Відстань Гаусдорфа — відстань, визначена на всіх замкнених обмежених підмножинах метричного простору. Таким чином, відстань Гаусдорфа перетворює множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору в метричний простір.
Мабуть, перша згадка цієї відстані міститься в книзі Гаусдорфа «Теорія множин», перше видання 1914 року. Двома роками пізніше, та ж відстань описується в книзі (Бляшке) «Коло і куля», можливо незалежно, тому що не містить посилання на книгу Гаусдорфа.
Означення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekl4TDBoaGRYTmtiM0ptWmw5a2FYTjBZVzVqWlY5ellXMXdiR1V1YzNabkx6STFNSEI0TFVoaGRYTmtiM0ptWmw5a2FYTjBZVzVqWlY5ellXMXdiR1V1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Нехай і
дві замкнені обмежені підмножини метричного простору
тоді відстань за Гаусдорфом,
, між
та
є найменше число
таке, що замкнутий
-окіл
містить
і також замкнутий
-окіл
містить
.
Іншими словами, якщо позначає відстань між точками
та
в
, то
Властивості
Нехай позначає множину всіх непорожніх компактних підмножин метричного простору
з відстанню Гаусдорфа:
- Топологія простору
повністю визначається топологією
.
- (Теорема Бляшке)
компактна тоді і тільки тоді, коли компактний
.
повна тоді і тільки тоді, коли
повний.
Варіації і узагальнення
- Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх замкнутих підмножин метричного простору, в цьому випадку відстань між деякими підмножинами може дорівнювати нескінченності.
- Іноді відстань Гаусдорфа розглядається на множині всіх підмножин метричного простору. У цьому випадку вона є тільки псевдовідстанню і не є відстанню, так як «відстань» між різними підмножинами може дорівнювати нулю.
- В евклідовій геометрії, часто застосовується відстань Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Нехай
та
— дві компактні підмножини евклідового простору, тоді
визначається як мінімум
за всіма рухами евклідового простору
. Строго кажучи, це відстань на просторі класів конгруентності компактних підмножин евклідового простору.
- (Відстань Громова — Гаусдорфа) аналогічна відстані Гаусдорфа з точністю до конгруентності. Вона перетворює множину (ізометричних класів) компактних метричних просторів у метричний простір.
Примітки
- (Бляшке), , М.: Наука, 1967
- Скворцов В. А. Примеры метрических пространств [ 10 серпня 2011 у Wayback Machine.] // Библиотека «Математическое просвещение» [ 12 січня 2014 у Wayback Machine.]. — 2001. — Выпуск 9.
- Хаусдорф «Теория множеств»
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет