Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
У геометрії вершинна фігура, загалом кажучи, — фігура, яка відкривається, коли зрізати кут многогранника або політопа.
Визначення
Візьмемо одну з вершин многогранника та позначимо точку на кожному з ребер, що виходять із неї. Побудуємо відрізки на гранях, що сходяться у вершині, з'єднуючи відповідні точки. Ці відрізки утворять навколо вершини замкнутий контур, тобто многокутник, який і є вершинною фігурою.
Точніші формальні визначення можуть варіюватися в досить широких межах залежно від обставин. Наприклад, Коксетер (наприклад, у 1948, 1954 роках) змінює своє визначення, щоб воно було зручним для поточного обговорення. Більшість наведених нижче визначень вершинної фігури однаково добре застосовуються до нескінченних мозаїк, розширюється до стільників, які заповнюють простір комірками-політоамив та інших політопів вищої розмірності.
Як плоский зріз
Зріжемо кут многогранника, перерізавши всі ребра, з'єднані з вершиною. Поверхня зрізу утворює вершинну фігуру. Це, мабуть, найпоширеніший підхід і його найлегше зрозуміти. Різні автори роблять зріз у різних місцях. Веннінґер (2003) розрізає кожне ребро на одиничній відстані від вершини, як і Коксетер (1948). В однорідних многогранниках під час побудови Дормана Люка розрізають кожне з ребер посередині. Інші автори роблять розріз через вершину на іншому кінці кожного ребра.
У неправильному многограннику розрізання всіх ребер, інцидентних даній вершині, на однаковій відстані від вершини, може створити фігуру, яка не є плоскою. Загальніший підхід, який спрацьовує для довільних опуклих многогранників, полягає в тому, щоб зробити розріз будь-якою площиною, яка відокремлює дану вершину від усіх інших вершин. Ця побудова визначає комбінаторну структуру вершинної фігури, подібно до набору з'єднаних вершин (див. нижче), але не її точну геометрію; її можна узагальнити на опуклі політопи будь-якої розмірності. Однак для неопуклих многогранників може не існувати площина біля вершини, яка перетинає всі грані, інцидентні цій вершині.
Як сферичний многокутник
Кромвель (1999) пропонує формувати вершинну фігуру, перетинаючи многогранник сферою з центром у вершині, достатньо малою, щоб вона перетинала лише ребра та грані, інцидентні вершині. Це можна візуалізувати як створення сферичної виїмки з центром у вершині. Поверхня розрізу або вершинна фігура в такому разі є сферичним многокутником, утвореним на цій сфері. Однією з переваг цього методу є те, що форма вершинної фігури фіксована (з точністю до розміру сфери), тоді як за перетину площиною можуть виникати різні форми, залежно від кута нахилу площини. Крім того, цей метод працює для неопуклих многогранників.
Як множина з'єднаних вершин
Багато комбінаторних і обчислювальних підходів (наприклад, Skilling, 1975) розглядають вершинну фігуру як упорядковану (або частково впорядковану) множину точок — усіх вершин, сусідніх (з'єднаних ребром) із даною вершиною.
Абстрактне визначення
У теорії абстрактних многогранників вершинна фігура в даній вершині V містить усі елементи, які інцидентні вершині; ребра, грані тощо. Формальніше, це (n−1)-розріз Fn/V, де F n — найбільша грань.
Цей набір елементів також відомий як вершинна зірка. Геометричну вершинну фігуру та вершинну зірку можна розуміти як різні реалізації одного абстрактного розрізу.
Загальні властивості
Вершина фігура n-політопа є (n−1)-політопом. Наприклад, вершинна фігура многогранника є многокутником, а вершинна фігура 4-політопа є многогранником.
Загалом, вершинна фігура може бути не плоскою.
Для неопуклих многогранників вершинна фігура також може бути неопуклою. Однорідні многогранники, наприклад, можуть мати гранями та/або вершинними фігурами зірчасті многокутники.
Ізогональні фігури
Вершинні фігури особливо важливі для однорідних та інших ізогональних (вершино-транзитивних) многогранників, оскільки одна вершинна фігура може визначати весь многогранник.
Для многогранників із правильними гранями вершинну фігуру можна представити в нотації конфігурації вершини послідовно перелічивши грані навколо вершини. Наприклад, 3.4.4.4 — вершина з одним трикутником і трьома квадратами, і вона визначає рівномірний ромбокубооктаедр.
Якщо многогранник ізогональний, вершинна фігура лежить у гіперплощині n-простору.
Побудови
Від суміжних вершин
Розглядаючи зв'язність цих сусідніх вершин, можна побудувати вершинну фігуру для кожної вершини многогранника:
- Кожна вершина вершинної фігури збігається з вершиною початкового многогранника.
- Кожне ребро вершинної фігури лежить на грані початкового многогранника або всередині нього і з'єднує дві протилежні вершини початкової грані.
- Кожна грань вершинної фігури лежить всередині або на комірці початкового n-політопа (для n > 3).
- … і так далі до елементів вищого порядку у многогранниках вищого порядку.
Побудова Дормана Люка
В однорідному многограннику грань двоїстого многогранника можна знайти за вершинною фігурою початкового многогранника за допомогою побудови (Дормана Люка).
Правильні політопи
Якщо політоп правильний, його можна подати символом Шлефлі, і, як комірку, так і вершинну фігуру, можна тривіально добути з цього запису.
Загалом правильний політоп із символом Шлефлі {a,b,c,…,y,z} має комірки як {a,b,c,…,y} і вершинні фігури як {b,c,…,y,z}.
- Вершинною фігурою правильного многогранника {p,q} є {q}, тобто q-кутник.
- Наприклад, вершинною фігурою куба {4,3} є трикутник {3}.
- Вершинною фігурою [en] або просторового замощення {p,q,r} є {q,r}.
- Наприклад, вершинною фігурою гіперкуба {4,3,3} є правильний тетраедр {3,3}.
- А вершинною фігурою [en] {4,3,4} є правильний октаедр {3,4}.
Оскільки двоїстий політоп правильного політопа також є правильним і представлений символом Шлефлі зі зворотним порядком індексів, легко бачити, що двоїстою до вершинної фігури є комірка двоїстого многогранника. Для правильних многогранників це окремий випадок побудови Дормана Люка.
Приклад вершинної фігури стільника
Вершинна фігура зрізаного кубічного стільника являє собою неоднорідну квадратну піраміду. в У кожній вершині сходяться один октаедр і чотири зрізані куби, заповнюючи простір.
| Вершинна фігура: неоднорідна квадратна піраміда… |  Діаграма Шлегеля |  Перспектива |
| …утворена квадратною основою октаедра… |  (3.3.3.3) | |
| …та чотирма рівнобедреними трикутниками зі зрізаних кубів |  (3.8.8) |
Реберна фігура
Стосовно вершинної фігури реберна фігура є вершинною фігурою вершинної фігури. Реберні фігури корисні для вираження зв'язків між елементами в межах правильних і однорідних многогранників.
Реберна фігура буде (n−2)-політопом, що представляє розташування фасет навколо даного ребра. Правильні політопи та політопи з однокільцевою діаграмою Коксетера матимуть один тип ребер. Загалом, однорідний політоп може мати стільки типів ребер, скільки активних дзеркал[] у конструкції, оскільки кожне активне дзеркало створює у фундаментальній області одне ребро.
Правильні політопи (і стільники) мають єдину реберну фігуру, яка також є правильною. Реберною фігурою правильного політопа {p,q,r,s,…,z} є {r,s,…,z}.
У чотирьох вимірах реберна фігура 4-політопа або 3-стільника є многокутником, який представляє розташування фасет навколо ребра. Наприклад, реберною фігурою правильного {4,3,4} є квадрат, а правильного 4-політопа {p,q,r} — многокутник {r}.
Менш тривіально, t0,1{4,3,4}, має вершинною фігурою квадратну піраміду, а комірками — зрізаний куб і октаедр. Тут є два типи реберних фігур. Одна з них — фігура з квадратним краєм на вершині піраміди, яка відповідає розташуванню чотирьох зрізаних кубів навколо ребра. Інші чотири реберні фігури є рівнобедреними трикутниками на вершинах основи піраміди. Вони відповідають розташуванню двох зрізаних кубів і одного октаедра навколо інших ребер.
Див. також
- Конфігурація вершини
- [en] — абстрактне поняття, пов'язане з фігурою вершини.
- [en]
Примітки
- Coxeter, H. et al. (1954).
- Skilling, J. (1975).
- Klitzing: Vertex figures, etc.
Література
- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Hbk (1948), ppbk (1973).
- H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 246 A (1954) pp. 401–450.
- P. Cromwell, Polyhedra, CUP pbk. (1999).
- H.M. Cundy and A.P. Rollett, Mathematical Models, Oxford Univ. Press (1961).
- J. Skilling, The Complete Set of Uniform Polyhedra, Phil. Trans. 278 A (1975) pp. 111–135.
- M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003).
- The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, (p289 Vertex figures)
Посилання
- Weisstein, Eric W. Vertex figure(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Olshevsky, George. . Glossary for Hyperspace.
- Vertex Figures
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U geometriyi vershinna figura zagalom kazhuchi figura yaka vidkrivayetsya koli zrizati kut mnogogrannika abo politopa Pivrebrova vershinna figura kubaViznachennya Cilorebrova vershinna figura kuba Sferichna vershinna figura kuba Vershinna figura kuba zadana mnozhinoyu tochok Vizmemo odnu z vershin mnogogrannika ta poznachimo tochku na kozhnomu z reber sho vihodyat iz neyi Pobuduyemo vidrizki na granyah sho shodyatsya u vershini z yednuyuchi vidpovidni tochki Ci vidrizki utvoryat navkolo vershini zamknutij kontur tobto mnogokutnik yakij i ye vershinnoyu figuroyu Tochnishi formalni viznachennya mozhut variyuvatisya v dosit shirokih mezhah zalezhno vid obstavin Napriklad Kokseter napriklad u 1948 1954 rokah zminyuye svoye viznachennya shob vono bulo zruchnim dlya potochnogo obgovorennya Bilshist navedenih nizhche viznachen vershinnoyi figuri odnakovo dobre zastosovuyutsya do neskinchennih mozayik rozshiryuyetsya do stilnikiv yaki zapovnyuyut prostir komirkami politoamiv ta inshih politopiv vishoyi rozmirnosti Yak ploskij zriz Zrizhemo kut mnogogrannika pererizavshi vsi rebra z yednani z vershinoyu Poverhnya zrizu utvoryuye vershinnu figuru Ce mabut najposhirenishij pidhid i jogo najlegshe zrozumiti Rizni avtori roblyat zriz u riznih miscyah Venninger 2003 rozrizaye kozhne rebro na odinichnij vidstani vid vershini yak i Kokseter 1948 V odnoridnih mnogogrannikah pid chas pobudovi Dormana Lyuka rozrizayut kozhne z reber poseredini Inshi avtori roblyat rozriz cherez vershinu na inshomu kinci kozhnogo rebra U nepravilnomu mnogogranniku rozrizannya vsih reber incidentnih danij vershini na odnakovij vidstani vid vershini mozhe stvoriti figuru yaka ne ye ploskoyu Zagalnishij pidhid yakij spracovuye dlya dovilnih opuklih mnogogrannikiv polyagaye v tomu shob zrobiti rozriz bud yakoyu ploshinoyu yaka vidokremlyuye danu vershinu vid usih inshih vershin Cya pobudova viznachaye kombinatornu strukturu vershinnoyi figuri podibno do naboru z yednanih vershin div nizhche ale ne yiyi tochnu geometriyu yiyi mozhna uzagalniti na opukli politopi bud yakoyi rozmirnosti Odnak dlya neopuklih mnogogrannikiv mozhe ne isnuvati ploshina bilya vershini yaka peretinaye vsi grani incidentni cij vershini Yak sferichnij mnogokutnik Kromvel 1999 proponuye formuvati vershinnu figuru peretinayuchi mnogogrannik sferoyu z centrom u vershini dostatno maloyu shob vona peretinala lishe rebra ta grani incidentni vershini Ce mozhna vizualizuvati yak stvorennya sferichnoyi viyimki z centrom u vershini Poverhnya rozrizu abo vershinna figura v takomu razi ye sferichnim mnogokutnikom utvorenim na cij sferi Odniyeyu z perevag cogo metodu ye te sho forma vershinnoyi figuri fiksovana z tochnistyu do rozmiru sferi todi yak za peretinu ploshinoyu mozhut vinikati rizni formi zalezhno vid kuta nahilu ploshini Krim togo cej metod pracyuye dlya neopuklih mnogogrannikiv Yak mnozhina z yednanih vershin Bagato kombinatornih i obchislyuvalnih pidhodiv napriklad Skilling 1975 rozglyadayut vershinnu figuru yak uporyadkovanu abo chastkovo vporyadkovanu mnozhinu tochok usih vershin susidnih z yednanih rebrom iz danoyu vershinoyu Abstraktne viznachennya U teoriyi abstraktnih mnogogrannikiv vershinna figura v danij vershini V mistit usi elementi yaki incidentni vershini rebra grani tosho Formalnishe ce n 1 rozriz Fn V de F n najbilsha gran Cej nabir elementiv takozh vidomij yak vershinna zirka Geometrichnu vershinnu figuru ta vershinnu zirku mozhna rozumiti yak rizni realizaciyi odnogo abstraktnogo rozrizu Zagalni vlastivostiVershina figura n politopa ye n 1 politopom Napriklad vershinna figura mnogogrannika ye mnogokutnikom a vershinna figura 4 politopa ye mnogogrannikom Zagalom vershinna figura mozhe buti ne ploskoyu Dlya neopuklih mnogogrannikiv vershinna figura takozh mozhe buti neopukloyu Odnoridni mnogogranniki napriklad mozhut mati granyami ta abo vershinnimi figurami zirchasti mnogokutniki Izogonalni figuri Vershinni figuri osoblivo vazhlivi dlya odnoridnih ta inshih izogonalnih vershino tranzitivnih mnogogrannikiv oskilki odna vershinna figura mozhe viznachati ves mnogogrannik Dlya mnogogrannikiv iz pravilnimi granyami vershinnu figuru mozhna predstaviti v notaciyi konfiguraciyi vershini poslidovno perelichivshi grani navkolo vershini Napriklad 3 4 4 4 vershina z odnim trikutnikom i troma kvadratami i vona viznachaye rivnomirnij rombokubooktaedr Yaksho mnogogrannik izogonalnij vershinna figura lezhit u giperploshini n prostoru PobudoviVid sumizhnih vershin Rozglyadayuchi zv yaznist cih susidnih vershin mozhna pobuduvati vershinnu figuru dlya kozhnoyi vershini mnogogrannika Kozhna vershina vershinnoyi figuri zbigayetsya z vershinoyu pochatkovogo mnogogrannika Kozhne rebro vershinnoyi figuri lezhit na grani pochatkovogo mnogogrannika abo vseredini nogo i z yednuye dvi protilezhni vershini pochatkovoyi grani Kozhna gran vershinnoyi figuri lezhit vseredini abo na komirci pochatkovogo n politopa dlya n gt 3 i tak dali do elementiv vishogo poryadku u mnogogrannikah vishogo poryadku Pobudova Dormana Lyuka V odnoridnomu mnogogranniku gran dvoyistogo mnogogrannika mozhna znajti za vershinnoyu figuroyu pochatkovogo mnogogrannika za dopomogoyu pobudovi Dormana Lyuka Pravilni politopi Vershinnoyu figuroyu velikogo ikosaedra ye pravilna pentagrama abo zirchastij mnogokutnik 5 2 Yaksho politop pravilnij jogo mozhna podati simvolom Shlefli i yak komirku tak i vershinnu figuru mozhna trivialno dobuti z cogo zapisu Zagalom pravilnij politop iz simvolom Shlefli a b c y z maye komirki yak a b c y i vershinni figuri yak b c y z Vershinnoyu figuroyu pravilnogo mnogogrannika p q ye q tobto q kutnik Napriklad vershinnoyu figuroyu kuba 4 3 ye trikutnik 3 Vershinnoyu figuroyu en abo prostorovogo zamoshennya p q r ye q r Napriklad vershinnoyu figuroyu giperkuba 4 3 3 ye pravilnij tetraedr 3 3 A vershinnoyu figuroyu en 4 3 4 ye pravilnij oktaedr 3 4 Oskilki dvoyistij politop pravilnogo politopa takozh ye pravilnim i predstavlenij simvolom Shlefli zi zvorotnim poryadkom indeksiv legko bachiti sho dvoyistoyu do vershinnoyi figuri ye komirka dvoyistogo mnogogrannika Dlya pravilnih mnogogrannikiv ce okremij vipadok pobudovi Dormana Lyuka Priklad vershinnoyi figuri stilnikaZrizanij kubichnij stilnik chastina Vershinna figura zrizanogo kubichnogo stilnika yavlyaye soboyu neodnoridnu kvadratnu piramidu v U kozhnij vershini shodyatsya odin oktaedr i chotiri zrizani kubi zapovnyuyuchi prostir Vershinna figura neodnoridna kvadratna piramida Diagrama Shlegelya Perspektiva utvorena kvadratnoyu osnovoyu oktaedra 3 3 3 3 ta chotirma rivnobedrenimi trikutnikami zi zrizanih kubiv 3 8 8 Reberna figuraZrizanij kubichnij stilnik maye dva tipi reber odin mizh chotirma zrizanimi kubami a inshi z odnim oktaedrom i dvoma zrizanimi kubami Ce daye dva tipi rebernih figur Voni rozglyadayutsya yak vershini vershinnoyi figuri Stosovno vershinnoyi figuri reberna figura ye vershinnoyu figuroyu vershinnoyi figuri Reberni figuri korisni dlya virazhennya zv yazkiv mizh elementami v mezhah pravilnih i odnoridnih mnogogrannikiv Reberna figura bude n 2 politopom sho predstavlyaye roztashuvannya faset navkolo danogo rebra Pravilni politopi ta politopi z odnokilcevoyu diagramoyu Koksetera matimut odin tip reber Zagalom odnoridnij politop mozhe mati stilki tipiv reber skilki aktivnih dzerkal proyasniti u konstrukciyi oskilki kozhne aktivne dzerkalo stvoryuye u fundamentalnij oblasti odne rebro Pravilni politopi i stilniki mayut yedinu rebernu figuru yaka takozh ye pravilnoyu Rebernoyu figuroyu pravilnogo politopa p q r s z ye r s z U chotiroh vimirah reberna figura 4 politopa abo 3 stilnika ye mnogokutnikom yakij predstavlyaye roztashuvannya faset navkolo rebra Napriklad rebernoyu figuroyu pravilnogo 4 3 4 ye kvadrat a pravilnogo 4 politopa p q r mnogokutnik r Mensh trivialno t0 1 4 3 4 maye vershinnoyu figuroyu kvadratnu piramidu a komirkami zrizanij kub i oktaedr Tut ye dva tipi rebernih figur Odna z nih figura z kvadratnim krayem na vershini piramidi yaka vidpovidaye roztashuvannyu chotiroh zrizanih kubiv navkolo rebra Inshi chotiri reberni figuri ye rivnobedrenimi trikutnikami na vershinah osnovi piramidi Voni vidpovidayut roztashuvannyu dvoh zrizanih kubiv i odnogo oktaedra navkolo inshih reber Div takozhKonfiguraciya vershini en abstraktne ponyattya pov yazane z figuroyu vershini en PrimitkiCoxeter H et al 1954 Skilling J 1975 Klitzing Vertex figures etc LiteraturaH S M Coxeter Regular Polytopes Hbk 1948 ppbk 1973 H S M Coxeter et al Uniform Polyhedra Phil Trans 246 A 1954 pp 401 450 P Cromwell Polyhedra CUP pbk 1999 H M Cundy and A P Rollett Mathematical Models Oxford Univ Press 1961 J Skilling The Complete Set of Uniform Polyhedra Phil Trans 278 A 1975 pp 111 135 M Wenninger Dual Models CUP hbk 1983 ppbk 2003 The Symmetries of Things 2008 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass ISBN 978 1 56881 220 5 p289 Vertex figures PosilannyaWeisstein Eric W Vertex figure angl na sajti Wolfram MathWorld Olshevsky George Glossary for Hyperspace Vertex Figures