Опукла поверхня в евклідовому або метричному просторі — будь-яка область (тобто зв'язна і відкрита множина), що лежить на межі опуклого тіла. Поверхню, що є межею опуклого тіла, називають повною опуклою поверхнею.
Приклад
Найпростіший приклад опуклого тіла — куля радіуса R в евклідовому просторі , задана рівнянням
. Відповідно, сфера
— повна опукла поверхня.
З поверхні сфери можна отримати опуклу поверхню необмежено великого діаметра в такий спросіб: достатньо уявити ніби зрізають з кулі-яблука ножем шкуринку — це й буде шукана опукла поверхня, яка може бути як завгодно довгою.
Топологічна будова опуклих поверхонь
Опуклі тіла в евклідовому просторі можуть бути тільки п'яти топологічно різних типів:
- скінченні опуклі тіла, гомеоморфні кулі;
- нескінченні опуклі тіла, гомеоморфні півпростору;
- циліндри, гомеоморфні нескінченному круговому циліндру;
- шари між паралельними площинами;
- весь простір.
Тим самим повні опуклі поверхні в евклідовому просторі можуть бути трьох типів:
- замкнуті поверхні, гомеоморфні сфері;
- нескінченні поверхні, гомеоморфні площині;
- циліндричні поверхні, гомеоморфні поверхні нескінченного кругового циліндра.
Кількість топологічно різних типів повних опуклих поверхонь у просторі Лобачевського не скінченна, як в евклідовому просторі, а нескінченна: Опукла поверхня в просторі Лобачевського гомеоморфна області на сфері, і для всякої області на сфері існує гомеоморфна їй повна опукла поверхня в просторі Лобачевського.
Локальна опуклість
Поверхню F називають локально опуклою в точці , якщо існує такий окіл U точки x, що
— опукла поверхня.
Для опуклості зв'язної замкненої множини F в необхідно і достатньо локальної опуклості F у всіх точках.
Якщо в (n+1)-вимірний евклідів простір занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, суворо опуклий в деякій точці многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері
, або M гомеоморфний
.
Нехай в (n+1)-вимірний простір Лобачевського занурено повний в індукованій метриці n-вимірний локально опуклий, локально опорний на орисфери многовид M розмірності тоді M вкладено як межу опуклого тіла і або M — компакт, який обмежує опукле тіло і гомеоморфний сфері
, або M — орисфера.
Див. також
Примітки
- А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 11.
- А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 377.
- А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.; Л.: ОГИЗ, 1948, с. 360.
- Nakajima Soji. Über konvexe Kurven und Flächen // Tohoku Math. J.. — Bd. 29. — S. 227—230.
- J. van Heijenoort // On locally convex manifolds, Comm. Pure Appl. Math., 1952, v. 5, 223—242.
- О. А. Борисенко, Д. І. Власенко // Опуклі поверхні простору Лобачевського, МАГ, 1997, т. 4, вип. 3, 278—285.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Opukla poverhnya v evklidovomu abo metrichnomu prostori bud yaka oblast tobto zv yazna i vidkrita mnozhina sho lezhit na mezhi opuklogo tila Poverhnyu sho ye mezheyu opuklogo tila nazivayut povnoyu opukloyu poverhneyu PrikladNajprostishij priklad opuklogo tila kulya radiusa R v evklidovomu prostori En displaystyle E n zadana rivnyannyam i 1nxi2 R2 displaystyle sum i 1 n x i 2 leqslant R 2 Vidpovidno sfera i 1nxi2 R2 displaystyle sum i 1 n x i 2 R 2 povna opukla poverhnya Z poverhni sferi mozhna otrimati opuklu poverhnyu neobmezheno velikogo diametra v takij sprosib dostatno uyaviti nibi zrizayut z kuli yabluka nozhem shkurinku ce j bude shukana opukla poverhnya yaka mozhe buti yak zavgodno dovgoyu Topologichna budova opuklih poverhonOpukli tila v evklidovomu prostori E3 displaystyle E 3 mozhut buti tilki p yati topologichno riznih tipiv skinchenni opukli tila gomeomorfni kuli neskinchenni opukli tila gomeomorfni pivprostoru cilindri gomeomorfni neskinchennomu krugovomu cilindru shari mizh paralelnimi ploshinami ves prostir Tim samim povni opukli poverhni v evklidovomu prostori E3 displaystyle E 3 mozhut buti troh tipiv zamknuti poverhni gomeomorfni sferi neskinchenni poverhni gomeomorfni ploshini cilindrichni poverhni gomeomorfni poverhni neskinchennogo krugovogo cilindra Kilkist topologichno riznih tipiv povnih opuklih poverhon u prostori Lobachevskogo ne skinchenna yak v evklidovomu prostori a neskinchenna Opukla poverhnya v prostori Lobachevskogo gomeomorfna oblasti na sferi i dlya vsyakoyi oblasti na sferi isnuye gomeomorfna yij povna opukla poverhnya v prostori Lobachevskogo Lokalna opuklistPoverhnyu F nazivayut lokalno opukloyu v tochci x F displaystyle x in F yaksho isnuye takij okil U tochki x sho F U displaystyle F cap U opukla poverhnya Dlya opuklosti zv yaznoyi zamknenoyi mnozhini F v Rn displaystyle R n neobhidno i dostatno lokalnoyi opuklosti F u vsih tochkah Yaksho v n 1 vimirnij evklidiv prostir zanureno povnij v indukovanij metrici n vimirnij lokalno opuklij suvoro opuklij v deyakij tochci mnogovid M rozmirnosti n 2 displaystyle n geqslant 2 todi M vkladeno yak mezhu opuklogo tila i abo M kompakt yakij obmezhuye opukle tilo i gomeomorfnij sferi Sn displaystyle S n abo M gomeomorfnij Rn displaystyle R n Nehaj v n 1 vimirnij prostir Lobachevskogo zanureno povnij v indukovanij metrici n vimirnij lokalno opuklij lokalno opornij na orisferi mnogovid M rozmirnosti n 2 displaystyle n geqslant 2 todi M vkladeno yak mezhu opuklogo tila i abo M kompakt yakij obmezhuye opukle tilo i gomeomorfnij sferi Sn displaystyle S n abo M orisfera Div takozhLokalno opuklij prostirPrimitkiA D Aleksandrov Vnutrennyaya geometriya vypuklyh poverhnostej M L OGIZ 1948 s 11 A D Aleksandrov Vnutrennyaya geometriya vypuklyh poverhnostej M L OGIZ 1948 s 377 A D Aleksandrov Vnutrennyaya geometriya vypuklyh poverhnostej M L OGIZ 1948 s 360 Nakajima Soji Uber konvexe Kurven und Flachen Tohoku Math J Bd 29 S 227 230 J van Heijenoort On locally convex manifolds Comm Pure Appl Math 1952 v 5 223 242 O A Borisenko D I Vlasenko Opukli poverhni prostoru Lobachevskogo MAG 1997 t 4 vip 3 278 285