Поризм Понселе

Поризм Понселе — класична теорема проєктивної геометрії. Названий на честь Жан-Віктора Понселе.

Історія

Поризм Понселе відкрив французький математик Жан-Віктор Понселе в 1812—1814 роках, коли він перебував у полоні в Саратові. Там він написав (переважно) свій трактат про проєктивні властивості фігур, а також трактат з аналітичної геометрії (сім зошитів, виданих згодом — у 1862—1864 роках — під назвою «Applications d’Analyse et de Géometrie»)^[].

Окремий випадок для трикутників випливає з теореми Ейлера.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}$ — многокутник з ${\displaystyle n}$ різними вершинами, вписаний у коніку ${\displaystyle C}$ та описаний навколо іншої коніки ${\displaystyle \Gamma }$. Тоді для будь-яких точок ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ коніки ${\displaystyle C}$, таких, що ${\displaystyle B_{1}\neq B_{2}}$ і ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ дотикається ${\displaystyle \Gamma }$, існує многокутник ${\displaystyle B_{1}B_{2}\ldots B_{n}}$, вписаний у ${\displaystyle C}$ та описаний навколо ${\displaystyle \Gamma }$.

Зауваження

• Якщо коніка є колом, многокутники, вписані в одне коло й описані навколо іншого називають біцентричними многокутниками, так що це — особливий випадок поризму Понселе, який можна виразити лаконічно, враховуючи, що кожен біцентричний многокутник є частиною нескінченної множини біцентричних многокутників відносно одних і тих самих двох кіл^{:p. 94}.

Алгебричне доведення

Розглянемо множину пар вигляду «крапка на зовнішній коніці й дотична, проведена з неї до внутрішньої». Цю множину можна визначити алгебричним рівнянням у добутку проєктивної площини і двоїстої до неї (тобто множини прямих на початковій площині), який є проєктивним завдяки вкладенню Сегре. Зрозуміло, що в загальній конфігурації отриманий алгебричний многовид буде невиродженою кривою. Обчислимо її рід за ^[en]: цей многовид природно (відображенням забування прямої) проєктується на зовнішній конічний перетин, причому над спільною точкою висітиме два прообрази, і тільки в чотирьох точках — точках перетину конічних перерізів, існування яких гарантується теоремою Безу, — він має один прообраз, тобто він розгалужений у цих чотирьох точках, і лише в них. Отже, ейлерова характеристика накривної кривої дорівнює ${\displaystyle 2(2-4)+4=0}$, тобто крива має рід 1 і, в силу невиродженості, є еліптичною кривою.

Стартуватимемо з якоїсь точки, проводячи дотичні. Маючи виділену точку старту та напрямок обходу, ми отримуємо послідовність пар типу «точка на зовнішній коніці та дотична, проведена з неї до внутрішньої». Зауважимо, що одній невиродженій точці на зовнішній коніці відповідають дві точки на еліптичній кривій (відповідні двом дотичним, що виходять з неї), і сума їх як точок еліптичної кривої дає відображення із зовнішньої коніки в еліптичну криву, яке є відображенням у точку, оскільки може бути піднятим на універсальну накривну — комплексну площину, де, через компактність сфери, воно буде обмеженим і, за теоремою Ліувіля, сталим. Отже, перекидання дотичної, що виходить з однієї точки, задається відображенням ${\displaystyle x\mapsto \xi -x}$, де ${\displaystyle \xi }$ — стала. Аналогічно, перекидання точки, що лежить на дотичній, має вигляд ${\displaystyle x\mapsto \zeta -x}$, а їх композиція, таким чином, має вигляд ${\displaystyle x\mapsto \zeta -\xi +x}$; але композиція — це побудова наступної сторони ланцюга за попередньою, і замикання ланцюга рівносильне тому, що ${\displaystyle \zeta -\xi }$ лежить у скруті еліптичної кривої як групи за додаванням, і, отже, не залежить від початкової точки; так само від неї не залежить і порядок скруту, тобто число кроків, за яке ланцюг замкнеться.

Варіації та узагальнення

Теорема Келі

Нехай ${\displaystyle f}$ — коло ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, а ${\displaystyle g}$ — еліпс ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=1}$. Тоді умова зациклювання ланцюга задається в термінах ряду Тейлора функції ${\displaystyle {\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots }$. (Кожен коефіцієнт ${\displaystyle c_{i}}$ обчислюється через ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ наприклад, ${\displaystyle c_{0}=ab}$.) А саме:

1. Ланцюг Понселе пари ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ зациклюється за ${\displaystyle 2m+1}$ кроків тоді й лише тоді, коли

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.}$

2. Ланцюг Понселе пари ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ зациклюється за ${\displaystyle 2m}$ кроків тоді й лише тоді, коли

   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.}$

Теорема Шварца

Нехай ${\displaystyle A_{0}A_{1}\dots }$ — ланцюг Понселе. Позначимо через ${\displaystyle \ell _{i}}$ пряму ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ і розглянемо точки перетину ${\displaystyle B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}}$ . Тоді для будь-якого цілого ${\displaystyle k}$

1. Усі точки ${\displaystyle B_{i,i+k}}$ лежать одному конічному перерізі.
2. Усі точки ${\displaystyle B_{i,k-i}}$ лежать одному конічному перерізі.

Багатовимірний аналог

Алгебричне підтвердження теореми Понселе спирається на те, що перетин двох квадрик у тривимірному проєктивному просторі — це еліптична крива. 1972 року ^[ru] у своїй дисертації довів узагальнення цього факту. Саме теорема Ріда стверджує, що многовид, який параметризує лінійні ${\displaystyle (n-1)}$-вимірні підпростори в ${\displaystyle (2n+1)}$-вимірному проєктивному просторі, що лежать на перетині двох ${\displaystyle 2n}$-вимірних квадрик (за умови, що цей перетин неособливий), є деякої (розгалуженого подвійного накриття раціональної кривої). Цю гіпереліптичну криву можна побудувати як геометричне місце ${\displaystyle (n-1)}$-вимірних підпросторів на перетині двох квадрик, які перетинають деякий фіксований ${\displaystyle (n-1)}$-вимірний підпростір, що також лежить на перетині квадрик, за підпростором розмірності не менше ${\displaystyle n-2}$. Якщо ці квадрики зведені до головних осей (тобто мають однорідні рівняння

${\displaystyle z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,}$

${\displaystyle b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0}$

для деяких коефіцієнтів ${\displaystyle b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}}$), то ця крива біраціонально ізоморфна кривій, заданій рівнянням

${\displaystyle y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).}$

^[en] зауважив, що закон додавання на такому многовиді можна визначати геометрично. Саме, якщо ${\displaystyle Q}$ — якась квадрика з пучка, породженого нашими двома квадриками (позначимо їх як ${\displaystyle Q_{1}}$ і ${\displaystyle Q_{2}}$), ${\displaystyle E_{1}}$ і ${\displaystyle E_{2}}$ — два ${\displaystyle n}$-вимірних підпростори, що лежать на ${\displaystyle Q}$ і належать до одного й того ж зв'язного сімейства, і ${\displaystyle E_{i}}$ висікає на перетині двох квадрик два ${\displaystyle (n-1)}$-вимірних підпростори ${\displaystyle \ell _{i1}}$ і ${\displaystyle \ell _{i2}}$, то додавання однозначно визначається правилом ${\displaystyle \ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}}$ (і вибором нуля). Наприклад, якщо ${\displaystyle n=1}$, додавання точок на еліптичній кривій визначається так. Виберемо точку ${\displaystyle O}$ як нуль. Для того, щоб додати точки ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, проведемо пряму ${\displaystyle AB}$ і розглянемо квадрику з пучка, на якій ця пряма лежить (така квадрика єдина і її можна побудувати, наприклад, як об'єднання січних прямої ${\displaystyle AB}$, що двічі перетинають еліптичну криву). Пряма ${\displaystyle AB}$, як твірна двовимірної квадрики, належить до однопараметричного зв'язного сімейства. Виберемо із цього сімейства пряму ${\displaystyle p}$, що проходить через точку ${\displaystyle O}$. Друга точка перетину прямої ${\displaystyle p}$ з еліптичною кривою і буде шуканою сумою ${\displaystyle A+B}$.

Див. також

• Поризм Штейнера — схоже твердження для ланцюжків кіл.
• Теорема Ейлера (планіметрія) включає окремий випадок поризму Понселе для ${\displaystyle n=3}$.

Примітки

1. Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11.
2. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
3. Dragović, Vladimir, Radnović, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. — Springer, 2011. — С. 116. — (Frontiers in Mathematics) — .
4. Reid, M.: The complete intersection fo two or more quadrics. Thesis, Cambridge (GB) 1972
5. Donagi, R.: Group law on intersections of two quadrics. Preprint UCLA 1978

Література

• Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet's closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Посилання

• .
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 прим. — .
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архівна копія від 27 лютого 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архівна копія від 27 квітня 2016 на Wayback Machine, Літня школа «Сучасна математика», 2014 м. Дубна.