Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.
Визначення
Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.
- Модуль над кільцем (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма і епіморфізма існує такий гомоморфізм , що , тобто дана діаграма є комутативною:
- Модуль є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль , що пряма сума є вільним модулем.
- Справді, нехай є компонентою прямої суми , яка є вільним модулем, і — гомоморфізм, a — епіморфізм. Тоді теж є гомоморфізмом ( — проєкція прямої суми на перший доданок ), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм , такий, що , звідси , де — гомоморфізм включення , звідси
- Справді, нехай є компонентою прямої суми , яка є вільним модулем, і — гомоморфізм, a — епіморфізм. Тоді теж є гомоморфізмом ( — проєкція прямої суми на перший доданок ), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм , такий, що , звідси , де — гомоморфізм включення , звідси
- Навпаки, нехай — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм буде рівним для деякого , так як є проєктивним. Будь-який елемент тоді можна записати як
- ,
- де є ізоморфним .
- Навпаки, нехай — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм буде рівним для деякого , так як є проєктивним. Будь-який елемент тоді можна записати як
- є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма індукований гомоморфізм теж є епіморфізмом.
- є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність в точну послідовність .
- Модуль є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду
- розщеплюється. Тобто для відображення f : B ↠ P на діаграмі існує відображення h : P → B, таке що f ∘ h = idP. У цьому випадку h(P) є прямим доданком модуля B, h є ізоморфізмом із P на h(P), а h ∘ f є проєкцією на h(P). Це також можна записати як
- Модуль над кільцем є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина і множина гомоморфізмів таких що для кожного виконується рівність і fi(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
- Модуль над кільцем є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову (і тому )
Властивості
- Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
- Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
- Будь-який проєктивний модуль є плоским.
- Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.
Приклади
- Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль .
- Справді, нехай — елементи базису модуля і . Оскільки — епіморфізм, можна знайти такі , що . Тоді можна визначити, задавши його значення на векторах базису як .
- Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
- У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
- Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Proyektivnij modul vazhlivij tip moduliv sho ye uzagalnennyam vilnih moduliv Z tochki zoru teoriyi kategorij proyektivni moduli ye okremim vipadkom proyektivnih ob yektiv ViznachennyaProyektivnij modul mozhna viznachiti kilkoma ekvivalentnimi sposobami Modul P displaystyle P nad kilcem R displaystyle R yak pravilo vvazhayetsya asociativnim z odinichnim elementom nazivayetsya proyektivnim yaksho dlya bud yakogo gomomorfizma g P M displaystyle g colon P to M i epimorfizma f N M displaystyle f colon N to M isnuye takij gomomorfizm h P N displaystyle h colon P to N sho g f h displaystyle g fh tobto dana diagrama ye komutativnoyu Diagrama dlya proyektovanogo modulya Modul P displaystyle P ye proyektivnim todi i tilki todi koli isnuye takij modul K displaystyle K sho pryama suma F P K displaystyle F P oplus K ye vilnim modulem Spravdi nehaj P displaystyle P ye komponentoyu pryamoyi sumi F displaystyle F yaka ye vilnim modulem i g P M displaystyle g colon P to M gomomorfizm a f N M displaystyle f colon N to M epimorfizm Todi g p 1 F M displaystyle g circ p 1 colon F to M tezh ye gomomorfizmom p 1 displaystyle p 1 proyekciya pryamoyi sumi F displaystyle F na pershij dodanok P displaystyle P a tak yak vilni moduli ye proyektivnimi to isnuye gomomorfizm h 1 F N displaystyle h 1 colon F to N takij sho g p 1 f h 1 displaystyle g circ p 1 f circ h 1 zvidsi g p 1 i 1 f h 1 i 1 displaystyle g circ p 1 circ i 1 f circ h 1 circ i 1 de i 1 displaystyle i 1 gomomorfizm vklyuchennya P F displaystyle P to F zvidsig f h 1 i 1 P M displaystyle g f circ h 1 circ i 1 colon P to M dd dd Navpaki nehaj P displaystyle P proyektivnij modul Kozhen modul ye gomomorfnim obrazom vilnogo Nehaj g F P displaystyle g colon F to P vidpovidnij epimorfizm Todi totozhnij izomorfizm i d P P displaystyle id colon P to P bude rivnim i d g h displaystyle id g circ h dlya deyakogo h P F displaystyle h colon P to F tak yak P displaystyle P ye proyektivnim Bud yakij element F displaystyle F todi mozhna zapisati yakx h g x x h g x I m h K e r g displaystyle x h circ g x x h circ g x in mathrm Im h oplus mathrm Ker g de I m h displaystyle mathrm Im h ye izomorfnim P displaystyle P dd dd P displaystyle P ye proyektivnim todi i tilki todi koli dlya bud yakogo epimorfizma f N M displaystyle f colon N to M indukovanij gomomorfizm f Hom P N Hom P M displaystyle f colon text Hom P N to text Hom P M tezh ye epimorfizmom P displaystyle P ye proyektivnim todi i tilki todi koli vin perevodit bud yaku korotku tochnu poslidovnist 0 A B C 0 displaystyle 0 to A to B to C to 0 v tochnu poslidovnist 0 Hom P A Hom P B Hom P C 0 displaystyle 0 to text Hom P A to text Hom P B to text Hom P C to 0 Modul P displaystyle P ye proyektivnim todi i tilki todi koli kozhna korotka tochna poslidovnist moduliv vidu 0 A B f P 0 displaystyle 0 rightarrow A rightarrow B xrightarrow f P rightarrow 0 dd rozsheplyuyetsya Tobto dlya vidobrazhennya f B P na diagrami isnuye vidobrazhennya h P B take sho f h idP U comu vipadku h P ye pryamim dodankom modulya B h ye izomorfizmom iz P na h P a h f ye proyekciyeyu na h P Ce takozh mozhna zapisati yak B I m h K e r f K e r f A I m h P displaystyle B mathrm Im h oplus mathrm Ker f mathrm Ker f cong A land mathrm Im h cong P dd Modul P displaystyle P nad kilcem R displaystyle R ye proyektivnim todi i tilki todi koli isnuye mnozhina a i P i I displaystyle a i in P mid i in I i mnozhina gomomorfizmiv f i H o m P R i I displaystyle f i in mathrm Hom P R mid i in I takih sho dlya kozhnogo x P displaystyle x in P vikonuyetsya rivnist x f i x a i displaystyle x sum f i x a i i fi x ne rivne nulyu lishe dlya skinchennoyi kilkosti indeksiv i Modul P displaystyle P nad kilcem R displaystyle R ye proyektivnim todi i tilki todi koli dlya vsih R moduliv T funktor Ext zadovolnyaye umovu Ext R 1 P T 0 displaystyle operatorname Ext R 1 P T 0 i tomu Ext R i P T 0 i gt 0 displaystyle operatorname Ext R i P T 0 i gt 0 VlastivostiPryama suma moduliv ye proyektivnim modulem todi i tilki todi koli kozhen dodanok ye proyektivnim Bud yakij proyektivnij modul nad kilcem golovnih idealiv abo lokalnim komutativnim kilcem ye vilnim modulem Bud yakij proyektivnij modul ye ploskim Lokalizaciya proyektivnogo modulya nad komutativnim kilcem ye proyektivnim modulem nad lokalizovanim kilcem Oskilki proyektivnij modul nad lokalnim kilcem ye vilnim to lokalizaciya kilcya modulya po vsih prostih idealah ye vilnim modulem Takozh cya vlastivist opisuyetsya tak sho proyektivnij modul ye lokalno vilnim PrikladiNajprostishij priklad proyektivnogo modulya vilnij modul F displaystyle F Spravdi nehaj x 1 x 2 x i displaystyle x 1 x 2 ldots x i ldots elementi bazisu modulya F displaystyle F i g x i y i displaystyle g x i y i Oskilki f displaystyle f epimorfizm mozhna znajti taki z i displaystyle z i sho f z i y i displaystyle f z i y i Todi h displaystyle h mozhna viznachiti zadavshi jogo znachennya na vektorah bazisu yak h x i z i displaystyle h x i z i Dlya kilec mnogochleniv vid kilkoh zminnih nad polem bud yakij proyektivnij modul ye vilnim U kilci Dedekinda kozhen ideal sho ne ye golovnim ye proyektivnim modulem i ne ye vilnim modulem Abeleva grupa ye proyektivnim modulem todi i tilki todi koli vona ye vilnoyu Div takozhLema Shaunelya Vilnij modul In yektivnij modul Proyektivnij ob yektLiteraturaLeng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros