Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Квадрика — n-вимірна гіперповерхня в n+1-вимірному просторі, що задана як множина нулів многочлена другого степеня. Якщо ввести координати {x1, x2, ..., xn+1} (в евклідовому або афінному просторі), загальне рівняння квадрики матиме вигляд
Це рівняння можна записати більш компактно в матричних термінах:
де X={x1, x2, ..., xn+1} — вектор-рядок;
XT — транспонований вектор-рядок (тобто вектор-стовпець);
Q — матриця розміру (n+1)×(n+1) (передбачається, що хоча б один її елемент ненульовий);
P — (n+1)-вимірний вектор-рядок;
R — константа.
Найбільш часто розглядають квадрики над дійсними або комплексними числами. Означення можна поширити на квадрики в проєктивному просторі.
Більш загально, множину нулів системи поліноміальних рівнянь можна розглядати як алгебричний многовид. Таким чином, квадрика є (аффінним або проєктивним) алгебричним многовидом другого степеня і ковимірності 1.
Квадрика в евклідовому просторі
Квадрики на евклідовій площині відповідають випадку n = 1, тобто є плоскими кривими. Зазвичай їх називають не квадриками, а коніками або конічними перетинами.
Квадрики в (тривимірному дійсному) евклідовому просторі мають розмірність n = 2 і називаються поверхнями другого порядку. Провівши ортогональну заміну базису, будь-яку квадрику в евклідовому просторі можна звести до нормальної форми. У тривимірному евклідовому просторі існує 17 таких форм. З них 5 є невиродженими (тобто відповідна їм білінійна форма Q є невиродженою). Вироджені форми можуть мати вигляд двох площин (паралельних, або таких, що перетинаються), двох прямих (паралельних, або таких, що перетинаються), точки, а також є випадок квадрики, яка не містить дійсних точок.
Невироджені дійсні квадрики в евклідовому просторі | ||
---|---|---|
Еліпсоїд | ||
Сфероїд (спеціальна форма еліпсоїда) | ||
Сфера (спеціальна форма сфероїда) | ||
Еліптичний параболоїд | ||
Круговий параболоїд (спеціальна форма еліптичного параболоїда) | ||
Гіперболічний параболоїд | ||
Однопорожнинний гіперболоїд | ||
Двопорожнинний гіперболоїд | ||
Вироджені квадрики в евклідовому просторі | ||
Еліптичний конус | ||
Круговий конус (спеціальна форма еліптичного конуса) | ||
Еліптичний циліндр | ||
Круговий циліндр (спеціальна форма еліптичного циліндра) | ||
Гіперболічний циліндр | ||
Параболічний циліндр |
Афінний та проєктивний простір
Класифікація квадрик у тривимірному афінному просторі збігається з класифікацією квадрик в евклідовому просторі. Різниця полягає в тому, що будь-які дві квадрики з одного класу можна перевести одну в одну афінним перетворенням, тоді як відповідне ортогональне перетворення існує не завжди (наприклад, еліпсоїд неможливо перевести рухом в еліпсоїд ).
Від квадрики в афінному просторі можна перейти до квадрики в проєктивному просторі, ввівши однорідні координати. Нехай у афінному просторі введені координати тоді в рівнянні квадрики достатньо помножити лінійні члени на а вільний член на Рівняння проєктивної квадрики в однорідних координатах має вигляд
Без обмеження загальности можна вважати, що матриця симетрична, тобто Проєктивна квадрика називається невиродженою, якщо відповідна їй квадратична форма невирождена.
У дійсному проєктивному просторі, відповідно до закону інерції, будь-яку невироджену квадратичну форму можна звести (проєктивним перетворенням) до вигляду
Оскільки сигнатура квадратичної форми є її інваріантом, в розмірності n = 2 існує рівно три класи еквівалентности:
Еліпсоїд, еліптичний параболоїд і двопорожнинний гіперболоїд належать другому класу, а гіперболічний параболоїд і однопорожнинний гіперболоїд — третьому (останні дві квадрики є прикладами лінійчатих поверхонь). Жодна квадрика в дійсному проєктивному просторі не належить першому класу, тому що відповідне рівняння визначає точку, а не поверхню. У комплексному проєктивному просторі всі невироджені квадрики еквівалентні.
Імовірність і статистика
Еліптичний розподіл, узагальнює багатовимірний нормальний розподіл і використовується в галузі фінансів, може бути визначеним з точки зору його функцій щільності. Коли він існує, функції щільності F мають структуру:
де це масштабний коефіцієнт, це -мірний випадковий вектор-рядок з середнім вектором , це позитивна матриця, яка пропорційна коваріаційній матриці, якщо остання існує, та є функцією, що відображає від невід'ємних до невід'ємних чисел кінцеву площу під кривою. Багатовимірний нормальний розподіл є окремим випадком, в якому для квадратичної форми .
Таким чином, функція щільності є скалярним перетворенням квадратичного виразу. Крім того, рівняння для будь-якої поверхні з щільністю заявляє, що квадратичний вираз дорівнює деякій константі, що відносяться до цього значення щільності.
Примітки
- Silvio Levy. . Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press) (англ.). Архів оригіналу за 18 Липня 2018. Процитовано 30 липня 2013.
- Sameen Ahmed Khan. Quadratic Surfaces in Science and Engineering (PDF) (англ.). Bulletin of the IAPT, 2(11), 327—330 (November 2010). (Publication of the Indian Association of Physics Teachers). Архів (PDF) оригіналу за 13 серпня 2013. Процитовано 30 липня 2013.
- Stewart Venit, Wayne Bishop, Elementary Linear Algebra (fourth edition), International Thompson Publishing, 1996.
- П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. С.275.
- Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275—286.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Kvadrika n vimirna giperpoverhnya v n 1 vimirnomu prostori sho zadana yak mnozhina nuliv mnogochlena drugogo stepenya Yaksho vvesti koordinati x1 x2 xn 1 v evklidovomu abo afinnomu prostori zagalne rivnyannya kvadriki matime viglyad i j 1n 1xiQijxj i 1n 1Pixi R 0 displaystyle sum i j 1 n 1 x i Q ij x j sum i 1 n 1 P i x i R 0 Ce rivnyannya mozhna zapisati bilsh kompaktno v matrichnih terminah XQXT PXT R 0 displaystyle mathrm X Q mathrm X T P mathrm X T R 0 de X x1 x2 xn 1 vektor ryadok XT transponovanij vektor ryadok tobto vektor stovpec Q matricya rozmiru n 1 n 1 peredbachayetsya sho hocha b odin yiyi element nenulovij P n 1 vimirnij vektor ryadok R konstanta Najbilsh chasto rozglyadayut kvadriki nad dijsnimi abo kompleksnimi chislami Oznachennya mozhna poshiriti na kvadriki v proyektivnomu prostori Bilsh zagalno mnozhinu nuliv sistemi polinomialnih rivnyan mozhna rozglyadati yak algebrichnij mnogovid Takim chinom kvadrika ye affinnim abo proyektivnim algebrichnim mnogovidom drugogo stepenya i kovimirnosti 1 Kvadrika v evklidovomu prostoriKvadriki na evklidovij ploshini vidpovidayut vipadku n 1 tobto ye ploskimi krivimi Zazvichaj yih nazivayut ne kvadrikami a konikami abo konichnimi peretinami Elips e 1 2 parabola e 1 i giperbola e 2 z fiksovanim fokusom F ta direktrisoyu Kvadriki v trivimirnomu dijsnomu evklidovomu prostori mayut rozmirnist n 2 i nazivayutsya poverhnyami drugogo poryadku Provivshi ortogonalnu zaminu bazisu bud yaku kvadriku v evklidovomu prostori mozhna zvesti do normalnoyi formi U trivimirnomu evklidovomu prostori isnuye 17 takih form Z nih 5 ye nevirodzhenimi tobto vidpovidna yim bilinijna forma Q ye nevirodzhenoyu Virodzheni formi mozhut mati viglyad dvoh ploshin paralelnih abo takih sho peretinayutsya dvoh pryamih paralelnih abo takih sho peretinayutsya tochki a takozh ye vipadok kvadriki yaka ne mistit dijsnih tochok Nevirodzheni dijsni kvadriki v evklidovomu prostori Elipsoyid x2a2 y2b2 z2c2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 2 over c 2 1 Sferoyid specialna forma elipsoyida x2a2 y2a2 z2b2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over a 2 z 2 over b 2 1 Sfera specialna forma sferoyida x2a2 y2a2 z2a2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over a 2 z 2 over a 2 1 Eliptichnij paraboloyid x2a2 y2b2 z 0 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 0 Krugovij paraboloyid specialna forma eliptichnogo paraboloyida x2a2 y2a2 z 0 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over a 2 z 0 Giperbolichnij paraboloyid x2a2 y2b2 z 0 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 0 Odnoporozhninnij giperboloyid x2a2 y2b2 z2c2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 2 over c 2 1 Dvoporozhninnij giperboloyid x2a2 y2b2 z2c2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 2 over c 2 1 Virodzheni kvadriki v evklidovomu prostori Eliptichnij konus x2a2 y2b2 z2c2 0 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 z 2 over c 2 0 Krugovij konus specialna forma eliptichnogo konusa x2a2 y2a2 z2b2 0 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over a 2 z 2 over b 2 0 Eliptichnij cilindr x2a2 y2b2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 1 Krugovij cilindr specialna forma eliptichnogo cilindra x2a2 y2a2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over a 2 1 Giperbolichnij cilindr x2a2 y2b2 1 displaystyle x 2 over a 2 y 2 over b 2 1 Parabolichnij cilindr x2 2ay 0 displaystyle x 2 2ay 0 Afinnij ta proyektivnij prostirKlasifikaciya kvadrik u trivimirnomu afinnomu prostori zbigayetsya z klasifikaciyeyu kvadrik v evklidovomu prostori Riznicya polyagaye v tomu sho bud yaki dvi kvadriki z odnogo klasu mozhna perevesti odnu v odnu afinnim peretvorennyam todi yak vidpovidne ortogonalne peretvorennya isnuye ne zavzhdi napriklad elipsoyid x2 y2 z2 1 displaystyle x 2 y 2 z 2 1 nemozhlivo perevesti ruhom v elipsoyid 2x2 2y2 2z2 1 displaystyle 2x 2 2y 2 2z 2 1 Vid kvadriki v afinnomu prostori mozhna perejti do kvadriki v proyektivnomu prostori vvivshi odnoridni koordinati Nehaj u afinnomu prostori vvedeni koordinati x1 x2 xn 1 displaystyle x 1 x 2 ldots x n 1 todi v rivnyanni kvadriki dostatno pomnozhiti linijni chleni na x0 displaystyle x 0 a vilnij chlen na x02 displaystyle x 0 2 Rivnyannya proyektivnoyi kvadriki v odnoridnih koordinatah maye viglyad Q x ijaijxixj 0 displaystyle Q x sum ij a ij x i x j 0 Bez obmezhennya zagalnosti mozhna vvazhati sho matricya Q displaystyle Q simetrichna tobto aij aji displaystyle a ij a ji Proyektivna kvadrika nazivayetsya nevirodzhenoyu yaksho vidpovidna yij kvadratichna forma nevirozhdena U dijsnomu proyektivnomu prostori vidpovidno do zakonu inerciyi bud yaku nevirodzhenu kvadratichnu formu mozhna zvesti proyektivnim peretvorennyam do viglyadu Q x x02 x12 xn 12 displaystyle Q x pm x 0 2 pm x 1 2 pm cdots pm x n 1 2 Oskilki signatura kvadratichnoyi formi ye yiyi invariantom v rozmirnosti n 2 isnuye rivno tri klasi ekvivalentnosti Q x x02 x12 x22 x32x02 x12 x22 x32x02 x12 x22 x32 displaystyle Q x begin cases x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 0 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 end cases Elipsoyid eliptichnij paraboloyid i dvoporozhninnij giperboloyid nalezhat drugomu klasu a giperbolichnij paraboloyid i odnoporozhninnij giperboloyid tretomu ostanni dvi kvadriki ye prikladami linijchatih poverhon Zhodna kvadrika v dijsnomu proyektivnomu prostori ne nalezhit pershomu klasu tomu sho vidpovidne rivnyannya viznachaye tochku a ne poverhnyu U kompleksnomu proyektivnomu prostori vsi nevirodzheni kvadriki ekvivalentni Imovirnist i statistikaEliptichnij rozpodil uzagalnyuye bagatovimirnij normalnij rozpodil i vikoristovuyetsya v galuzi finansiv mozhe buti viznachenim z tochki zoru jogo funkcij shilnosti Koli vin isnuye funkciyi shilnosti F mayut strukturu f x k g x m S 1 x m T displaystyle f x k cdot g x mu Sigma 1 x mu T de k displaystyle k ce masshtabnij koeficiyent x displaystyle x ce n displaystyle n mirnij vipadkovij vektor ryadok z serednim vektorom m displaystyle mu S displaystyle Sigma ce pozitivna matricya yaka proporcijna kovariacijnij matrici yaksho ostannya isnuye ta g displaystyle g ye funkciyeyu sho vidobrazhaye vid nevid yemnih do nevid yemnih chisel kincevu ploshu pid krivoyu Bagatovimirnij normalnij rozpodil ye okremim vipadkom v yakomug z e z 2 displaystyle g z e z 2 dlya kvadratichnoyi formi z displaystyle z Takim chinom funkciya shilnosti ye skalyarnim peretvorennyam kvadratichnogo virazu Krim togo rivnyannya dlya bud yakoyi poverhni z shilnistyu zayavlyaye sho kvadratichnij viraz dorivnyuye deyakij konstanti sho vidnosyatsya do cogo znachennya shilnosti PrimitkiSilvio Levy Geometry Formulas and Facts excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas CRC Press angl Arhiv originalu za 18 Lipnya 2018 Procitovano 30 lipnya 2013 Sameen Ahmed Khan Quadratic Surfaces in Science and Engineering PDF angl Bulletin of the IAPT 2 11 327 330 November 2010 Publication of the Indian Association of Physics Teachers Arhiv PDF originalu za 13 serpnya 2013 Procitovano 30 lipnya 2013 Stewart Venit Wayne Bishop Elementary Linear Algebra fourth edition International Thompson Publishing 1996 P S Aleksandrov Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry S 275 Frahm G Junker M amp Szimayer A 2003 Elliptical copulas applicability and limitations Statistics amp Probability Letters 63 3 275 286