Ромбозрізаний ікосододекаедр

Ромбозрізаний ікосододекаедр або зрізаний ікосододекаедр — напівправильний многогранник (архімедове тіло) з 62 гранями, складений із 30 квадратів, 20 правильних шестикутників і 12 правильних десятикутників.

Ромбозрізаний ікосододекаедр
Тип	архімедове тіло
Граней	62: 30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників
Ребер	180
Вершин	120
Конфігурація вершин	4.6.10
	2 3 5 |
Символ Шлефлі	tr{5,3}
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Ih (ікосаедрична)
Площа поверхні	${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}}$
Двогранний кут (градуси)	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159,095°
Дуальний многогранник
опуклий, ізогональний
Вершинна діаграма
Розгортка

У кожній з його 120 однакових вершин сходяться одна квадратна грань, одна шестикутна та одна десятикутна. Тілесний кут при вершині дорівнює рівно ${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi .}$

Має 180 ребер рівної довжини. При 60 ребрах (між квадратною та шестикутною гранями) двогранні кути рівні ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 159{,}09^{\circ },}$ при 60 ребрах (між квадратною та десятикутною гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx 148{,}28^{\circ },}$ при 60 ребрах (між шестикутною та десятикутною гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ }.}$

Споріднений многогранник, що не є напівправильним.

Назва «зрізаний ікосододекаедр», яку спочатку дав цьому многограннику Кеплер, здатна ввести в оману. Справа в тому, що в результаті операції зрізання, «зрізавши» з ікосододекаедра 30 чотирикутних пірамід, можна отримати лише дещо інший многогранник, чотирикутні грані якого — золоті прямокутники, а не квадрати. Отриманий многогранник напівправильним не є; втім, він ізоморфний справжньому ромбозрізаному ікосододекаедру і його можна перетворити на такий за допомогою невеликої деформації.

У координатах

Ромбозрізаний ікосододекаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб координати його вершин були всілякими циклічними перестановками наборів чисел

• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),}$
• ${\displaystyle (\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),}$

де ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — відношення золотого перетину.

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його описаної та напіввписаної сфер.

Метричні характеристики

Якщо ромбозрізаний ікосододекаедр має ребро довжини ${\displaystyle a}$, його площа поверхні та об'єм виражаються як

${\displaystyle S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 174{,}2920303a^{2},}$

${\displaystyle V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206{,}8033989a^{3}.}$

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини многогранника) при цьому дорівнюватиме

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}8023945a;}$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) —

${\displaystyle \rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7693771a.}$

Вписати в ромбозрізаний ікосододекаедр сферу так, щоб вона дотикалася до всіх граней, неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині ромбозрізаного ікосододекаедра з ребом ${\displaystyle a}$ (вона дотикатиметься лише до всіх десятикутних граней у їхніх центрах), дорівнює

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}4409548a.}$

Відстані від центра многогранника до шестикутних і квадратних граней перевищують ${\displaystyle r_{10}}$ і рівні відповідно

${\displaystyle r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}6685425a,}$

${\displaystyle r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\approx 3{,}7360680a.}$

Визначні властивості

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона із заданою довжиною ребра ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільший об'єм, найбільшу площу поверхні та найбільший діаметр.

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільшу кількість вершин і найбільшу кількість ребер (але не найбільшу кількість граней — тут перше місце займає кирпатий додекаедр).

Пов'язані многогранники

Сімейство однорідних ікосаедричних багатогранників

Симетрія: , (*532)							[5,3]^+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Двоїсті до однорідних багатогранників
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5		V3.3.3.3.3

Примітки

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 40.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 434.
3. Люстерник, 1956, с. 184.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Ромбозрізаний ікосододекаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, ^[ru], ^[ru]. — М. : ^[ru], 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : ^[ru], 1956.