

Центром правильного багатокутника називають точку, рівновіддалену від усіх його вершин і всіх його сторін.

Відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, проведеного з центру правильного багатокутника до його сторони, називається апотемою правильного багатокутника. Апотема дорівнює радіусу вписаного в даний багатокутник кола.

Кути

Центральним кутом правильного n-кутника (кут α) називають кут, під яким сторону n-кутника видно з його центру.

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{0}}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{n}}}$ радіан.

Сума центральних кутів: ${\displaystyle \sum \alpha =360^{0}=2\pi }$ рад.

Внутрішній кут правильного n-кутника — кут між сусідніми сторонами:

${\displaystyle \beta ={\frac {180^{0}(n-2)}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {(n-2)\cdot \pi }{n}}}$ радіан.

Сума внутрішніх кутів: ${\displaystyle \sum \beta =180^{0}(n-2)}$.

Зовнівнішній кут — кут, суміжний з внутрішнім кутом. ${\displaystyle \gamma =180^{0}-\beta =\alpha }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {360^{0}}{n}}}$ градусів ${\displaystyle ={\frac {2\pi }{n}}}$ радіан.

Сума зовнішніх кутів багатокутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює 360⁰

Сторона правильного n-кутника
n	через радіус описаного кола R ${\displaystyle a=2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R}$		через радіус вписаного кола r ${\displaystyle a=2\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r}$
3	${\displaystyle {\sqrt {3}}\cdot R}$	≈ 1.7320508∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\cdot r}$	≈ 3.4641016∙r
4	${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot R}$	≈ 1.4142136∙R	${\displaystyle 2\cdot r}$	= 2∙r
5	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot R}$	≈ 1.1755705∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\cdot r}$	≈ 1.4530851∙r
6	${\displaystyle R}$	= 1∙R	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\cdot r}$	≈ 1.1547005∙r
7		≈ 0.8677674∙R		≈ 0.9631492∙r
8	${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\cdot R}$	≈ 0.7653669∙R	${\displaystyle 2({\sqrt {2}}-1)\cdot r}$	≈ 0.8284271∙r
9		≈ 0.6840403∙R		≈ 0.7279405∙r
	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\cdot R}$	≈ 0.6180339∙R	${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{5}}}\cdot r}$	≈ 0.6498393∙r
11		≈ 0.5634651∙R		≈ 0.5872529∙r
	${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\cdot R}$	≈ 0.5176381∙R	${\displaystyle 2(2-{\sqrt {3}})\cdot r}$	≈ 0.5358984∙r

Формули

Нехай  ‒ ${\displaystyle a}$ сторона правильного n-кутника,
R ‒ радіус описаного кола,
r ‒ радіус вписаного кола,
P ‒ периметр,
${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема правильного n-кутника.

Довжина сторони та периметр

Довжина сторони правильного n-кутника дорівнює:

${\displaystyle a=2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R=2\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r=2\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}$

Периметр ‒ сума всіх довжин сторін правильного n-кутника:

${\displaystyle P=n\cdot a=2n\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R=2n\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r=2n\cdot {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}}$

Периметри двох правильних n-кутників відносяться як їх відповідні лінійні елементи (сторони, радіуси вписаних чи описаних кіл).

${\displaystyle {\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {a}{b}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {R_{2}}{R_{2}}}}$

Площа кільця, обмеженого вписаним та описаним колами багатокутника

Вписане та описане коло

Навколо кожного правильного n-кутника можна описати коло, і в кожен правильний n-кутник можна вписати коло. Тобто правильний багатокутник є біцентричним. Центри вписаного і опиваного кіл співпадають і знаходяться в центрі правильного n-кутника.

Радіус вписаного кола правильного n-кутника (дорівнює апофемі правильного n-кутника) ‒ дотичний до всіх його ребер:

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}\mathop {\mathrm {ctg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot R={\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Радіус описаного кола правильного n-кутника ‒ проходить через всі його вершини:

${\displaystyle R={\frac {1}{2\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a=\sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r={\sqrt {r^{2}+{\frac {a^{2}}{4}}}}}$

Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: ${\displaystyle S={\frac {\pi }{4}}\cdot a^{2}}$

Площа

Площу правильного многокутника з числом сторін ${\displaystyle n}$ можна обчислити за формулами:

${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot a^{2}}$ ${\displaystyle S={\frac {n}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\cdot R^{2}}$ ${\displaystyle S=n\cdot \mathop {\mathrm {tg} } \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot r^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {a\cdot n}{2}}{\sqrt {R^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {a\cdot n\cdot r}{2}}={\frac {1}{2}}P\cdot r=p\cdot a_{p}}$ де P , p ‒ периметр та півпериметр правильного n-кутника; ${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема правильного n-кутника; r, R — радіуси вписаного та описаного кіл/ апофема.

Правильний n-кутник можна розбит на n рівних рівнобічних трикутників з вершинами в центрі багатокутника. У кожного із цих трикутників основа дорівнює стороні многокутника, а висота — його апотемі. Застосовуємо формулу площі трикутника: ${\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh,}$

де S — площа, b — основа, h — висота. Отримуємо формулу для обчислення площі правильного многокутника :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}a\cdot a_{p}\cdot n={\frac {1}{2}}P\cdot a_{p}}$

де a — сторона правильного n-кутника, ${\displaystyle a_{p}}$ — апофема, P — периметр.

Площі двох правильних n-кутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних елементів (сторін, радіусів вписаних чи описаних кіл, діагоналей).^{:стор. 203}

${\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}}$

Формули для правильного багатокутника з подвоєним числом сторін

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною A_n , периметром P_n і площею S_n, і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною a_n , периметром p_n і площею s_n. Тоді^{:стор. 87} ,^{:стор. 332}:

Для вписаного (в це ж коло) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін:	Для описаного (навколо цього ж кола) 2n-кутника з подвоєною кількістю сторін:	У коло радіуса R вписано правильний 2n-кутник зі стороною ${\displaystyle a_{2n}}$ і площею ${\displaystyle s_{2n}}$.
Сторона: ${\displaystyle a_{2n}=R\cdot {\sqrt {2-2\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {a_{n}}{2\cdot R}}\right)^{2}}}}}}$ ${\displaystyle a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-R\cdot {\sqrt {4R^{2}-a_{n}^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a_{n}\cdot A_{2n}}{2}}}}$	Сторона: ${\displaystyle A_{2n}={\frac {2R\cdot A_{n}}{2R+{\sqrt {4R^{2}+A_{n}^{2}}}}}={\frac {a_{n}\cdot A_{n}}{a_{n}+A_{n}}}}$	Сторона правильного n-кутника, вписаного в це ж коло: ${\displaystyle a_{n}=a_{2n}\cdot {\sqrt {4-\left({\frac {a_{2n}}{R}}\right)^{2}}}}$
Периметр: ${\displaystyle p_{2n}={\sqrt {p_{n}\cdot P_{2n}}}}$ , ${\displaystyle p_{2n}>p_{n}}$	Периметр: ${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}\cdot P_{n}}{p_{n}+P_{n}}}}$ , ${\displaystyle P_{n}>P_{2n}}$
Площа: ${\displaystyle s_{2n}={\frac {n\cdot R^{2}}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {1-{\sqrt {1-\left({\frac {2s_{n}}{n\cdot R^{2}}}\right)^{2}}}}}}$	Площа: ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2s_{2n}\cdot S_{n}}{s_{2n}+S_{n}}}}$	Площа правильного n-кутника: ${\displaystyle s_{n}=s_{2n}\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {s_{2n}}{n\cdot R^{2}}}\right)^{2}}}}$

Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний n-кутник зі стороною A_n , і в це ж коло вписано правильний n-кутник зі стороною a_n. Тоді:

${\displaystyle a_{n}={\frac {2R\cdot A_{n}}{\sqrt {4R^{2}+A_{n}^{2}}}}}$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2R\cdot a_{n}}{\sqrt {4R^{2}-a_{n}^{2}}}}}$

Діагоналі

Діагоналлю багатокутника називають відрізок, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника. Діагоналі, що виходять з однієї вершини опуклого n–кутника, ділять його на n — 2 трикутники.

Кількість діагоналей правильного n–кутника: ${\displaystyle {\frac {n\cdot (n-3)}{2}}}$

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять із однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять із цієї вершини): ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{n}}}$

При парному n, ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ діагоналей правильного багатокутника, що мають найбільшу довжину, перетинаються в одній точці — в центрі правильного багатокутника;

При непарному n, ${\displaystyle n}$ діагоналей, що мають найбільшу довжину, при перетині, утворюють всередині n–кутника такий же n–кутник меншого розміру.

Довжини діагоналей правильного n–кутника можна обчислити за формулою:

${\displaystyle d_{k}={\frac {\sin \left({\frac {(k+1)\cdot \pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$ , при ${\displaystyle k=1,2,3,...,n-3;(k\in \mathbb {N} )}$

Вивід формули  

Кути n-кутника:

Внутрішній кут: ${\displaystyle \beta ={\frac {(n-2)\cdot \pi }{n}}=\pi -{\frac {2\pi }{n}}}$

Кут ${\displaystyle \delta =\beta -\varphi ={\frac {(n-2)\cdot \pi }{n}}-{\frac {\pi }{n}}=\pi -{\frac {2\pi }{n}}-{\frac {\pi }{n}}=\pi -{\frac {3\pi }{n}}}$

Кут ${\displaystyle \epsilon =\beta -\left(\pi -\delta -\varphi \right)=\pi -{\frac {2\pi }{n}}-\pi +\pi -{\frac {3\pi }{n}}+{\frac {\pi }{n}}=\pi -{\frac {4\pi }{n}}}$ , і т.д.

Діагональ ${\displaystyle d_{1}}$ знаходимо, застосовуючи теорему синусів:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin(\varphi )}}={\frac {d_{1}}{\sin(\beta )}}\Longrightarrow d_{1}={\frac {\sin \left(\pi -{\frac {2\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a={\frac {\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$

Аналогічно, діагональ ${\displaystyle d_{2}}$ :

${\displaystyle {\frac {a}{\sin(\varphi )}}={\frac {d_{2}}{\sin(\delta )}}\Longrightarrow d_{2}={\frac {\sin \left(\pi -{\frac {3\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a={\frac {\sin \left({\frac {3\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$

...

Остання діагональ ${\displaystyle d_{n-3}}$:

${\displaystyle d_{n-3}={\frac {\sin \left(\pi -{\frac {(n-2)\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a={\frac {\sin \left({\frac {(n-2)\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a={\frac {\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$

Узагальнюючи знайдені значення, отримаємо:

${\displaystyle d_{k}={\frac {\sin \left({\frac {(k+1)\cdot \pi }{n}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot a}$ , при ${\displaystyle k=1,2,3,...,n-3}$ ; (k\in\mathbb{N})

Всі діагоналі правильного n-кутника при перетині ділять його на 1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, 444… частин (відповідно для n = 3, 4, 5, …)  A007678.

Кількість точок перетину діагоналей усередині правильного багатокутника: 0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301,… (відповідно для n = 3, 4, 5, …)  A006561.

• Найбільша кількість діагоналей правильного ${\displaystyle n}$-кутника, що перетинаються в одній точці, яка не є його вершиною або центром, дорівнює:
  • 2, якщо n непарне;
  • 3, якщо n парне, але не ділиться на 6;
  • 5, якщо n ділиться на 6, але не ділиться на 30;
  • 7, якщо n ділиться на 30

Для цих значень існує три виключення: ця кількість = 0 в трикутнику, 2 в шестикутнику та 4 в дванадцятикутнику..

Нехай існує наступна функція ${\displaystyle \delta _{m}(n)={\begin{cases}1,&{\text{якщо }}n{\text{ ділиться на}}m\\0,&{\text{якщо }}n{\text{ не ділиться на }}m\end{cases}}}$. Тоді:

• Кількість точок перетину діагоналей правильного n-кутника дорівнює

${\displaystyle {\begin{array}{l}C_{n}^{4}+{\frac {-5n^{3}+45n^{2}-70n+24}{24}}\cdot \delta _{2}(n)-{\frac {3n}{2}}\cdot \delta _{4}(n)+{\frac {-45n^{2}+262n}{6}}\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+35n\cdot \delta _{24}(n)-\\-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

Де ${\displaystyle C_{n}^{4}}$ — число сполук із ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle 4}$.

• Кількість частин, на які діагоналі при перетині ділять правильный n-кутник дорівнює:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24}{24}}+{\frac {-5n^{3}+42n^{2}-40n-48}{48}}\cdot \delta _{2}(n)-{\frac {3n}{4}}\cdot \delta _{4}(n)+{\frac {-53n^{2}+310n}{12}}\cdot \delta _{6}(n)+{\frac {49n}{2}}\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}$

.

Для правильного n-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса, добуток відстаней від даної вершини до всіх інших вершин (включно із суміжними вершинами та вершинами, з'єднані діагоналями) дорівнює n.[1]

Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного n-кутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює n²R^{2:стор. 73, наслідок}

Координати вершин

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ та ${\displaystyle y_{0}}$ — координати центра, а ${\displaystyle R}$ — радіус описаного навколо правильного многокутника кола, ${\displaystyle {\phi }_{0}}$ — кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

${\displaystyle x_{i}=x_{0}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$,

${\displaystyle y_{i}=y_{0}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$,

де ${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$.

Симетрія

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Групою симетрії правильного n-кутника є діедральна група D_n (порядку 2n): D₂, D₃, D₄, … Вона складається з n обертових симетрій і n осьових симетрій.

Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, що проходять через дві протилежні вершини, а інша половина через середини протилежних сторін.

Якщо n непарне, то всі осі проходять через вершину та середину протилежної сторони.

Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями.

Властивості

1. Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника.
2. Всі серединні перпендикуляри проходять через центр правильного многокутника. Щоб знайти центр правильного n-кутника, достатньо знайти точку перетину двох серединних перпендикулярів, проведених до сусідніх сторін.
3. Центр мас правильного n-кутника лежить у його геометричному центрі
4. Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}}$, де — різні прості числа Ферма.
   • Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, … послідовність  A003401
5. Правильними n-кутниками можна замостити площину без проміжків та накладень тільки при n = 3, 4 та 6 , тобто тільки правильними трикутниками, квадратами та правильними шестикутниками.

Теорема Вівіані для правильного семикутника

Теорема Вівіані для правильного n-кутника

У своєму виданні п'ятої книги «Конічні перетини» Аполлонія Вівіані надає таку теорему:

У правильному опуклому n-кутнику сума відстаней від будь-якої точки всередині багатокутника до його сторін (або їх продовжень) постійна і не залежить від розташування точки.

Зокрема, якщо ${\displaystyle h_{i}}$ ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,

${\displaystyle a_{p}}$ ‒ апотема цього n-кутника, то виконується рівність^{:стор. 72}

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle h_{i}=a_{p}\cdot n}$

Ілюстрація теорем, пов'язаних з описаним колом правильного багатокутника

Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного n-кутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює радіусу описаного кола, помноженому на n:^{:стор. 73}

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \ell _{i}=n\cdot R}$

Сума квадратів відстаней від вершин правильного n-кутника до будь-якої точки на описаному колі дорівнює,^:стор.73

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle d_{i}^{2}=2n\cdot R^{2}}$

де R — радіус описаного кола.

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного n-кутника до будь-якої точки описаного кола дорівнює^{:стор. 73}

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle m_{i}^{2}=2n\cdot R^{2}-{\frac {1}{4}}n\cdot a^{2}}$

де ${\displaystyle a}$ — довжина сторони правильного n-кутника

Якщо ${\displaystyle d_{i}}$ — відстані від вершин правильного ${\displaystyle n}$-кутника до будь-якої точки на описаному колі, то:

${\displaystyle 3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Точка в площині правильного n-кутника

Нехай ${\displaystyle d_{i}}$ — відстані від довільної точки площини до вершин правильного n-кутника, а R — радіус описаного кола. Тоді виконується рівність:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}\right)^{2}.}$

Існують формули для більших показників степеня відстаней ${\displaystyle d_{i}}$. Якщо:

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

то:

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

а також

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

де ${\displaystyle m}$ — додатне ціле число менше ніж ${\displaystyle n}$.

Якщо ${\displaystyle L}$ — відстань від довільної точки на площині до центра правильного n-кутника з радіусом описаного кола ${\displaystyle R}$, то:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)}$,

де ${\displaystyle m}$ = 1, 2, …, ${\displaystyle n-1}$.

Застосування

Правильними многокутниками за визначенням є грані правильних многогранників.

Давньогрецькі математики (Антіфон, , Архімед та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа ${\displaystyle \pi }$. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.

Історія

Побудова правильного многокутника (n-кутника) за допомогою циркуля та лінійки залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на n рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

Евклід у своїх «Началах» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2^m сторонами (при цілому m > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2^{m — 1}: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати квадрат, потім правильний восьмикутник, правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з r та s сторонами, де r та s — взаємно прості числа, то можна побудувати і многокутник із r × s сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з ${\displaystyle 2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}}$ сторонами, де m — ціле невід'ємне число, ${\displaystyle {p_{1}},{p_{2}}}$ — числа 3 та 5, а ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}}$ приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року Карлу Фрідріху Гаусу вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому числу Ферма, до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює ${\displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}}$, де ${\displaystyle {k_{0}}}$ — ціле невід'ємне число, ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}\cdots {k_{s}}}$ набувають значення 0 або 1, а ${\displaystyle \mathrm {p_{j}} }$ — прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки достатньою, але й необхідною, але вперше це довів П'єр Лоран Ванцель 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних 17-, 257- та 65537-кутників. Першу винайшов 1825 року, другу — 1832 року, третю — 1894 року.

Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.

Розбиття

Гарольд Коксетер стверджує, що кожен зоногон (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

${\displaystyle {\binom {m}{2}}={\frac {m\cdot (m-1)}{2}}}$ паралелограмів. Ці мозаїки містяться як підмножини вершин, ребер і граней в ортогональних проекціях m-кубів.

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Послідовність  A006245 містить кількість ромбів у розбитті правильного 2m-кутника.

Приклади розбиття на ромби правильних 2m-кутників

2m		(8)									40	50
Зображення
Ромби	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Див. також

• Теорема Гаусса — Ванцеля
• Найбільший многокутник одиничного діаметра
• Фігурні числа

Примітки

1. Істер О.С., 2017.
2. Harris, John W.; Stöcker, Horst (23 липня 1998). Handbook of Mathematics and Computational Science (англ.). Springer Science & Business Media. ISBN .
3. Zwillinger, Daniel (2003). CRC Standard Mathematical Tables (PDF) (англ.) (вид. 31th ed.). Boca Raton, FL: CRC Press LLC. с. 840: стор. 332.
4. Bjorn Poonen and Michael Rubinstein. "The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon" (англ) . doi:10.48550/arXiv.math/9508209.
5. Johnson, Roger A. (2007 (orig. 1929)). Advanced Euclidean Geometry (PDF) (англ.) . Dover Publ. с. 319:стор.72-73.
6. Apolonio de Pérgamo; Vincenzo, Viviani (1659). De maximis et minimis geometrica… (італ.) . Appendice. с. 146.
7. Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). The converse of Viviani's theorem. The College Mathematics Journal. 37 (5): 390—391. doi:10.2307/27646392. JSTOR 27646392.
8. Meskhishvili, Mamuka Meskhishvili, Mamuka (2020). Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355.
9. Park, Poo-Sung (2016). "Regular polytope distances" (PDF). Forum Geometricorum. 16: 227—232.
10. Жуков А. В. Про число ${\displaystyle \pi }$. — М.: МЦНМО, 2002. .
11. Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, стор.141

Література

• Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Харків : Гімназія, 1966. — С. 240 : стор. 51-61. — .
• Істер О.С. Геометрія: 9 клас. — Київ : Генеза, 2017. — С. 243 : стор. 203. — .

Посилання

• Regular Polygons and Other Two Dimensional Shapes
• Weisstein, Eric W. RegularPolygon. From MathWorld