Четверта проблема Гільберта — одна з проблем Гільберта, яка стосується основ геометрії. Потрібно «визначити всі, з точністю до ізоморфізму, реалізації систем аксіом класичних геометрій (Евкліда, Лобачевського і еліптичної), якщо видалити з них аксіоми конгруентності, що містять поняття кута, і поповнити ці системи аксіомою нерівності трикутника.»
У випадки двомірної площині, якщо прийняти ще й аксіому неперервності, приходимо до задачі, поставленої Дарбу: «Знайти на площині всі варіаційні задачі, розв'язками яких є всі прямі лінії на площині.»
Плоскі метрики
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemsxTDBSbGMyRnlaM1ZsYzE5MGFHVnZjbVZ0WDJGc2RESXVjM1puTHpRd01IQjRMVVJsYzJGeVozVmxjMTkwYUdWdmNtVnRYMkZzZERJdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Має місце теорема Дезарга:
Якщо два трикутника розташовані на площині таким чином, що прямі, які поєднують відповідні вершини трикутників, проходять через одну точку, то три точки, в яких перетинаються продовження трьох пар відповідних сторін трикутників, лежать на одній прямій.
Необхідною умовою для вирішення IV проблеми Гільберта є вимога, щоб метричний простір, який задовольняє умовам цієї проблеми стосовно виконання аксіом, був дезарговим, тобто повинні виконуватися умови:
- якщо простір є двомірним, необхідно, щоб мала місце теорема Дезарга і обернена до неї;
- якщо розмірність простору більше двох, то необхідно, щоб будь-які три точки лежали на одній площині.
Для дезаргових просторів [en] довів, що будь-який розв'язок проблеми Гільберта можна представити у дійсному проективному просторі або в опуклій області простору
якщо визначити конгруентність відрізків через рівність їх довжин в спеціальній метриці, для якої прямі проективного простору є геодезичними лініями.
Такі метрики називаються плоскими або проективними.
Таким чином, розв'язання проблеми Гільберта може бути зведено до задачі конструктивного визначення всіх повних плоских метрик.
Гамель вирішив цю задачу за додаткового припущення, що метрика є регулярною достатньо високого класу. Однак, як показують прості приклади, регулярні плоскі метрики далеко не вичерпують всі плоскі метрики. З аксіом геометрій, що розглядаються, витікає лише неперервність метрик. Тому повне вирішення проблеми Гільберта передбачає конструктивне визначення всіх неперервних плоских метрик.
Передісторія IV проблеми Гільберта
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemhrTDBOaGVXeGxlU1ZGTWlVNE1DVTVNMHRzWldsdVgyMXZaR1ZzTG5CdVp5OHlNakJ3ZUMxRFlYbHNaWGtsUlRJbE9EQWxPVE5MYkdWcGJsOXRiMlJsYkM1d2JtYz0ucG5n.png)
До 1900 року була відома інтерпретація Келі-Клейна геометрії Лобачевського в одиничному колі, де прямими вважаються хорди кола, а відстань між точками визначається як логарифм подвійного відношення чотирьох точок.
Для двовимірних ріманових метрик Е. Бельтрамі (1835—1900) довів, що єдиними плоскими метриками є метрики сталої кривини.
Для багатовимірних ріманових метрик аналогічне твердження було доведено Е. Картаном в 1930 році.
У 1890 році Г. Мінковський при роботі з теорією чисел увів у розгляд те, що ми зараз називаємо скінченновимірними банаховими просторами.
Простір Мінковського
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemszTDAxcGJtdHZkM05yYVY5dFpYUnlhV011YzNabkx6SXlNSEI0TFUxcGJtdHZkM05yYVY5dFpYUnlhV011YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Нехай — компактна замкнена опукла гіперповерхня в евклідовому просторі, задана неявно
Нехай функція задовольняє умовам:
;
;
;
.
Задамо довжину вектора OA в просторі Мінковського наступним чином:
Простір з такою метрикою називається простором Мінковського.
Гіперповерхня може бути нерегулярною опуклою поверхнею. Метрика, що задається таким чином, є плоскою.
Фінслерів простір
Нехай M — гладкий многовид скінченної вимірності, — дотичне розшарування. Функція
буде фінслеровою метрикою, якщо
;
- Для будь-якої точки
, обмеження функції
на
є нормою Мінковського.
Тоді називається фінслеровим простором.
Геометрія Гільберта
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkk0TDBkcGJHSmxjblJmYldWMGNtbGpMbk4yWnk4eU1qQndlQzFIYVd4aVpYSjBYMjFsZEhKcFl5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Нехай — обмежена відкрита опукла множина з краєм
класу гладкості C2 та додатними нормальними кривинами. Так само, як і для простору Лобачевського, гіперповерхню
називають абсолютом геометрії Гільберта.
Метрика Гільберта
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0xTDBacGJuTnNaWEpmYldWMGNtbGpMbk4yWnk4eU1qQndlQzFHYVc1emJHVnlYMjFsZEhKcFl5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Поверхня індукує фінслерову метрику Гільберта
на U для довільних
та
(див. малюнок)
Ця метрика також є плоскою.
Давід Гільберт увів її в розгляд у 1895 році як узагальнення метрики геометрії Лобачевського. У випадку, коли гіперповерхня є еліпсоїдом, отримуємо геометрію Лобачевського.
Метрика Функа
В 1930 році Функ увів у розгляд несиметричну метрику, яка задається в області обмеженій замкненою опуклою гіперповерхнею і також є плоскою.
σ-метрики
Достатня умова плоских метрик
Перший внесок в рішення IV проблеми Гільберта зробив Гамель. Він довів наступне твердження.
Теорема. Регулярна фінслерова метрика є плоскою тоді, і тільки тоді, коли виконуються умови
Формула Крофтона
Розглянемо множину орієнтованих прямих на площині. Пряма задається параметрами де
— відстань до прямої від початку координат, а
— кут, який утворює пряма з віссю Ox. Тоді множина орієнтованих прямих гомеоморфна круговому циліндру одиничного радіуса з елементом площі
. Нехай
— спрямна крива на площині. Тоді її довжина
де — множина прямих, які перетинають цю криву,
— число перетинів прямої з кривою. Це встановив М. Крофтон в 1870 році.
Аналогічне твердження виконується і в проективному просторі.
Міра Бляшке-Буземана
У 1966 році [en] у доповіді на Міжнародному конгресі математиків в Москві, ввів у розгляд новий клас плоских метрик. Він увів на множині прямих проективної площині цілком адитивну невід'ємну міру
, яка задовольняє таким умовам:
, де
— множина прямих, що проходять через точку P;
, де
— множина прямих, що проходять через деяку множину X, яка містить відрізок прямої;
скінченна.
Якщо розглянути -метрику, яка задається в довільній опуклій області
проективного простору
, то умова 3) замінюється вимогою, щоб для будь-якої множини H, — підмножини
, замикання H не перетинається з краєм області
, виконувалась умова
.
За допомогою такої міри визначається -метрика в
:
де — множина прямих, які перетинаються відрізок
.
Нерівність трикутника для цієї метрики випливає з теореми Паша.
Теорема. -метрика в
є плоскою метрикою, тобто, геодезичні в цій метриці є прямими проективного простору.
Але Буземан був далеким від думки, що -метрики вичерпують геть усі плоскі метрики. Він писав: «… Свобода у виборі метрик при заданні геодезичних у випадку неріманових метрик настільки велика, що можна сумніватися, чи дійсно існує переконлива характеристика всіх дезаргових просторів …»
Двовимірний випадок
Теорема Погорєлова
Дивовижною виявилась теорема, доведена в 1973 році О. В. Погорєловим.
Теорема. Будь-яка двовимірна неперервна повна плоска метрика є -метрикою.
Тим самим, IV проблема Гільберта для двовимірного випадку була повністю розв'язана.
Доведення Амбарцумяна
У 1976 році Р. Б. Амбарцумян запропонував інше розв'язання IV проблеми Гільберта. Його доведення пов'язано з тим, що в двовимірному випадку міра повністю відновлюється за її значеннями на двокутниках. І тоді вона задається на трикутниках подібно до того, як задається площа трикутника на сфері через кути. На невироджених трикутниках вона додатна, бо виконується нерівність трикутника, після чого міра визначається на всіх борелівських множинах. Але ця конструкція не узагальнюється за розмірністю. Це пов'язано з III проблемою Гільберта, яку вирішив М. Ден. У двовимірному випадку рівновеликі багатокутники є рівноскладеними. У більших вимірностях М. Ден показав, що це не виконується.
Тривимірний випадок
У тривимірному випадку О. В. Погорєлов довів наступну теорему
Теорема. Будь-яка тривимірна регулярна неперервна повна плоска метрика є -метрикою.
Оскільки в тривимірному випадку -міри можуть приймати як додатні, так і від'ємні значення, то необхідними і достатніми умовами того, щоб регулярна метрика, яка задається функцією множини
, була плоскою, будуть наступні три умови:
- значення
на будь-якій площині дорівнює нулю;
- значення
в будь-якому конусі є невід'ємним;
- значення
є додатним, якщо конус має внутрішні точки.
Крім того О. В. Погорєлов показав, що будь-яка повна неперервна плоска метрика в тривимірному випадку є межею регулярних -метрик з рівномірною збіжністю в будь-який компактній підобласті, що лежить в області задання цієї метрики. Такі метрики він назвав узагальненими
-метриками. Таким чином, О. В. Погорєлову вдалося довести, що
Теорема. Будь-яка повна неперервна плоска метрика в тривимірному випадку є -метрикою в узагальненому сенсі.
Г. Буземан в рецензії на переклад книги О. В. Погорєлова «Четверта проблема Гільберта» писав: «У відповідності з духом тогодення, Гільберт обмежувався вимірностями . О. В. Погорєлов також обмежився вказаними вимірностями. Хоча існує істотна різниця між
і
. Метод Погорєлова працює і при
лише потребує додаткових технічних подробиць.»
Багатовимірний випадок
Багатовимірний випадок IV проблеми Гільберта досліджувався З. І. Сабо. У 1986 році він довів, як він сам пише, узагальнену теорему Погорєлова:
Теорема. Будь-який n-вимірний простір Дезарга класу породжується конструкцією Бляшке-Буземана.
-міра, які породжує плоску міру, має такі властивості:
-міра гіперплощин, які проходять через фіксовану точку, дорівнює нулю.
-міра множини гіперплощин, які перетинають два відрізки [x, y], [y, z], де x, y та z не колінеарні, є додатною.
У цій же статті наведено приклад плоскої метрики, що не породжується конструкцією Бляшке-Буземана. З. І. Сабо описав всі неперервні плоскі метрики за допомогою узагальнених функцій.
IV проблема Гільберта й опуклі тіла
IV проблема Гільберта тісно пов'язана з властивостями опуклих тіл. Опуклий багатогранник називається зонотопом, якщо він є сумою (в сенсі Мінковського) відрізків. Опукле тіло, яке є границею зонотопів у метриці Бляшке-Гаусдорфа, називається зоноїдом. Для зоноїдів опорна функція представляється у вигляді
де — парна додатна міра Бореля на сфері
.
Простір Мінковського породжується конструкцією Бляшке-Буземана тоді, і лише тоді, коли опорна функція індикатриси має вигляд наведений вище, де — парна, не обов'язково сталого знаку міра Бореля. Тіла, обмеженими такими гіперповерхнями, називаються узагальненими зоноїдами.
Октаедр в евклідовому просторі
не є узагальненим зоноїдом. Тоді з наведеного вище твердження, отримуємо, що плоска метрика простору Мінковського з нормою
, не породжується конструкцією Бляшке-Буземана.
Узагальнення IV проблеми Гільберта
Знайдено відповідність між плоскими n-мірними фінслеровими метриками та спеціальними симплектичними формами на грасмановому многовиді в
.
Розглядалися періодичні розв'язки IV проблеми Гільберта:
- Нехай (M, g) — компактний локально евклідовий риманів многовид. Припустимо, що на M задана
фінслерова метрика, геодезичні якої збігаються з геодезичними метрики g. Тоді ця фінслерова метрика є сумою локально метрики Мінковського та замкнутої 1-форми.
- Нехай (M, g) — компактний симетричний риманів простір рангу більше одного. Якщо F — симетрична
фінслерова метрика, геодезичні якої збігаються з геодезичними ріманової метрики g, то (M, F) — симетричний фінслерів простір.
Інший виклад IV проблеми Гільберта є в роботі Пайви 2003 року.
Невирішені задачі
- Не вирішена IV проблема Гільберта для несиметричної відстані.
- Не відомий аналог останньої теореми для випадку симетричних просторів рангу один.
- Описати метрики на
, для яких k-площини мінімізують k-площу (Г. Буземан).
Література
- D. Hilbert, Mathematische Probleme, Gottinger Nachrichten, 1900, 253—297.
- G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces, V.III, Paris, 1894.
- G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind, Math. Ann. 57 (1903), 221—264.
- E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette, Annali di Matematica Pura ed Applicata, № 7 (1865), 185—204.
- H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Lpz.-B., 1953.
- D. Hilbert, Uber die gerade Linie als kurzeste Verbindung zweier Punkte, Math. Ann., 46 (1895), 91-96.
- L. A. Santalo, Integral geometry.- In: Studies in Global Geometry and Analysis (S. S. Chern, ed.), Washington, D. C.: Math. Asoc. Amer, 147—195.
- Г. Буземан, Геометрия геодезических, Москва, 1962.
- А. В. Погорелов, Полное решение IV проблемы Гильберта, ДАН СССР № 208, т.1 (1973), 46-49. English translation: A.V. Pogorelov, A complete solution of "Hilbert's fourth problem, Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, № 1 (1973), 48-52.
- А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта. Вид. Наука, 1974. English translation: A.V. Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem, Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
- R. V. Ambartzumian, A note on pseudo-metric on the plane, Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37(1976), 145—155.
- H. Busemann, Review of: A. V. Pogorelov, Hilbert's fourth problem, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) Vol. 4, № 1 (1981), 87-90.
- Z. I. Szabo, Hilbert's fourth problem I, Adv. Math. 59 (1986), 185—301.
- R. Alexander, Zonoid theory and Hilbert fourth problem, Geom. Dedicata 28, № 2 (1988), 199—211.
- J. C. Alvarez Paiva, Sympletic geometry and Hilbert fourth problem, J. Differ. Geom. 69, № 2 (2005), 353—378.
- J. C. Alvarez Pavia and J. Barbosa Gomes, Periodic Solutions of Hilbert fourth problem, 20 pp. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
- J. C. Alvarez Paiva, Hilbert fourth problem in two dimensions I, in: MASS selecta: teaching and learning advanced undergraduate mathematics, ed. S. Katok et al, Providence, RI, AMS, (2003), 165—183.
- A. Papadopoulos, On Hilbert fourth problem [ 11 березня 2020 у Wayback Machine.], 1-43. Handbook of Hilbert geometry (A. Papadopoulos and M. Troyanov, ed.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, № 22 (2014), p. 460.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Chetverta problema Gilberta odna z problem Gilberta yaka stosuyetsya osnov geometriyi Potribno viznachiti vsi z tochnistyu do izomorfizmu realizaciyi sistem aksiom klasichnih geometrij Evklida Lobachevskogo i eliptichnoyi yaksho vidaliti z nih aksiomi kongruentnosti sho mistyat ponyattya kuta i popovniti ci sistemi aksiomoyu nerivnosti trikutnika U vipadki dvomirnoyi ploshini yaksho prijnyati she j aksiomu neperervnosti prihodimo do zadachi postavlenoyi Darbu Znajti na ploshini vsi variacijni zadachi rozv yazkami yakih ye vsi pryami liniyi na ploshini Ploski metrikiPryami sho z yednuyut vidpovidni vershini trikutnikiv prohodyat cherez odnu tochku vona roztashovana livoruch Vidpovidno tri tochki v yakih peretinayutsya prodovzhennya troh par vidpovidnih storin trikutnikiv lezhat na odnij pryamij vona fioletovogo koloru Maye misce teorema Dezarga Yaksho dva trikutnika roztashovani na ploshini takim chinom sho pryami yaki poyednuyut vidpovidni vershini trikutnikiv prohodyat cherez odnu tochku to tri tochki v yakih peretinayutsya prodovzhennya troh par vidpovidnih storin trikutnikiv lezhat na odnij pryamij Neobhidnoyu umovoyu dlya virishennya IV problemi Gilberta ye vimoga shob metrichnij prostir yakij zadovolnyaye umovam ciyeyi problemi stosovno vikonannya aksiom buv dezargovim tobto povinni vikonuvatisya umovi yaksho prostir ye dvomirnim neobhidno shob mala misce teorema Dezarga i obernena do neyi yaksho rozmirnist prostoru bilshe dvoh to neobhidno shob bud yaki tri tochki lezhali na odnij ploshini Dlya dezargovih prostoriv en doviv sho bud yakij rozv yazok problemi Gilberta mozhna predstaviti u dijsnomu proektivnomu prostori R P n displaystyle RP n abo v opuklij oblasti prostoru R P n displaystyle RP n yaksho viznachiti kongruentnist vidrizkiv cherez rivnist yih dovzhin v specialnij metrici dlya yakoyi pryami proektivnogo prostoru ye geodezichnimi liniyami Taki metriki nazivayutsya ploskimi abo proektivnimi Takim chinom rozv yazannya problemi Gilberta mozhe buti zvedeno do zadachi konstruktivnogo viznachennya vsih povnih ploskih metrik Gamel virishiv cyu zadachu za dodatkovogo pripushennya sho metrika ye regulyarnoyu dostatno visokogo klasu Odnak yak pokazuyut prosti prikladi regulyarni ploski metriki daleko ne vicherpuyut vsi ploski metriki Z aksiom geometrij sho rozglyadayutsya vitikaye lishe neperervnist metrik Tomu povne virishennya problemi Gilberta peredbachaye konstruktivne viznachennya vsih neperervnih ploskih metrik Peredistoriya IV problemi GilbertaModel Keli Klejna geometriyi Lobachevskogo Do 1900 roku bula vidoma interpretaciya Keli Klejna geometriyi Lobachevskogo v odinichnomu koli de pryamimi vvazhayutsya hordi kola a vidstan mizh tochkami viznachayetsya yak logarifm podvijnogo vidnoshennya chotiroh tochok Dlya dvovimirnih rimanovih metrik E Beltrami 1835 1900 doviv sho yedinimi ploskimi metrikami ye metriki staloyi krivini Dlya bagatovimirnih rimanovih metrik analogichne tverdzhennya bulo dovedeno E Kartanom v 1930 roci U 1890 roci G Minkovskij pri roboti z teoriyeyu chisel uviv u rozglyad te sho mi zaraz nazivayemo skinchennovimirnimi banahovimi prostorami Prostir Minkovskogo Dokladnishe Prostir Minkovskogo Prostir Minkovskogo Nehaj F 0 E n displaystyle F 0 subset mathbb E n kompaktna zamknena opukla giperpoverhnya v evklidovomu prostori zadana neyavno F 0 y E n F y 1 displaystyle F 0 y in E n F y 1 Nehaj funkciya F F y displaystyle F F y zadovolnyaye umovam F y 0 F y 0 y 0 displaystyle F y geqslant 0 qquad F y 0 Leftrightarrow y 0 F l y l F y l 0 displaystyle F lambda y lambda F y qquad lambda geqslant 0 F y C k E n 0 k 3 displaystyle F y in C k E n setminus 0 qquad k geqslant 3 2 F 2 y i y j 3 i 3 j gt 0 displaystyle frac partial 2 F 2 partial y i partial y j xi i xi j gt 0 Zadamo dovzhinu vektora OA v prostori Minkovskogo nastupnim chinom O A M O A E O L E displaystyle OA M frac OA mathbb E OL mathbb E Prostir z takoyu metrikoyu nazivayetsya prostorom Minkovskogo Giperpoverhnya F 0 displaystyle F 0 mozhe buti neregulyarnoyu opukloyu poverhneyu Metrika sho zadayetsya takim chinom ye ploskoyu Finsleriv prostir Nehaj M gladkij mnogovid skinchennoyi vimirnosti x y T M displaystyle x y in TM dotichne rozsharuvannya Funkciya F x y T M 0 displaystyle F x y colon TM rightarrow 0 infty bude finslerovoyu metrikoyu yaksho F x y C k T M 0 k 3 displaystyle F x y in C k TM setminus 0 qquad k geqslant 3 Dlya bud yakoyi tochki x M displaystyle x in M obmezhennya funkciyi F x y displaystyle F x y na T x M displaystyle T x M ye normoyu Minkovskogo Todi M F displaystyle M F nazivayetsya finslerovim prostorom Geometriya Gilberta Metrika Gilberta Nehaj U E n 1 E displaystyle U subset mathbb E n 1 mathbb E obmezhena vidkrita opukla mnozhina z krayem U displaystyle partial U klasu gladkosti C2 ta dodatnimi normalnimi krivinami Tak samo yak i dlya prostoru Lobachevskogo giperpoverhnyu U displaystyle partial U nazivayut absolyutom geometriyi Gilberta Metrika Gilberta d U p q 1 2 ln q q 1 E q p 1 E p p 1 E p q 1 E displaystyle d U p q frac 1 2 ln frac q q 1 E q p 1 E times frac p p 1 E p q 1 E Finslerova metrika Gilberta Poverhnya d U displaystyle d U indukuye finslerovu metriku Gilberta F U displaystyle F U na U dlya dovilnih x U displaystyle x in U ta y T x U displaystyle y in T x U div malyunok F U x y 1 2 y E 1 x x E 1 x x E displaystyle F U x y frac 1 2 y mathbb E left frac 1 x x mathbb E frac 1 x x mathbb E right Cya metrika takozh ye ploskoyu David Gilbert uviv yiyi v rozglyad u 1895 roci yak uzagalnennya metriki geometriyi Lobachevskogo U vipadku koli giperpoverhnya U displaystyle partial U ye elipsoyidom otrimuyemo geometriyu Lobachevskogo Metrika Funka V 1930 roci Funk uviv u rozglyad nesimetrichnu metriku yaka zadayetsya v oblasti obmezhenij zamknenoyu opukloyu giperpoverhneyu i takozh ye ploskoyu s metrikiDostatnya umova ploskih metrik Pershij vnesok v rishennya IV problemi Gilberta zrobiv Gamel Vin doviv nastupne tverdzhennya Teorema Regulyarna finslerova metrika F x y F x 1 x n y 1 y n displaystyle F x y F x 1 x n y 1 y n ye ploskoyu todi i tilki todi koli vikonuyutsya umovi 2 F 2 x i y j 2 F 2 x j y i i j 1 n displaystyle frac partial 2 F 2 partial x i partial y j frac partial 2 F 2 partial x j partial y i i j 1 n Formula Kroftona Dokladnishe Formula Kroftona Rozglyanemo mnozhinu oriyentovanih pryamih na ploshini Pryama zadayetsya parametrami r f displaystyle rho varphi de r displaystyle rho vidstan do pryamoyi vid pochatku koordinat a f displaystyle varphi kut yakij utvoryuye pryama z vissyu Ox Todi mnozhina oriyentovanih pryamih gomeomorfna krugovomu cilindru odinichnogo radiusa z elementom ploshi d S d r d f displaystyle dS d rho d varphi Nehaj g displaystyle gamma spryamna kriva na ploshini Todi yiyi dovzhina L 1 4 W n r f d p d f displaystyle L frac 1 4 iint limits Omega n rho varphi dpd varphi de W displaystyle Omega mnozhina pryamih yaki peretinayut cyu krivu n p f displaystyle n p varphi chislo peretiniv pryamoyi z krivoyu Ce vstanoviv M Krofton v 1870 roci Analogichne tverdzhennya vikonuyetsya i v proektivnomu prostori Mira Blyashke Buzemana U 1966 roci en u dopovidi na Mizhnarodnomu kongresi matematikiv v Moskvi vviv u rozglyad novij klas ploskih metrik Vin uviv na mnozhini pryamih proektivnoyi ploshini R P 2 displaystyle RP 2 cilkom aditivnu nevid yemnu miru s displaystyle sigma yaka zadovolnyaye takim umovam s t P 0 displaystyle sigma tau P 0 de t P displaystyle tau P mnozhina pryamih sho prohodyat cherez tochku P s t X gt 0 displaystyle sigma tau X gt 0 de t X displaystyle tau X mnozhina pryamih sho prohodyat cherez deyaku mnozhinu X yaka mistit vidrizok pryamoyi s R P n displaystyle sigma RP n skinchenna Yaksho rozglyanuti s displaystyle sigma metriku yaka zadayetsya v dovilnij opuklij oblasti W displaystyle Omega proektivnogo prostoru R P 2 displaystyle RP 2 to umova 3 zaminyuyetsya vimogoyu shob dlya bud yakoyi mnozhini H pidmnozhini W displaystyle Omega zamikannya H ne peretinayetsya z krayem oblasti W displaystyle Omega vikonuvalas umova s p H lt displaystyle sigma pi H lt infty Za dopomogoyu takoyi miri viznachayetsya s displaystyle sigma metrika v R P 2 displaystyle RP 2 x y s t x y displaystyle x y sigma left tau x y right de t x y displaystyle tau x y mnozhina pryamih yaki peretinayutsya vidrizok x y displaystyle x y Nerivnist trikutnika dlya ciyeyi metriki viplivaye z teoremi Pasha Teorema s displaystyle sigma metrika v R P 2 displaystyle RP 2 ye ploskoyu metrikoyu tobto geodezichni v cij metrici ye pryamimi proektivnogo prostoru Ale Buzeman buv dalekim vid dumki sho s displaystyle sigma metriki vicherpuyut get usi ploski metriki Vin pisav Svoboda u vibori metrik pri zadanni geodezichnih u vipadku nerimanovih metrik nastilki velika sho mozhna sumnivatisya chi dijsno isnuye perekonliva harakteristika vsih dezargovih prostoriv Dvovimirnij vipadokTeorema Pogoryelova Divovizhnoyu viyavilas teorema dovedena v 1973 roci O V Pogoryelovim Teorema Bud yaka dvovimirna neperervna povna ploska metrika ye s displaystyle sigma metrikoyu Tim samim IV problema Gilberta dlya dvovimirnogo vipadku bula povnistyu rozv yazana Dovedennya Ambarcumyana U 1976 roci R B Ambarcumyan zaproponuvav inshe rozv yazannya IV problemi Gilberta Jogo dovedennya pov yazano z tim sho v dvovimirnomu vipadku mira povnistyu vidnovlyuyetsya za yiyi znachennyami na dvokutnikah I todi vona zadayetsya na trikutnikah podibno do togo yak zadayetsya plosha trikutnika na sferi cherez kuti Na nevirodzhenih trikutnikah vona dodatna bo vikonuyetsya nerivnist trikutnika pislya chogo mira viznachayetsya na vsih borelivskih mnozhinah Ale cya konstrukciya ne uzagalnyuyetsya za rozmirnistyu Ce pov yazano z III problemoyu Gilberta yaku virishiv M Den U dvovimirnomu vipadku rivnoveliki bagatokutniki ye rivnoskladenimi U bilshih vimirnostyah M Den pokazav sho ce ne vikonuyetsya Trivimirnij vipadokU trivimirnomu vipadku O V Pogoryelov doviv nastupnu teoremu Teorema Bud yaka trivimirna regulyarna neperervna povna ploska metrika ye s displaystyle sigma metrikoyu Oskilki v trivimirnomu vipadku s displaystyle sigma miri mozhut prijmati yak dodatni tak i vid yemni znachennya to neobhidnimi i dostatnimi umovami togo shob regulyarna metrika yaka zadayetsya funkciyeyu mnozhini s displaystyle sigma bula ploskoyu budut nastupni tri umovi znachennya s displaystyle sigma na bud yakij ploshini dorivnyuye nulyu znachennya s displaystyle sigma v bud yakomu konusi ye nevid yemnim znachennya s displaystyle sigma ye dodatnim yaksho konus maye vnutrishni tochki Krim togo O V Pogoryelov pokazav sho bud yaka povna neperervna ploska metrika v trivimirnomu vipadku ye mezheyu regulyarnih s displaystyle sigma metrik z rivnomirnoyu zbizhnistyu v bud yakij kompaktnij pidoblasti sho lezhit v oblasti zadannya ciyeyi metriki Taki metriki vin nazvav uzagalnenimi s displaystyle sigma metrikami Takim chinom O V Pogoryelovu vdalosya dovesti sho Teorema Bud yaka povna neperervna ploska metrika v trivimirnomu vipadku ye s displaystyle sigma metrikoyu v uzagalnenomu sensi G Buzeman v recenziyi na pereklad knigi O V Pogoryelova Chetverta problema Gilberta pisav U vidpovidnosti z duhom togodennya Gilbert obmezhuvavsya vimirnostyami n 2 3 displaystyle n 2 3 O V Pogoryelov takozh obmezhivsya vkazanimi vimirnostyami Hocha isnuye istotna riznicya mizh n 2 displaystyle n 2 i n gt 2 displaystyle n gt 2 Metod Pogoryelova pracyuye i pri n gt 3 displaystyle n gt 3 lishe potrebuye dodatkovih tehnichnih podrobic Bagatovimirnij vipadokBagatovimirnij vipadok IV problemi Gilberta doslidzhuvavsya Z I Sabo U 1986 roci vin doviv yak vin sam pishe uzagalnenu teoremu Pogoryelova Teorema Bud yakij n vimirnij prostir Dezarga klasu C n 2 n gt 2 displaystyle C n 2 n gt 2 porodzhuyetsya konstrukciyeyu Blyashke Buzemana s displaystyle sigma mira yaki porodzhuye plosku miru maye taki vlastivosti s displaystyle sigma mira giperploshin yaki prohodyat cherez fiksovanu tochku dorivnyuye nulyu s displaystyle sigma mira mnozhini giperploshin yaki peretinayut dva vidrizki x y y z de x y ta z ne kolinearni ye dodatnoyu U cij zhe statti navedeno priklad ploskoyi metriki sho ne porodzhuyetsya konstrukciyeyu Blyashke Buzemana Z I Sabo opisav vsi neperervni ploski metriki za dopomogoyu uzagalnenih funkcij IV problema Gilberta j opukli tilaIV problema Gilberta tisno pov yazana z vlastivostyami opuklih til Opuklij bagatogrannik nazivayetsya zonotopom yaksho vin ye sumoyu v sensi Minkovskogo vidrizkiv Opukle tilo yake ye graniceyu zonotopiv u metrici Blyashke Gausdorfa nazivayetsya zonoyidom Dlya zonoyidiv oporna funkciya predstavlyayetsya u viglyadi h x S n 1 x u s u displaystyle h x int limits S n 1 langle x u rangle partial sigma u de s u displaystyle sigma u parna dodatna mira Borelya na sferi S n 1 displaystyle S n 1 Prostir Minkovskogo porodzhuyetsya konstrukciyeyu Blyashke Buzemana todi i lishe todi koli oporna funkciya indikatrisi maye viglyad navedenij vishe de s u displaystyle sigma u parna ne obov yazkovo stalogo znaku mira Borelya Tila obmezhenimi takimi giperpoverhnyami nazivayutsya uzagalnenimi zonoyidami Oktaedr x 1 x 2 x 3 1 displaystyle x 1 x 2 x 3 leqslant 1 v evklidovomu prostori E 3 displaystyle E 3 ne ye uzagalnenim zonoyidom Todi z navedenogo vishe tverdzhennya otrimuyemo sho ploska metrika prostoru Minkovskogo z normoyu x max x 1 x 2 x 3 displaystyle x max x 1 x 2 x 3 ne porodzhuyetsya konstrukciyeyu Blyashke Buzemana Uzagalnennya IV problemi GilbertaZnajdeno vidpovidnist mizh ploskimi n mirnimi finslerovimi metrikami ta specialnimi simplektichnimi formami na grasmanovomu mnogovidi G n 1 2 displaystyle G n 1 2 v E n 1 displaystyle E n 1 Rozglyadalisya periodichni rozv yazki IV problemi Gilberta Nehaj M g kompaktnij lokalno evklidovij rimaniv mnogovid Pripustimo sho na M zadana C 2 displaystyle C 2 finslerova metrika geodezichni yakoyi zbigayutsya z geodezichnimi metriki g Todi cya finslerova metrika ye sumoyu lokalno metriki Minkovskogo ta zamknutoyi 1 formi Nehaj M g kompaktnij simetrichnij rimaniv prostir rangu bilshe odnogo Yaksho F simetrichna C 2 displaystyle C 2 finslerova metrika geodezichni yakoyi zbigayutsya z geodezichnimi rimanovoyi metriki g to M F simetrichnij finsleriv prostir Inshij viklad IV problemi Gilberta ye v roboti Pajvi 2003 roku Nevirisheni zadachiNe virishena IV problema Gilberta dlya nesimetrichnoyi vidstani Ne vidomij analog ostannoyi teoremi dlya vipadku simetrichnih prostoriv rangu odin Opisati metriki na R P n displaystyle RP n dlya yakih k ploshini minimizuyut k ploshu G Buzeman LiteraturaD Hilbert Mathematische Probleme Gottinger Nachrichten 1900 253 297 G Darboux Lecons sur la theorie generale des surfaces V III Paris 1894 G Hamel Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind Math Ann 57 1903 221 264 E Beltrami Risoluzione del Problema Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette Annali di Matematica Pura ed Applicata 7 1865 185 204 H Minkowski Geometrie der Zahlen Lpz B 1953 D Hilbert Uber die gerade Linie als kurzeste Verbindung zweier Punkte Math Ann 46 1895 91 96 L A Santalo Integral geometry In Studies in Global Geometry and Analysis S S Chern ed Washington D C Math Asoc Amer 147 195 G Buzeman Geometriya geodezicheskih Moskva 1962 A V Pogorelov Polnoe reshenie IV problemy Gilberta DAN SSSR 208 t 1 1973 46 49 English translation A V Pogorelov A complete solution of Hilbert s fourth problem Dokl Acad Nauk SSR Vol 208 1 1973 48 52 A V Pogorelov Chetvertaya Problema Gilberta Vid Nauka 1974 English translation A V Pogorelov Hilbert s Fourth Problem Scripta Series in Mathematics Winston and Sons 1979 R V Ambartzumian A note on pseudo metric on the plane Z Wahrscheinlichkeits theor Verw Geb 37 1976 145 155 H Busemann Review of A V Pogorelov Hilbert s fourth problem Bull Amer Math Soc N S Vol 4 1 1981 87 90 Z I Szabo Hilbert s fourth problem I Adv Math 59 1986 185 301 R Alexander Zonoid theory and Hilbert fourth problem Geom Dedicata 28 2 1988 199 211 J C Alvarez Paiva Sympletic geometry and Hilbert fourth problem J Differ Geom 69 2 2005 353 378 J C Alvarez Pavia and J Barbosa Gomes Periodic Solutions of Hilbert fourth problem 20 pp arXiv 1809 02783v1 math MG 2018 J C Alvarez Paiva Hilbert fourth problem in two dimensions I in MASS selecta teaching and learning advanced undergraduate mathematics ed S Katok et al Providence RI AMS 2003 165 183 A Papadopoulos On Hilbert fourth problem 11 bereznya 2020 u Wayback Machine 1 43 Handbook of Hilbert geometry A Papadopoulos and M Troyanov ed European Mathematical Society IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 22 2014 p 460