Кручення (алгебра)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Скрут.

У загальній алгебрі, термін скрут (іноді кручення, за́крут) стосується елементів групи, що має скінченний порядок, або елементів модуля, що анулюються регулярним елементом кільця.

Визначення

Елемент g групи G називається елементом закруту, якщо він має скінченний порядок, тобто існує натуральне n, таке що gⁿ = e, де e позначає нейтральний елемент групи. Група називається періодичною (або групою із за́крутом), якщо всі її елементи є елементами закруту, і безза́крутовою групою, якщо єдиний елемент закруту — нейтральний. Відомо, що будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел; зокрема, визначення елемента закруту для неї можна переформулювати так: існує ненульове ціле число, таке що множення на це число переводить даний елемент в нуль. Це приводить до такого визначення:

Елемент m модуля M над кільцем R називається елементом за́круту, якщо існує ненульовий регулярний елемент r кільця R (тобто елемент, який не є лівим або правим дільником нуля), що анулює m, тобто такий, що rm = 0.

У разі роботи з цілісним кільцем припущення регулярності можна відкинути. Аналогічно визначаються модуль закруту і модуль без закруту. У разі, якщо кільце R комутативне, множина всіх елементів закруту модуля M утворює підмодуль, званий підмодулем закруту (зокрема, для модуля над Z він називається підгрупою закруту).

Загальніше, нехай M — модуль над кільцем R і S — мультиплікативно замкнута система кільця. Елемент m модуля M називається елементом S-закруту, якщо існує елемент мультиплікативної системи, який анулює m. Зокрема, множина регулярних елементів кільця є найбільшою мультиплікативною системою.

Приклади

• Нехай M — вільний модуль над кільцем R, з визначення негайно випливає, що M є модулем без закруту. Зокрема, векторні простори не мають закруту.
• В модулярній групі будь-який нетривіальний елемент закруту або має порядок 2 і є спряженим з S, або має порядок 3 і є спряженим з ST. Елементи закруту тут не утворюють підгрупи: наприклад, S · ST = T, а T має нескінченний порядок.
• Абелева група ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ (яку можна уявляти як групу поворотів кола на кут, сумірний з довжиною кола) є групою кручення. Цей приклад можна узагальнити так: якщо R — комутативне кільце, а Q — його поле часток, то Q/R є групою закруту.
• Нехай задано векторний простір V над полем F з лінійним оператором. Якщо природним чином розглядати цей простір як F(x)-модуль, то цей модуль є модулем закруту (за теоремою Гамільтона-Келі, або просто через скінченновимірність простору).

Випадок області головних ідеалів

Нехай R — область головних ідеалів, і M — скінченнопороджений R-модуль. За відповідною структурною теоремою, цей модуль можна розкласти в пряму суму

${\displaystyle M\simeq F\oplus T(M),}$

де F — вільний R-модуль, а T(M) — підмодуль закруту модуля M. Для модулів, які не є скінченнопородженими, такого розкладу, взагалі кажучи, не існує: навіть підгрупа закруту абелевої групи не обов'язково є прямим доданком.

Кручення і локалізація

Нехай R — область цілісності з полем часток Q, а M — R-модуль. Тоді можна розглянути Q-модуль (тобто векторний простір)

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q.}$

Існує природний гомоморфізм ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$ з абелевої групи M в абелеву групу M_Q, і ядро цього гомоморфізму — точно підмодуль закруту. Аналогічно, для локалізації кільця R за мультиплікативною системою S

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

ядро природного гомоморфізму — це точно елементи S-закруту. Таким чином, підмодуль закруту можна розуміти як множину тих елементів, які ототожнюються при локалізації.

Закрут у гомологічній алгебрі

Поняття закруту відіграє важливу роль у гомологічній алгебрі. Якщо M і N — модулі над комутативним кільцем R, функтор Tor дозволяє отримати сімейство R-модулів Tor_i(M,N). При цьому модуль S-закруту модуля M природно ізоморфний Tor₁(M, R,_S/R). Зокрема, з цього зразу випливає, що плоскі модулі є модулями без закруту. Назва Tor є скороченням від англійського torsion (закрут).

Примітки

1. М. М. Семко, М. М. Пискун. Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп (PDF) (укр) . ISSN 1025-6415. Процитовано 22 лютого 2021.
2. О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. Теорія груп / Навчальний посібник для студентів механіко-математичного факультету. — Київ : Видавничо–поліграфічний центр “Київський університет”, 2005.
3. В. О. Оніщук, Б. К. Гануліч. Групи, що задовольняють слабку умову мінімальності для неабелевих субнормальних підгруп // Комп'ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. — Луцький національний технічний університет, 2011. — № 3. — С. 167. з джерела 21 квітня 2018. Процитовано.
4. Термін у словниках

Література

• Ernst Kunz, Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser 1985 —
• Irving Kaplansky, Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001), Torsion submodule [ 5 травня 2014 у Wayback Machine.], in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer —