Опуклий конус

Опуклий конус у лінійній алгебрі — підмножина векторного простору над упорядкованим полем, замкнутим відносно лінійних комбінацій з додатними коефіцієнтами.

Опуклий конус (світло-синій). Усередині нього рожевий замкнутий опуклий конус, що містить усі точки αx + βy з α, β > 0 для виділених точок x і y. Криві у правому верхньому куті символізують нескінченність областей.

Визначення

Підмножина C векторної площини V є опуклим конусом, якщо αx + βy належить C для будь-яких додатних скалярів α, β і будь-яких x, y із C.

Визначення можна записати стисло: «αC + βC = C» для будь-яких додатних чисел α, β.

Поняття має сенс для будь-яких векторних просторів, у яких існує поняття «додатний» скаляр, такі як простір над раціональними, алгебричними або (найчастіше) дійсними числами.

Порожня множина, простір V і будь-який лінійний підпростір простору V (включно із тривіальним підпростором {0}), є опуклими конусами за цим визначенням. Іншими прикладами є множина всіх добутків на додатне число довільного вектора v з V, або додатний ортант простору Rⁿ (множина всіх векторів, які мають додатні координати).

Загальніший приклад — множина всіх векторів λx, таких, що λ додатний скаляр, а x — елемент деякої опуклої підмножини X простору V. Зокрема, якщо V — нормований векторний простір, а X — відкрита (відповідно замкнута) куля у V, яка не містить 0, ця конструкція дає відкритий (відповідно замкнутий) опуклий круговий конус.

Перетин двох опуклих конусів у тому ж векторному просторі знову є опуклим конусом, а об'єднання таким може не бути. Клас опуклих конусів замкнуто відносно будь-яких лінійних відображень. Зокрема, якщо C — опуклий конус, то таким є і його протилежний −C, а C ∩ −C є найбільшим лінійним підпростором, що міститься в C. Такий підпростір називається лезом.

Опуклі конуси і лінійні конуси

Якщо C — опуклий конус, то для будь-якого додатного скаляра α і будь-якого вектора x з C вектор αx = (α/2)x + (α/2)x лежить в C. Звідси випливає, що опуклий конус C є окремим випадком лінійного конуса.

Альтернативні визначення

Зі сказаного вище випливає, що опуклий конус можна визначити як лінійний конус, замкнутий відносно опуклих комбінацій, або просто відносно додавання. Коротше — множина C є опуклим конусом тоді й лише тоді, коли αC = C і C + C = C для будь-якого додатного скаляра α з V.

Слід також зазначити, що фразу «додатні скаляри α, β» у визначенні опуклого конуса можна замінити на «невід'ємні скаляри α, β, не рівні нулю одночасно».

Властивості опуклого конуса

• Перетин будь-якого числа опуклих конусів знову є опуклим конусом. Тим самим опуклі конуси утворюють замкнуте сімейство (за операцією перетину).
• ${\displaystyle \operatorname {pos} (X)}$ — це найменший опуклий конус, що містить дану множину.

Тупі та гострі конуси

За наведеними визначеннями, якщо C є опуклим конусом, то C ∪ {0} теж є опуклим конусом. Кажуть, що опуклий конус гострий або тупий залежно від того, належить йому нульовий вектор 0 чи ні. Іноді вживають терміни загострений і, відповідно, затуплений.

Тупі конуси можна виключити з визначення опуклого конуса, замінивши слова «невід'ємні» на «додатні» в умовах, що накладаються на α, β. Термін «гострий» часто використовують для замкнутих конусів, які не містять повних прямих (тобто нетривіального підпростору навколишнього простору), тобто те, що нижче називається «випнутим»^[] конусом.

Півпростори

Гіперплощина (лінійна) простору V є найбільшим можливим власним лінійним підпростором простору V. Відкритий (відповідно замкнутий) півпростір простору V — це підмножина H простору V, визначена умовою L(x) > 0 (відповідно L(x) ≥ 0), де L — будь-яка лінійна функція з V в його скалярне поле. Гіперплощина, визначена рівнянням L(v) = 0, є обмежувальною гіперплощиною для H.

Півпростори (відкриті або замкнуті) є опуклими конусами. Проте будь-який опуклий конус C, який не є всім простором V, повинен міститися в деякому замкнутому півпросторі H простору V. Фактично топологічно замкнутий опуклий конус є перетином всіх замкнутих півпросторів, що містять його. Аналогічне твердження справедливе для топологічно відкритого опуклого конуса.

Випнуті конуси і досконалі півпростору

Кажуть, що опуклий конус є плоским (іноді — клином), якщо він містить деякий ненульовий вектор x і його протилежний -x, і випнутим в іншому випадку.

Тупий опуклий конус завжди є випнутим, але протилежне не завжди істинне. Опуклий конус C є випнутим в тому і тільки в тому випадку, коли C ∩ −C ⊆ {0}. Тобто тоді і тільки тоді, коли C не містить нетривіального лінійного підпростору V.

Досконалий півпростір простору V визначається рекурсивно таким чином: якщо V має розмірність нуль, то це множина {0}, в іншому випадку це відкритий півпростір H простору V разом з досконалим півпростором обмежувальної гіперплощини для H.

Будь-який досконалий півпростір є випнутим, і, більше того, будь-який випнутий конус міститься у досконалому півпросторі. Іншими словами, досконалі півпростори є найбільшими випнутими конусами (за включенням). Можна показати, що будь-який гострий випнутий конус (незалежно від того, замкнутий він топологічно чи відкритий) є перетином всіх досконалих півпросторів, що включають його.

Переріз і проєкція опуклих множин

Плоский переріз

Афінна гіперплощина простору V — це будь-яка підмножина простору V вигляду v + H, де v — вектор V, а H — (лінійна) гіперплощина.

З властивості включення в півпростори випливає таке твердження. Нехай Q — відкритий півпростір в V і A = H + v, де H — гранична гіперплощина Q, а v — будь-який вектор Q. Нехай C — лінійний конус, що міститься в Q. Тоді C є опуклим конусом в тому і тільки в тому випадку, коли множина C' = C ∩A є опуклою підмножиною гіперплощини A (тобто множиною, замкнутою відносно опуклих комбінацій).

Внаслідок цього результату всі властивості опуклих множин афінного простору мають аналог для опуклих конусів, що містяться у фіксованому відкритому півпросторі.

Сферичний переріз

Якщо дано норму | • | у просторі V, ми визначаємо одиничну сферу у V як множину

${\displaystyle S=\{x\in V\;:\;|x|=1\}.}$

Якщо значення | • | є скалярами у V, лінійний конус C у V — це опуклий конус в тому і тільки в тому випадку, коли його сферичний переріз C' ∩ S (множина його векторів з одиничною нормою) є опуклою підмножиною S в такому сенсі: для будь-яких двох векторів u, v ∈ C' з u ≠ −v всі вектори на найкоротшому шляху від u до v на S лежать в C'.

Двоїстий конус

Нехай C ⊂ V — опуклий конус у дійсному векторному просторі V, що має скалярний добуток. Двоїстий конус до C — це множина

${\displaystyle \{v\in V\;:\;\forall w\in C,\langle w,v\rangle \geq 0\}.}$

Він теж є опуклим конусом. Якщо C збігається зі своїм двоїстим, C називають самодвоїстим.

Інше часте визначення двоїстого конуса C ⊂ V — це конус C* у спряженому просторі V*:

${\displaystyle C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\;:\;\forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.}$

Іншими словами, якщо V* — спряжений простір простору V, то двоїстий конус — це множина лінійних функцій, невід'ємних на конусі C. Якщо ми приймемо, що V* — неперервний спряжений простір, то це множина неперервних лінійних функцій, невід'ємних на C. Таке визначення не вимагає наявності скалярного добутку в просторі V.

У скінченновимірних просторах обидва визначення двоїстого конуса, по суті, еквівалентні, оскільки будь-який скалярний добуток утворює лінійний ізоморфізм (невироджене лінійне відображення) з V* у V, і цей ізоморфізм переводить двоїстий конус (у V*) з другого визначення у двоїстий конус з першого визначення.

Частковий порядок, визначений опуклим конусом

Гострий випнутий опуклий конус C породжує частковий порядок «≤» на V, визначуваний так, що x≤y тоді і тільки тоді, коли y − x ∈ C. (Якщо конус плоский, те саме визначення дає просто передпорядок.) Суми і множення на додатний скаляр істинної нерівності відносно цього порядку знову дають істинні нерівності. Векторний простір з таким порядком називають ^[en]. Конус

${\displaystyle P=\left\{x:x\in V,x\geq 0\right\}.}$

називають додатним конусом.

Прикладами є ^[en] на дійсних векторах (Rⁿ) і порядок Левнера.

Власний опуклий конус

Термін власний (опуклий) конус визначається залежно від контексту. Він часто означає випнутий опуклий конус, що не містить якої-небудь гіперплощини простору V, можливо, з накладенням інших обмежень, таких як, наприклад, топологічна замкнутість (внаслідок чого конус буде гострим), або топологічна відкритість (конус буде тупим). Деякі автори використовують термін «клин» для поняття, яке в цій статті означає опуклий конус, і під терміном «конус» розуміється те, що в статті називається випнутим гострим конусом, або те, що щойно було названо власним опуклим конусом.

Приклади опуклих конусів

• Якщо задано замкнену опуклу підмножину K гільбертового простору V, нормальний конус для множини K з точки x у K задається формулою

${\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \geq 0\right\}.}$

• Якщо задано замкнену опуклу підмножину K простору V, ^[en] до множини K з точки x задається формулою

• Якщо задано замкнену опуклу підмножину K гільбертового простору V, нормальний зовнішній конус до множини K з точки x в K задається формулою

${\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \leqslant 0\right\}.}$

• Якщо задано замкнену опуклу підмножину K гільбертового простору V, дотичний конус до множини K в точці x із K можна визначити як ^[en] до зовнішнього нормального конуса ${\displaystyle N_{K}(x)}$:

${\displaystyle T_{K}(x)=N_{K}^{*}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\{y\in V|\forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}}$

Нормальні і дотичні конуси замкнуті і опуклі. Вони є важливими концепціями в галузі опуклого програмування, ^[en] .

Див. також

• Конус (топологія)
• Лема Фаркаша
• Теорема Вейля — Мінковського
• ^[en]

Пов'язані комбінації

• Афінна комбінація
• Опукла комбінація
• Лінійна комбінація

Примітки

1. Рокафеллар, 1973, с. 30.
2. Рокафеллар, 1973, с. 32.
3. Красносельський, Ліфшиць, Соболєв, 1985, с. 9.
4. Бурбакі, 1959, с. 30.
5. Зоркальцев, Кисельова, 2007.
6. Едвардс, 1969, с. 194.
7. Столфі, 1991, с. 139.
8. Кутателадзе, 2009, с. 1127.
9. Добутковий порядок — це породжений порядок на прямому добутку частково впорядкованих множин. Докладніше див. у книзі Стенлі, 1990
10. Визначення порядку Левнера можна знайти в книзі Маршалл, Олкін, 1983
11. Шефер, 1971, с. 258.
12. Панагінотопулос, 1989, с. 171.
13. Панагінотопулос, 1989, с. 62.
14. Рокафеллар, 1973, с. 138.
15. Лейхтвейс, 1985, с. 54.

Посилання

• Nicolas Bourbaki. Topological vector spaces. — Berlin, New York : , 1987. — (Elements of mathematics) — .
  • (рос.) Н. Бурбаки. Топологические векторные пространства. — Москва: Издательство иностранной литературы, 1959. — (Элементы математики)
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore : Cambridge University Press, 2004. — С. 51. — ISBN 78-0-521-83378-3.

• Н. Бурбаки. Топологические векторные пространства. — Москва : Издательство иностранной литературы, 1959. — (Элементы математики)

• R. T. Rockafellar. Convex analysis. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1970.

• • (рос.) Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. — Москва : «Мир», 1973.

• C. Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ, : World Scientific Publishing  Co., Inc, 2002. — С. xx+367. — .
• В. И. Зоркальцев, М. А. Киселева. Системы линейных неравенств (учебное пособие). — Иркутск : ИГУ, 2007. — С. 21 Глава 1.5 Конусы.
• М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. ПОЗИТИВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ – Метод положительных операторов. — «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — (Теория и методы системного анализа)
• Stolfi. Oriented Projective Geometry: A Framework for Geometric Computations. — San Diego, London : Academic Press, Inc, 1991. — .
• Moreau J. J. Чисельного aspects of the sweeping process. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 177 (1999) 329—349
• А. Маршалл, И. Олкин. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. — М. : «Мир», 1983.
• Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика. — М. : «Мир», 1990. — -2.
• П. Панагинотопулос. Неравенства в механике и их приложения: Выпуклые и невыпуклые функции энергии. — М. : «Мир», 1989. — .
• К. Лейхтвейс. Выпуклые множества. — Москва : «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — .
• Панина Г.Ю. Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию. — Дубна, 2009. — 18 червня.
• Р. Эдвардс. Функциональный анализ: теория и приложения. — М. : «Мир», 1969.
• Х. Шефер. Топологические векторные пространства. — М. : «Мир», 1971.
• С. С. Кутателадзе. Многоцелевые задачи выпуклой геометрии // Сибирский математический журнал. — «Мир», 2009. — Т. 50, вип. 5 (18 червня).