Апейрогон або нескінченнокутник від дав гр ἄπειρος нескінченний або безмежний і дав гр γωνία кут узагальнення многокутни

Апейрогон або нескінченнокутник (від дав.-гр. ἄπειρος — нескінченний або безмежний і дав.-гр. γωνία — кут) — узагальнення многокутника зі зліченно-нескінченним числом сторін.

Два апейрогони заповнюють площину, утворюючи правильне замощення з вершинною конфігурацією.

Правильний апейрогон

Правильний апейрогон має сторони рівної довжини, як і будь-який інший правильний многокутник. Його символ Шлефлі — {∞}, діаграма Коксетера — Динкіна — .

Правильний апейрогон розбиває площину на дві півплощини, утворюючи ^[en] {∞,2}. Внутрішню частину апейрогона можна визначити, вказавши напрям сторін.

Евклідові мозаїки
Правильні		Однорідні
∞.∞	2^∞	4.4.∞	3.3.3.∞

	{2, ∞}

Правильними апейрогонами можна вважати прямі, що складаються з ребер чотирьох однорідних мозаїк і п'яти мозаїк, двоїстих однорідним, на евклідовій площини.

3 напрямки		1 напрямок	2 напрямки
	Трикутний паркет		Квадратний паркет (кадриль)

3 напрямки		6 напрямків	1 напрямок	4 напрямку

Неправильні апейрогони

Ізогональний апейрогон має вершини одного типу і сторони двох типів (довжин), що чергуються.

Квазіправильний апейрогон — ізогональний апейрогон з однаковими довжинами сторін.

Ізотоксальний апейрогон є двоїстим відносно ізогонального. Він має один тип ребер і два типи вершин і геометрично ідентичний правильному апейрогону, що можна показати почерговим розфарбуванням вершин у два кольори.

Правильний	… …
Квазіправильний	… …
Ізогональний	… …
Ізотоксальний	… …

Апейрогони на гіперболічній площині

Апейрогон та описаний навколо нього орицикл.

Правильні апейрогони на гіперболічній площині мають кривину, так само, як і многокутники зі скінченним числом сторін. Навколо апейрогона на гіперболічній площині можна описати орицикл або еквідистанту (гіперцикл), аналогічно тому, як навколо многокутника зі скінченним числом сторін можна описати коло.

Однорідні мозаїки з апейрогонів
3	4	5
^[en]	^[en]	^[en]

Однорідні мозаїки з апейрогонів (продовження)
6	7	8	…	∞
^[en]				^[en]

Правильні та однорідні мозаїки з апейрогонів
		tr{12i, 3}
Правильний: {∞}	Квазіправильний: t{∞}	Квазіправильний: t{12i}

Примітки

>Coxeter, Regular polytopes, p.45

Література

H. S. M. Coxeter. . — 3rd. — New York : Dover Publications, 1973. — С. 121–122. — .
Grünbaum, B. Regular polyhedra — old and new [ 21 січня 2022 у Wayback Machine.], Aequationes Math. 16 (1977) p. 1-20
Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York : Springer-Verlag, 1980. — . (1st ed, 1957) 5.2 The Petrie polygon {p, q}.

Посилання

Russell, Robert A. Апейрогон(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Olshevsky, George. . Glossary for Hyperspace. Архів оригіналу за 4 лютого 2007.

[1] >Coxeter, Regular polytopes, p.45