Поризм Понселе — класична теорема проєктивної геометрії. Названий на честь Жан-Віктора Понселе.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekJsTHlWRU1DVTVSaVZFTUNWQ1JTVkVNU1U0TUNWRU1DVkNPQ1ZFTUNWQ055VkVNQ1ZDUTE4bFJEQWxPVVlsUkRBbFFrVWxSREFsUWtRbFJERWxPREVsUkRBbFFqVWxSREFsUWtJbFJEQWxRalV1YzNabkx6STNNM0I0TFNWRU1DVTVSaVZFTUNWQ1JTVkVNU1U0TUNWRU1DVkNPQ1ZFTUNWQ055VkVNQ1ZDUTE4bFJEQWxPVVlsUkRBbFFrVWxSREFsUWtRbFJERWxPREVsUkRBbFFqVWxSREFsUWtJbFJEQWxRalV1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Історія
Поризм Понселе відкрив французький математик Жан-Віктор Понселе в 1812—1814 роках, коли він перебував у полоні в Саратові. Там він написав (переважно) свій трактат про проєктивні властивості фігур, а також трактат з аналітичної геометрії (сім зошитів, виданих згодом — у 1862—1864 роках — під назвою «Applications d’Analyse et de Géometrie»)[].
Окремий випадок для трикутників випливає з теореми Ейлера.
Формулювання
Нехай — многокутник з
різними вершинами, вписаний у коніку
та описаний навколо іншої коніки
. Тоді для будь-яких точок
коніки
, таких, що
і
дотикається
, існує многокутник
, вписаний у
та описаний навколо
.
Зауваження
- Якщо коніка є колом, многокутники, вписані в одне коло й описані навколо іншого називають біцентричними многокутниками, так що це — особливий випадок поризму Понселе, який можна виразити лаконічно, враховуючи, що кожен біцентричний многокутник є частиною нескінченної множини біцентричних многокутників відносно одних і тих самих двох кіл .
Алгебричне доведення
Розглянемо множину пар вигляду «крапка на зовнішній коніці й дотична, проведена з неї до внутрішньої». Цю множину можна визначити алгебричним рівнянням у добутку проєктивної площини і двоїстої до неї (тобто множини прямих на початковій площині), який є проєктивним завдяки вкладенню Сегре. Зрозуміло, що в загальній конфігурації отриманий алгебричний многовид буде невиродженою кривою. Обчислимо її рід за [en]: цей многовид природно (відображенням забування прямої) проєктується на зовнішній конічний перетин, причому над спільною точкою висітиме два прообрази, і тільки в чотирьох точках — точках перетину конічних перерізів, існування яких гарантується теоремою Безу, — він має один прообраз, тобто він розгалужений у цих чотирьох точках, і лише в них. Отже, ейлерова характеристика накривної кривої дорівнює , тобто крива має рід 1 і, в силу невиродженості, є еліптичною кривою.
Стартуватимемо з якоїсь точки, проводячи дотичні. Маючи виділену точку старту та напрямок обходу, ми отримуємо послідовність пар типу «точка на зовнішній коніці та дотична, проведена з неї до внутрішньої». Зауважимо, що одній невиродженій точці на зовнішній коніці відповідають дві точки на еліптичній кривій (відповідні двом дотичним, що виходять з неї), і сума їх як точок еліптичної кривої дає відображення із зовнішньої коніки в еліптичну криву, яке є відображенням у точку, оскільки може бути піднятим на універсальну накривну — комплексну площину, де, через компактність сфери, воно буде обмеженим і, за теоремою Ліувіля, сталим. Отже, перекидання дотичної, що виходить з однієї точки, задається відображенням , де
— стала. Аналогічно, перекидання точки, що лежить на дотичній, має вигляд
, а їх композиція, таким чином, має вигляд
; але композиція — це побудова наступної сторони ланцюга за попередньою, і замикання ланцюга рівносильне тому, що
лежить у скруті еліптичної кривої як групи за додаванням, і, отже, не залежить від початкової точки; так само від неї не залежить і порядок скруту, тобто число кроків, за яке ланцюг замкнеться.
Варіації та узагальнення
Теорема Келі
Нехай — коло
, а
— еліпс
. Тоді умова зациклювання ланцюга задається в термінах ряду Тейлора функції
. (Кожен коефіцієнт
обчислюється через
і
наприклад,
.) А саме:
- Ланцюг Понселе пари
і
зациклюється за
кроків тоді й лише тоді, коли
- Ланцюг Понселе пари
і
зациклюється за
кроків тоді й лише тоді, коли
Теорема Шварца
Нехай — ланцюг Понселе. Позначимо через
пряму
і розглянемо точки перетину
. Тоді для будь-якого цілого
- Усі точки
лежать одному конічному перерізі.
- Усі точки
лежать одному конічному перерізі.
Багатовимірний аналог
Алгебричне підтвердження теореми Понселе спирається на те, що перетин двох квадрик у тривимірному проєктивному просторі — це еліптична крива. 1972 року [ru] у своїй дисертації довів узагальнення цього факту. Саме теорема Ріда стверджує, що многовид, який параметризує лінійні -вимірні підпростори в
-вимірному проєктивному просторі, що лежать на перетині двох
-вимірних квадрик (за умови, що цей перетин неособливий), є деякої (розгалуженого подвійного накриття раціональної кривої). Цю гіпереліптичну криву можна побудувати як геометричне місце
-вимірних підпросторів на перетині двох квадрик, які перетинають деякий фіксований
-вимірний підпростір, що також лежить на перетині квадрик, за підпростором розмірності не менше
. Якщо ці квадрики зведені до головних осей (тобто мають однорідні рівняння
для деяких коефіцієнтів ), то ця крива біраціонально ізоморфна кривій, заданій рівнянням
[en] зауважив, що закон додавання на такому многовиді можна визначати геометрично. Саме, якщо — якась квадрика з пучка, породженого нашими двома квадриками (позначимо їх як
і
),
і
— два
-вимірних підпростори, що лежать на
і належать до одного й того ж зв'язного сімейства, і
висікає на перетині двох квадрик два
-вимірних підпростори
і
, то додавання однозначно визначається правилом
(і вибором нуля). Наприклад, якщо
, додавання точок на еліптичній кривій визначається так. Виберемо точку
як нуль. Для того, щоб додати точки
і
, проведемо пряму
і розглянемо квадрику з пучка, на якій ця пряма лежить (така квадрика єдина і її можна побудувати, наприклад, як об'єднання січних прямої
, що двічі перетинають еліптичну криву). Пряма
, як твірна двовимірної квадрики, належить до однопараметричного зв'язного сімейства. Виберемо із цього сімейства пряму
, що проходить через точку
. Друга точка перетину прямої
з еліптичною кривою і буде шуканою сумою
.
Див. також
- Поризм Штейнера — схоже твердження для ланцюжків кіл.
- Теорема Ейлера (планіметрія) включає окремий випадок поризму Понселе для
.
Примітки
- Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11.
- Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
- Dragović, Vladimir, Radnović, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. — Springer, 2011. — С. 116. — (Frontiers in Mathematics) — .
- Reid, M.: The complete intersection fo two or more quadrics. Thesis, Cambridge (GB) 1972
- Donagi, R.: Group law on intersections of two quadrics. Preprint UCLA 1978
Література
- Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet's closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.
Посилання
- .
- Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
- Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 прим. — .
- В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архівна копія від 27 лютого 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
- Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архівна копія від 27 квітня 2016 на Wayback Machine, Літня школа «Сучасна математика», 2014 м. Дубна.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Porizm Ponsele klasichna teorema proyektivnoyi geometriyi Nazvanij na chest Zhan Viktora Ponsele IstoriyaPorizm Ponsele vidkriv francuzkij matematik Zhan Viktor Ponsele v 1812 1814 rokah koli vin perebuvav u poloni v Saratovi Tam vin napisav perevazhno svij traktat pro proyektivni vlastivosti figur a takozh traktat z analitichnoyi geometriyi sim zoshitiv vidanih zgodom u 1862 1864 rokah pid nazvoyu Applications d Analyse et de Geometrie dzherelo Okremij vipadok dlya trikutnikiv viplivaye z teoremi Ejlera FormulyuvannyaNehaj A 1 A 2 A n displaystyle A 1 A 2 ldots A n mnogokutnik z n displaystyle n riznimi vershinami vpisanij u koniku C displaystyle C ta opisanij navkolo inshoyi koniki G displaystyle Gamma Todi dlya bud yakih tochok B 1 B 2 displaystyle B 1 B 2 koniki C displaystyle C takih sho B 1 B 2 displaystyle B 1 neq B 2 i B 1 B 2 displaystyle B 1 B 2 dotikayetsya G displaystyle Gamma isnuye mnogokutnik B 1 B 2 B n displaystyle B 1 B 2 ldots B n vpisanij u C displaystyle C ta opisanij navkolo G displaystyle Gamma Zauvazhennya Yaksho konika ye kolom mnogokutniki vpisani v odne kolo j opisani navkolo inshogo nazivayut bicentrichnimi mnogokutnikami tak sho ce osoblivij vipadok porizmu Ponsele yakij mozhna viraziti lakonichno vrahovuyuchi sho kozhen bicentrichnij mnogokutnik ye chastinoyu neskinchennoyi mnozhini bicentrichnih mnogokutnikiv vidnosno odnih i tih samih dvoh kil p 94 Algebrichne dovedennyaRozglyanemo mnozhinu par viglyadu krapka na zovnishnij konici j dotichna provedena z neyi do vnutrishnoyi Cyu mnozhinu mozhna viznachiti algebrichnim rivnyannyam u dobutku proyektivnoyi ploshini i dvoyistoyi do neyi tobto mnozhini pryamih na pochatkovij ploshini yakij ye proyektivnim zavdyaki vkladennyu Segre Zrozumilo sho v zagalnij konfiguraciyi otrimanij algebrichnij mnogovid bude nevirodzhenoyu krivoyu Obchislimo yiyi rid za en cej mnogovid prirodno vidobrazhennyam zabuvannya pryamoyi proyektuyetsya na zovnishnij konichnij peretin prichomu nad spilnoyu tochkoyu visitime dva proobrazi i tilki v chotiroh tochkah tochkah peretinu konichnih pereriziv isnuvannya yakih garantuyetsya teoremoyu Bezu vin maye odin proobraz tobto vin rozgaluzhenij u cih chotiroh tochkah i lishe v nih Otzhe ejlerova harakteristika nakrivnoyi krivoyi dorivnyuye 2 2 4 4 0 displaystyle 2 2 4 4 0 tobto kriva maye rid 1 i v silu nevirodzhenosti ye eliptichnoyu krivoyu Startuvatimemo z yakoyis tochki provodyachi dotichni Mayuchi vidilenu tochku startu ta napryamok obhodu mi otrimuyemo poslidovnist par tipu tochka na zovnishnij konici ta dotichna provedena z neyi do vnutrishnoyi Zauvazhimo sho odnij nevirodzhenij tochci na zovnishnij konici vidpovidayut dvi tochki na eliptichnij krivij vidpovidni dvom dotichnim sho vihodyat z neyi i suma yih yak tochok eliptichnoyi krivoyi daye vidobrazhennya iz zovnishnoyi koniki v eliptichnu krivu yake ye vidobrazhennyam u tochku oskilki mozhe buti pidnyatim na universalnu nakrivnu kompleksnu ploshinu de cherez kompaktnist sferi vono bude obmezhenim i za teoremoyu Liuvilya stalim Otzhe perekidannya dotichnoyi sho vihodit z odniyeyi tochki zadayetsya vidobrazhennyam x 3 x displaystyle x mapsto xi x de 3 displaystyle xi stala Analogichno perekidannya tochki sho lezhit na dotichnij maye viglyad x z x displaystyle x mapsto zeta x a yih kompoziciya takim chinom maye viglyad x z 3 x displaystyle x mapsto zeta xi x ale kompoziciya ce pobudova nastupnoyi storoni lancyuga za poperednoyu i zamikannya lancyuga rivnosilne tomu sho z 3 displaystyle zeta xi lezhit u skruti eliptichnoyi krivoyi yak grupi za dodavannyam i otzhe ne zalezhit vid pochatkovoyi tochki tak samo vid neyi ne zalezhit i poryadok skrutu tobto chislo krokiv za yake lancyug zamknetsya Variaciyi ta uzagalnennyaTeorema Keli Nehaj f displaystyle f kolo x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 a g displaystyle g elips a x 2 b y 2 1 displaystyle ax 2 by 2 1 Todi umova zaciklyuvannya lancyuga zadayetsya v terminah ryadu Tejlora funkciyi a 2 t b 2 t 1 t c 0 c 1 t c 2 t 2 displaystyle sqrt a 2 t b 2 t 1 t c 0 c 1 t c 2 t 2 dots Kozhen koeficiyent c i displaystyle c i obchislyuyetsya cherez a displaystyle a i b displaystyle b napriklad c 0 a b displaystyle c 0 ab A same Lancyug Ponsele pari f displaystyle f i g displaystyle g zaciklyuyetsya za 2 m 1 displaystyle 2m 1 krokiv todi j lishe todi koli c 2 c m 1 c m 1 c 2 m 0 displaystyle begin vmatrix c 2 amp dots amp c m 1 vdots amp amp vdots c m 1 amp dots amp c 2m end vmatrix 0 Lancyug Ponsele pari f displaystyle f i g displaystyle g zaciklyuyetsya za 2 m displaystyle 2m krokiv todi j lishe todi koli c 3 c m 1 c m 1 c 2 m 1 0 displaystyle begin vmatrix c 3 amp dots amp c m 1 vdots amp amp vdots c m 1 amp dots amp c 2m 1 end vmatrix 0 Teorema Shvarca Nehaj A 0 A 1 displaystyle A 0 A 1 dots lancyug Ponsele Poznachimo cherez ℓ i displaystyle ell i pryamu A i A i 1 displaystyle A i A i 1 i rozglyanemo tochki peretinu B i j ℓ i ℓ j displaystyle B i j ell i cap ell j Todi dlya bud yakogo cilogo k displaystyle k Usi tochki B i i k displaystyle B i i k lezhat odnomu konichnomu pererizi Usi tochki B i k i displaystyle B i k i lezhat odnomu konichnomu pererizi Bagatovimirnij analog Algebrichne pidtverdzhennya teoremi Ponsele spirayetsya na te sho peretin dvoh kvadrik u trivimirnomu proyektivnomu prostori ce eliptichna kriva 1972 roku ru u svoyij disertaciyi doviv uzagalnennya cogo faktu Same teorema Rida stverdzhuye sho mnogovid yakij parametrizuye linijni n 1 displaystyle n 1 vimirni pidprostori v 2 n 1 displaystyle 2n 1 vimirnomu proyektivnomu prostori sho lezhat na peretini dvoh 2 n displaystyle 2n vimirnih kvadrik za umovi sho cej peretin neosoblivij ye deyakoyi rozgaluzhenogo podvijnogo nakrittya racionalnoyi krivoyi Cyu gipereliptichnu krivu mozhna pobuduvati yak geometrichne misce n 1 displaystyle n 1 vimirnih pidprostoriv na peretini dvoh kvadrik yaki peretinayut deyakij fiksovanij n 1 displaystyle n 1 vimirnij pidprostir sho takozh lezhit na peretini kvadrik za pidprostorom rozmirnosti ne menshe n 2 displaystyle n 2 Yaksho ci kvadriki zvedeni do golovnih osej tobto mayut odnoridni rivnyannyaz 0 2 z 1 2 z 2 n 1 2 0 displaystyle z 0 2 z 1 2 dots z 2n 1 2 0 b 0 z 0 2 b 1 z 1 2 b 2 n 1 z 2 n 1 2 0 displaystyle b 0 z 0 2 b 1 z 1 2 dots b 2n 1 z 2n 1 2 0 dlya deyakih koeficiyentiv b 0 b 1 b 2 n 1 displaystyle b 0 b 1 dots b 2n 1 to cya kriva biracionalno izomorfna krivij zadanij rivnyannyamy 2 x b 0 x b 1 x b 2 n 1 displaystyle y 2 x b 0 x b 1 dots x b 2n 1 en zauvazhiv sho zakon dodavannya na takomu mnogovidi mozhna viznachati geometrichno Same yaksho Q displaystyle Q yakas kvadrika z puchka porodzhenogo nashimi dvoma kvadrikami poznachimo yih yak Q 1 displaystyle Q 1 i Q 2 displaystyle Q 2 E 1 displaystyle E 1 i E 2 displaystyle E 2 dva n displaystyle n vimirnih pidprostori sho lezhat na Q displaystyle Q i nalezhat do odnogo j togo zh zv yaznogo simejstva i E i displaystyle E i visikaye na peretini dvoh kvadrik dva n 1 displaystyle n 1 vimirnih pidprostori ℓ i 1 displaystyle ell i1 i ℓ i 2 displaystyle ell i2 to dodavannya odnoznachno viznachayetsya pravilom ℓ 11 ℓ 12 ℓ 21 ℓ 22 displaystyle ell 11 ell 12 ell 21 ell 22 i viborom nulya Napriklad yaksho n 1 displaystyle n 1 dodavannya tochok na eliptichnij krivij viznachayetsya tak Viberemo tochku O displaystyle O yak nul Dlya togo shob dodati tochki A displaystyle A i B displaystyle B provedemo pryamu A B displaystyle AB i rozglyanemo kvadriku z puchka na yakij cya pryama lezhit taka kvadrika yedina i yiyi mozhna pobuduvati napriklad yak ob yednannya sichnih pryamoyi A B displaystyle AB sho dvichi peretinayut eliptichnu krivu Pryama A B displaystyle AB yak tvirna dvovimirnoyi kvadriki nalezhit do odnoparametrichnogo zv yaznogo simejstva Viberemo iz cogo simejstva pryamu p displaystyle p sho prohodit cherez tochku O displaystyle O Druga tochka peretinu pryamoyi p displaystyle p z eliptichnoyu krivoyu i bude shukanoyu sumoyu A B displaystyle A B Div takozhPorizm Shtejnera shozhe tverdzhennya dlya lancyuzhkiv kil Teorema Ejlera planimetriya vklyuchaye okremij vipadok porizmu Ponsele dlya n 3 displaystyle n 3 PrimitkiMarsel Berzhe Geometriya Sledstvie 16 6 11 Johnson Roger A Advanced Euclidean Geometry Dover Publications 2007 orig 1960 Dragovic Vladimir Radnovic Milena Poncelet Porisms and Beyond Springer 2011 S 116 Frontiers in Mathematics ISBN 3034800142 Reid M The complete intersection fo two or more quadrics Thesis Cambridge GB 1972 Donagi R Group law on intersections of two quadrics Preprint UCLA 1978LiteraturaBos HJM Kers C Oort F Raven DW Poncelet s closure theorem Expositiones Mathematicae 5 1987 no 4 289 364 Posilannya Marsel Berzhe Geometriya Per s francuzskogo M Mir 1984 t 2 16 6 s 140 148 Tabachnikov S L Fuks D B Lekciya 29 Matematicheskij divertisment MCNMO 2011 512 s 2000 prim ISBN 978 5 94057 731 7 V V Prasolov Dokazatelstvo teoremy Ponsele po Darbu Arhivna kopiya vid 27 lyutogo 2014 na Wayback Machine Matem prosv ser 3 5 MCNMO M 2001 140 144 G B Shabat Vokrug Ponsele Arhivna kopiya vid 27 kvitnya 2016 na Wayback Machine Litnya shkola Suchasna matematika 2014 m Dubna