У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.
Трикутники
Кожен трикутник біцентричний. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням
де x — відстань між центрами кіл. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.
Біцентричні чотирикутники
Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де , опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність
де x — відстань між їхніми центрами. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса.
Многокутники з n > 4
Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін n. Для деяких n:
де і
Правильні многокутники
Кожен правильний многокутник є біцентричним. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).
Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:
Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень:
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
8 | |||
10 |
Отже, маємо такі десяткові наближення:
Поризм Понселе
Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік.
Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого кола.
Примітки
- Gorini, Catherine A. (2009), The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing, с. 17, ISBN .
- Reiman, István (2005), International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press, с. 170—171, ISBN .
- Davison, Charles (1915), Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited, с. 98.
- Dörrie, Heinrich (1965), 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications, с. 192, ISBN .
- Weisstein, Eric W. «Poncelet's Porism.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
- Flatto, Leopold (2009), Poncelet's Theorem, American Mathematical Society, ISBN .
- Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (1929), p. 94.
Посилання
- Weisstein, Eric W. Біцентричний многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U geometriyi bicentrichnij mnogokutnik ce opisanij mnogokutnik mnogokutnik usi storoni yakogo dotichni do vnutrishnogo kola yakij takozh ye vpisanim u zovnishnye kolo yake prohodit cherez kozhnu jogo vershinu Usi trikutniki ta vsi pravilni mnogokutniki bicentrichni Z inshogo boku pryamokutnik z nerivnimi storonami ne ye bicentrichnim oskilki zhodne kolo ne mozhe dotikatisya do vsih jogo chotiroh storin Rivnostoronnij trikutnikBicentrichnij deltoyidBicentrichna rivnobichna trapeciyaPravilnij p yatikutnikTrikutnikiKozhen trikutnik bicentrichnij U trikutniku radiusi r i R vpisanogo ta opisanogo kola vidpovidno pov yazani rivnyannyam 1R x 1R x 1r displaystyle frac 1 R x frac 1 R x frac 1 r de x vidstan mizh centrami kil Ce odna z versij formuli trikutnika Ejlera Bicentrichni chotirikutnikiDokladnishe Bicentrichnij chotirikutnik Ne vsi chotirikutniki ye bicentrichnimi mayut yak vpisane tak i opisane kolo Dlya danih dvoh kil odne v odnomu z radiusami R i r de R gt r displaystyle R gt r opuklij chotirikutnik vpisanij v odne z nih i opisanij navkolo inshogo isnuye todi j lishe todi koli yihni radiusi zadovolnyayut rivnist 1 R x 2 1 R x 2 1r2 displaystyle frac 1 R x 2 frac 1 R x 2 frac 1 r 2 de x vidstan mizh yihnimi centrami Cya umova i analogichni umovi dlya mnogokutnikiv vishogo poryadku vidoma yak teorema Fussa Mnogokutniki z n gt 4Vidoma skladna zagalna formula spivvidnoshennya mizh radiusom opisanogo kola R radiusom vpisanogo kola r i vidstannyu x mizh centrom opisanogo kola ta centrom vpisanogo kola dlya bud yakogo chisla storin n Dlya deyakih n n 5 r R x R x R r x R r x R x 2R R r x displaystyle n 5 quad r R x R x sqrt R r x R r x R x sqrt 2R R r x n 6 3 R2 x2 4 4r2 R2 x2 R2 x2 2 16r4x2R2 displaystyle n 6 quad 3 R 2 x 2 4 4r 2 R 2 x 2 R 2 x 2 2 16r 4 x 2 R 2 n 8 16p4q4 p2 1 q2 1 p2 q2 p2q2 4 displaystyle n 8 quad 16p 4 q 4 p 2 1 q 2 1 p 2 q 2 p 2 q 2 4 de p R xr displaystyle p tfrac R x r i q R xr displaystyle q tfrac R x r Pravilni mnogokutnikiKozhen pravilnij mnogokutnik ye bicentrichnim U pravilnomu mnogokutniku vpisane j opisane kola koncentrichni tobto mayut spilnij centr yakij takozh ye centrom pravilnogo mnogokutnika tomu vidstan mizh centrom vpisanogo j opisanogo kola zavzhdi dorivnyuye nulyu Radiusom vpisanogo kola ye apofema najkorotsha vidstan vid centra do storoni pravilnogo mnogokutnika Dlya bud yakogo pravilnogo mnogokutnika spivvidnoshennya mizh dovzhinoyu rebra a radiusom r vpisanogo kola ta radiusom R opisanogo kola take R a2sin pn rcos pn displaystyle R frac a 2 sin frac pi n frac r cos frac pi n Dlya deyakih pravilnih mnogokutnikiv yaki mozhna pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki mayemo taki algebrichni formuli dlya cih spivvidnoshen n displaystyle n Ria displaystyle R text i a ria displaystyle r text i a riR displaystyle r text i R 3 R3 a displaystyle R sqrt 3 a 2r a33 displaystyle 2r frac a 3 sqrt 3 2r R displaystyle 2r R 4 R2 a displaystyle R sqrt 2 a r a2 displaystyle r frac a 2 2r R2 displaystyle 2r R sqrt 2 5 R5 52 a displaystyle R sqrt frac 5 sqrt 5 2 a r 5 1 a1050 105 displaystyle r left sqrt 5 1 right frac a 10 sqrt 50 10 sqrt 5 r 5 1 R displaystyle r sqrt 5 1 R 6 R a displaystyle R a 2r33 a displaystyle frac 2r 3 sqrt 3 a 2r33 R displaystyle frac 2r 3 sqrt 3 R 8 R2 2 a 2 1 displaystyle R sqrt 2 sqrt 2 a left sqrt 2 1 right r4 22 a24 22 displaystyle r sqrt 4 2 sqrt 2 frac a 2 sqrt 4 2 sqrt 2 2r 2 1 R2 2 displaystyle 2r left sqrt 2 1 right R sqrt 2 sqrt 2 10 5 1 R 2a displaystyle sqrt 5 1 R 2a 2r25 105 5a displaystyle 2r sqrt 25 10 sqrt 5 5a 2r525 105 R2 5 1 displaystyle frac 2r 5 sqrt 25 10 sqrt 5 frac R 2 left sqrt 5 1 right Otzhe mayemo taki desyatkovi nablizhennya n displaystyle n R a displaystyle R a r a displaystyle r a R r displaystyle R r 3 displaystyle 3 0 577 displaystyle 0 577 0 289 displaystyle 0 289 2 000 displaystyle 2 000 4 displaystyle 4 0 707 displaystyle 0 707 0 500 displaystyle 0 500 1 414 displaystyle 1 414 5 displaystyle 5 0 851 displaystyle 0 851 0 688 displaystyle 0 688 1 236 displaystyle 1 236 6 displaystyle 6 1 000 displaystyle 1 000 0 866 displaystyle 0 866 1 155 displaystyle 1 155 8 displaystyle 8 1 307 displaystyle 1 307 1 207 displaystyle 1 207 1 082 displaystyle 1 082 10 displaystyle 10 1 618 displaystyle 1 618 1 539 displaystyle 1 539 1 051 displaystyle 1 051 Porizm PonseleDokladnishe Porizm Ponsele Yaksho dva kola ye vpisanim i opisanim kolami okremogo bicentrichnogo n kutnika to ci zh dva kola ye vpisanim i opisanim kolami neskinchennoyi kilkosti bicentrichnih n kutnikiv Tochnishe na kozhnij dotichnij do vnutrishnogo z dvoh kil mozhna pobuduvati bicentrichnij n kutnik rozmistivshi vershini na pryamij u tochkah de vona peretinaye zovnishnye kolo prodovzhuyuchi vid kozhnoyi vershini vzdovzh inshoyi dotichnoyi ta povtoryuyuchi ce do zamknennya lamanoyi v n kutnik Toj fakt sho tak bude zavzhdi viplivaye z teoremi pro zamikannya Ponsele yaka v zagalnishomu vipadku zastosovuyetsya do vpisanih i opisanih konik Krim togo yaksho zadano opisane kolo ta vpisane kolo kozhna diagonal zminnogo mnogokutnika ye dotichnoyu do fiksovanogo kola PrimitkiGorini Catherine A 2009 The Facts on File Geometry Handbook Infobase Publishing s 17 ISBN 9780816073894 Reiman Istvan 2005 International Mathematical Olympiad 1976 1990 Anthem Press s 170 171 ISBN 9781843312000 Davison Charles 1915 Subjects for mathematical essays Macmillan and co limited s 98 Dorrie Heinrich 1965 100 Great Problems of Elementary Mathematics Their History and Solution Courier Dover Publications s 192 ISBN 9780486613482 Weisstein Eric W Poncelet s Porism From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com PonceletsPorism html Flatto Leopold 2009 Poncelet s Theorem American Mathematical Society ISBN 9780821886267 Johnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publ 2007 1929 p 94 PosilannyaWeisstein Eric W Bicentrichnij mnogokutnik angl na sajti Wolfram MathWorld