Опорна функція hA не порожньої замкненої опуклої множини A в описує відстані до опорних гіперплощин A від початку координат. Опорна функція є опукла функція в . Будь-яка непорожня замкнена опукла множина A однозначно визначається hA. Більш того, опорна функція, як функція на множині A схожа з багатьма геометричними операціями, такими як масштабування, паралельне перенесення, обертання та сума Мінковського. Тим самим, опорна функція є важливою базовою концепцією в опуклій геометрії.
Визначення
Опорна функція непорожньої замкненої множини A в
визначається так:
; див. . Це визначення можна зрозуміти так. Нехай x одиничний вектор, так як A опукла, то вона міститься у замкненому півпросторі
і існує хоча б одна точка A на межі
цього півпростору. Гіперплощина H(x) тому і називається опорною гіперплощиною з внутрішнім (або зовнішнім) одиничним нормальним вектором x. Слово зовнішній тут дуже важливе, тому, що для вектора x множина H(x) в загальному випадку відрізняється від H(-x). Тому hA є (знаковизначена) відстань H(x) від початку координат.
Приклади
- Опорна функція синґлетону A={a} буде
.
- Опорна функція евклідової одиничної кулі B1 є
.
- Якщо A відрізок з кінцями -a та a тоді
.
Властивості
Як функції від напрямку x
Опорна функція компактної опуклої множини буде дійснозначна та неперервна, але необмежена, може навіть приймати значення . Так як, будь-яка непорожня замкнена опукла множина є перетином опорних півпросторів, то функція hA єдиним чином визначає A. Це може бути використане для аналітичного опису деяких геометричних властивостей опуклих множин. Наприклад, множина A буде центрально симетричною відносно початку координат тоді, і тільки тоді, коли hA буде парною функцією.
У загальному випадку, опорна функція не диференційована. Однак, похідні за напрямками існують і оцінюються за допомогою опорних функцій опорних множин. Якщо A компактна та опукла множина, і hA'(u;x) позначає похідні hA в u ≠ 0 за напрямком x, то відомо, що
Тут H(u) — опорна гіперплощина до A з зовнішнім вектором нормалі u, визначеним вище. Якщо A ∩ H(u) синґлетон {y}, то випливає, що опорна функція диференційована в u та її градієнт збігається з y. З другого боку, якщо hA диференційована в u, тоді A ∩ H(u) є синґлетоном. Отже, hA диференційована в усіх точках u ≠ 0 тоді, і тільки тоді, коли A буде строго опуклою (межа A не містить жодних відрізків).
З визначення опорної функції витікає, що вона додатно однорідна:
і субадитивна:
Звідки отримуємо, що hA є опукла функція.
В опуклій геометрії дуже важливо, що наступні властивості визначають опуклу функцію: Будь яка додатно визначена однорідна опукла дійснозначна функція в буде опорною функцією непорожньої компактної множини. Деякі доведення спираються на те, що перетворення Лежандра додатно визначеної однорідної опуклої дійснозначної функції буде (опуклою) індикаторною функцією опуклого компакту.
Багато авторів обмежують опуклу функцію на евклідову одиничну сферу та розглядають її як функцію на Sn-1. З однорідності витікає, що це обмеження визначає ту ж саму опорну функцію на , як і у визначені наведеному вище.
Як функції від множини A
Опорна функція трансформованої або перенесеної множини залежить від початкової множини A:
та
Остання властивість узагальнюється:
де A + B позначає суму Мінковського:
Відстань Гаусдорфа d H(A, B) двох непорожніх опуклих компактів A і B може бути записана в термінах опорної функції
де, у правій частині рівності, використовується супремум-норма на одиничній сфері.
Властивості опорної функції як функції множини A можна підсумувати у виразі :A
h A відображає сімейство непорожніх компактів на конус всіх дійснозначних функції на сфері, чиї додатно однорідні розширення опуклі. Не строго кажучи,
інколи називають лінійним, по відношенню до суми Мінковського, хоча воно визначена не на лінійному просторі, а скоріше на опуклому конусі непорожніх компактів. Відображення
є ізометрією між цим конусом, наділеним метрикою Гаусдорфа, та підконусом сімейства неперервних функцій на Sn-1 з супремум-нормою.
Узагальнення
Опорна функція може визначатись на поверхнях відмінних від сфери Sn-1, за умови, що існує єдина одинична нормаль у кожній граничній точці. Опуклість не обов'язкова. Для орієнтованої M, з одиничним нормальним вектором N, визначеним усуди на поверхні, опорна функція визначається:
.
Іншими словами, для будь-якого , опорна функція дорівнює відстані зі знаком до дотичної гіперплощини до M в точці x.
Примітки
- Берже М., Геометрия, т. 1, п. 11.8.12, Мир, Москва, 1984.
- Боннезен Т., Фенхель В., Теория выпуклых тел., Фазіс, Москва, 2002.
- R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006.
- R. Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oporna funkciya hA ne porozhnoyi zamknenoyi opukloyi mnozhini A v R n displaystyle mathbb R n opisuye vidstani do opornih giperploshin A vid pochatku koordinat Oporna funkciya ye opukla funkciya v R n displaystyle mathbb R n Bud yaka neporozhnya zamknena opukla mnozhina A odnoznachno viznachayetsya hA Bilsh togo oporna funkciya yak funkciya na mnozhini A shozha z bagatma geometrichnimi operaciyami takimi yak masshtabuvannya paralelne perenesennya obertannya ta suma Minkovskogo Tim samim oporna funkciya ye vazhlivoyu bazovoyu koncepciyeyu v opuklij geometriyi ViznachennyaOporna funkciya h A R n R displaystyle h A colon mathbb R n to mathbb R neporozhnoyi zamknenoyi mnozhini A v R n displaystyle mathbb R n viznachayetsya tak h A x sup x a a A displaystyle h A x sup x cdot a a in A x R n displaystyle x in mathbb R n div Ce viznachennya mozhna zrozumiti tak Nehaj x odinichnij vektor tak yak A opukla to vona mistitsya u zamknenomu pivprostori y R n y x h A x displaystyle y in mathbb R n y cdot x leqslant h A x i isnuye hocha b odna tochka A na mezhi H x y R n y x h A x displaystyle H x y in mathbb R n y cdot x h A x cogo pivprostoru Giperploshina H x tomu i nazivayetsya opornoyu giperploshinoyu z vnutrishnim abo zovnishnim odinichnim normalnim vektorom x Slovo zovnishnij tut duzhe vazhlive tomu sho dlya vektora x mnozhina H x v zagalnomu vipadku vidriznyayetsya vid H x Tomu hA ye znakoviznachena vidstan H x vid pochatku koordinat PrikladiOporna funkciya singletonu A a bude h A x x a displaystyle h A x x cdot a Oporna funkciya evklidovoyi odinichnoyi kuli B1 ye h B 1 x x displaystyle h B 1 x x Yaksho A vidrizok z kincyami a ta a todi h A x x a displaystyle h A x x cdot a VlastivostiYak funkciyi vid napryamku x Oporna funkciya kompaktnoyi opukloyi mnozhini bude dijsnoznachna ta neperervna ale neobmezhena mozhe navit prijmati znachennya displaystyle infty Tak yak bud yaka neporozhnya zamknena opukla mnozhina ye peretinom opornih pivprostoriv to funkciya hA yedinim chinom viznachaye A Ce mozhe buti vikoristane dlya analitichnogo opisu deyakih geometrichnih vlastivostej opuklih mnozhin Napriklad mnozhina A bude centralno simetrichnoyu vidnosno pochatku koordinat todi i tilki todi koli hA bude parnoyu funkciyeyu U zagalnomu vipadku oporna funkciya ne diferencijovana Odnak pohidni za napryamkami isnuyut i ocinyuyutsya za dopomogoyu opornih funkcij opornih mnozhin Yaksho A kompaktna ta opukla mnozhina i hA u x poznachaye pohidni hA v u 0 za napryamkom x to vidomo sho h A u x h A H u x x R n displaystyle h A u x h A cap H u x qquad x in mathbb R n Tut H u oporna giperploshina do A z zovnishnim vektorom normali u viznachenim vishe Yaksho A H u singleton y to viplivaye sho oporna funkciya diferencijovana v u ta yiyi gradiyent zbigayetsya z y Z drugogo boku yaksho hA diferencijovana v u todi A H u ye singletonom Otzhe hA diferencijovana v usih tochkah u 0 todi i tilki todi koli A bude strogo opukloyu mezha A ne mistit zhodnih vidrizkiv Z viznachennya opornoyi funkciyi vitikaye sho vona dodatno odnoridna h A a x a h A x a 0 x R n displaystyle h A alpha x alpha h A x qquad alpha geqslant 0 x in mathbb R n i subaditivna h A x y h A x h A y x y R n displaystyle h A x y leqslant h A x h A y qquad x y in mathbb R n Zvidki otrimuyemo sho hA ye opukla funkciya V opuklij geometriyi duzhe vazhlivo sho nastupni vlastivosti viznachayut opuklu funkciyu Bud yaka dodatno viznachena odnoridna opukla dijsnoznachna funkciya v R n displaystyle mathbb R n bude opornoyu funkciyeyu neporozhnoyi kompaktnoyi mnozhini Deyaki dovedennya spirayutsya na te sho peretvorennya Lezhandra dodatno viznachenoyi odnoridnoyi opukloyi dijsnoznachnoyi funkciyi bude opukloyu indikatornoyu funkciyeyu opuklogo kompaktu Bagato avtoriv obmezhuyut opuklu funkciyu na evklidovu odinichnu sferu ta rozglyadayut yiyi yak funkciyu na Sn 1 Z odnoridnosti vitikaye sho ce obmezhennya viznachaye tu zh samu opornu funkciyu na R n displaystyle mathbb R n yak i u viznacheni navedenomu vishe Yak funkciyi vid mnozhini A Oporna funkciya transformovanoyi abo perenesenoyi mnozhini zalezhit vid pochatkovoyi mnozhini A h a A x a h A x a 0 x R n displaystyle h alpha A x alpha h A x qquad alpha geqslant 0 x in mathbb R n ta h A b x h A x x b x b R n displaystyle h A b x h A x x cdot b qquad x b in mathbb R n Ostannya vlastivist uzagalnyuyetsya h A B x h A x h B x x R n displaystyle h A B x h A x h B x qquad x in mathbb R n de A B poznachaye sumu Minkovskogo A B a b R n a A b B displaystyle A B a b in mathbb R n mid a in A b in B Vidstan Gausdorfa d H A B dvoh neporozhnih opuklih kompaktiv A i B mozhe buti zapisana v terminah opornoyi funkciyi d H A B h A h B displaystyle d mathrm H A B h A h B infty de u pravij chastini rivnosti vikoristovuyetsya supremum norma na odinichnij sferi Vlastivosti opornoyi funkciyi yak funkciyi mnozhini A mozhna pidsumuvati u virazi t displaystyle tau A displaystyle mapsto h A vidobrazhaye simejstvo neporozhnih kompaktiv na konus vsih dijsnoznachnih funkciyi na sferi chiyi dodatno odnoridni rozshirennya opukli Ne strogo kazhuchi t displaystyle tau inkoli nazivayut linijnim po vidnoshennyu do sumi Minkovskogo hocha vono viznachena ne na linijnomu prostori a skorishe na opuklomu konusi neporozhnih kompaktiv Vidobrazhennya t displaystyle tau ye izometriyeyu mizh cim konusom nadilenim metrikoyu Gausdorfa ta pidkonusom simejstva neperervnih funkcij na Sn 1 z supremum normoyu UzagalnennyaOporna funkciya mozhe viznachatis na poverhnyah vidminnih vid sferi Sn 1 za umovi sho isnuye yedina odinichna normal u kozhnij granichnij tochci Opuklist ne obov yazkova Dlya oriyentovanoyi M z odinichnim normalnim vektorom N viznachenim usudi na poverhni oporna funkciya viznachayetsya x x N x displaystyle x mapsto x cdot N x Inshimi slovami dlya bud yakogo x M displaystyle x in M oporna funkciya dorivnyuye vidstani zi znakom do dotichnoyi giperploshini do M v tochci x PrimitkiBerzhe M Geometriya t 1 p 11 8 12 Mir Moskva 1984 Bonnezen T Fenhel V Teoriya vypuklyh tel Fazis Moskva 2002 R J Gardner Geometric tomography Cambridge University Press New York 1995 Second edition 2006 R Schneider Convex bodies the Brunn Minkowski theory Cambridge University Press Cambridge 1993