Правильний семикутник

Правильний (семикутник) — правильний многокутник з сімома сторонами.

Правильний семикутник
Дуальний до	правильний семикутник
Символ Шлефлі	{7}
Грань політопа	ребро
Підтримується Вікіпроєктом
Правильний семикутник у Вікісховищі

Семикутне вікно в одному з садків Шанхаю

Властивості

Правильний семикутник має сім рівних сторін та сім кутів, кожен з яких дорівнює ≈128.5714°

Нехай ${\displaystyle t}$ — сторона семикутника, ${\displaystyle R}$ — радіус описаного кола, ${\displaystyle r}$ — радіус вписаного кола.

${\displaystyle t=2R\sin {\frac {\pi }{7}}=2r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}~;~r=R\cos {\frac {\pi }{7}}}$,

Периметр правильного семикутника дорівнює

${\displaystyle P=7t=14R\sin {\frac {\pi }{7}}=14r\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}}$.

Площа правильного семикутника вираховується за формулами:

${\displaystyle S={\frac {7}{4}}t^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{7}}}$,

${\displaystyle S={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}}$,

${\displaystyle S=7r^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{7}}}$.

Побудова

Анімація побудови правильного семикутника.

Точна

За теоремою Гаусса — Ванцеля, правильний семикутник неможливо побудувати за допомогою циркуля і лінійки, але можна побудувати за допомогою циркуля і розміченої лінійки, тобто лінійки, на якій можна робити відмітки і за допомогою якої можна проводити прямі, що проходять через якусь точку, причому відмічені на лінійці точки належатимуть до даних ліній (прямих або кіл).

Наближена

Наближена (але з достатньою для практики точністю ≈ 0,2%) побудова семикутника показана на малюнку. З точки ${\displaystyle A}$ на колі радіусом, рівним радіусу кола, проводимо дугу ${\displaystyle BOC}$. Відрізок${\displaystyle BD={1 \over 2}BC}$ якраз і дасть потрібне наближення.

Семипроменеві зірки

Семипроменева зірка 7/2

Семипроменева зірка 7/3

Існує два зірчастих семикутники (гептаграми): 7 / 2 і 7 / 3. Методи їх побудови аналогічні до побудови звичайного семикутники, тільки вершини треба з'єднувати через одну (7 / 2) або через дві (7 / 3).

Застосування

У Великій Британії використовуються дві монети у формі семикутника: 50 пенсів і 20 пенсів. Власне, форма монет — криволінійний семикутник, який утворює криву постійної ширини, щоб монети плавно проходили в автомати.

Семипроменева зірка 7 / 2 була національним символом Грузії і застосовувалася, як елемент герба Грузії, зокрема і в радянський час. Наразі не застосовується. Семипроменева зірка 7 / 3 є емблемою компанії AP Moller-Maersk Group.

Посилання

• Definition and properties of a heptagon - визначення і властивості
• Weisstein, Eric W. Heptagon(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Another approximate construction method - побудова наближеного семикутника
• Recently discovered and highly accurate approximation for the construction of a regular heptagon - Нове точніше наближення