Метрика або функція відстані в математиці, — це функція, яка визначає відстань між кожною парою елементів множини. Множина з метрикою називається метричним простором. Метрика індукує топологію на множині, але не всі топології можуть бути породжені метрикою.Топологічний простір, чия топологія описана метрикою називається метризовним.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHdMekE0TDAxaGJtaGhkSFJoYmw5a2FYTjBZVzVqWlM1emRtY3ZNakF3Y0hndFRXRnVhR0YwZEdGdVgyUnBjM1JoYm1ObExuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Важливим джерелом метрик в диференціальній геометрії є метричний тензор, білінійні форми, якого можуть бути визначені як скаляр на дотичних векторах на диференційовному многовиді. За допомогою метричного тензору через інтегрування можна визначити довжину кривих і тим самим задати метрику. Однак, не кожну метрику можна отримати з метричного тензору у такій спосіб.
Визначення
Метрика множині X — це функція (називають функція відстані або просто відстань)
,
де — множина невід'ємних дійсних чисел і для всіх
, виконуються наступні умови:
1. не від'ємність 2. тотожність 3. симетричність 4. субадитивність або нерівність трикутника
Умови 1 та 2 визначають додатньо-визначену функцію. Метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє більш сильному варіанту нерівності трикутника, коли немає точок між іншими точками:
для всіх
Метрика d на X називається внутрішньою метрикою, якщо будь-яку пару точок x та y в X можна з'єднати кривою з довжиною довільно близькою до d(x, y).
Для множин, на яких визначено додавання + : X × X → X, d називають трансляційною інваріантною метрикою, якщо
для всіх .
Див. також
![]() | Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Metric (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (грудень 2018)
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metrika abo funkciya vidstani v matematici ce funkciya yaka viznachaye vidstan mizh kozhnoyu paroyu elementiv mnozhini Mnozhina z metrikoyu nazivayetsya metrichnim prostorom Metrika indukuye topologiyu na mnozhini ale ne vsi topologiyi mozhut buti porodzheni metrikoyu Topologichnij prostir chiya topologiya opisana metrikoyu nazivayetsya metrizovnim Ilyustraciya porivnyannya manhettenskoyi metriki z evklidovoyu metrikoyu na ploshini shlyahi chervonij zhovtij i sinij mayut odnakovu dovzhinu 12 u manhettenskij metrici A v evklidovij metrici zelenij shlyah maye dovzhinu 6 2 8 49 displaystyle 6 sqrt 2 approx 8 49 i ce yedinij najkorotshij shlyah Vazhlivim dzherelom metrik v diferencialnij geometriyi ye metrichnij tenzor bilinijni formi yakogo mozhut buti viznacheni yak skalyar na dotichnih vektorah na diferencijovnomu mnogovidi Za dopomogoyu metrichnogo tenzoru cherez integruvannya mozhna viznachiti dovzhinu krivih i tim samim zadati metriku Odnak ne kozhnu metriku mozhna otrimati z metrichnogo tenzoru u takij sposib ViznachennyaMetrika mnozhini X ce funkciya nazivayut funkciya vidstani abo prosto vidstan d X X 0 displaystyle d X times X to 0 infty de 0 displaystyle 0 infty mnozhina nevid yemnih dijsnih chisel i dlya vsih x y z X displaystyle x y z in X vikonuyutsya nastupni umovi 1 d x y 0 displaystyle d x y geqslant 0 ne vid yemnist 2 d x y 0 x y displaystyle d x y 0 Leftrightarrow x y totozhnist 3 d x y d y x displaystyle d x y d y x simetrichnist 4 d x z d x y d y z displaystyle d x z leqslant d x y d y z subaditivnist abo nerivnist trikutnika Umovi 1 ta 2 viznachayut dodatno viznachenu funkciyu Metrika nazivayetsya ultrametrikoyu yaksho vona zadovolnyaye bilsh silnomu variantu nerivnosti trikutnika koli nemaye tochok mizh inshimi tochkami d x z max d x y d y z displaystyle d x z leqslant max d x y d y z dlya vsih x y z X displaystyle x y z in X Metrika d na X nazivayetsya vnutrishnoyu metrikoyu yaksho bud yaku paru tochok x ta y v X mozhna z yednati krivoyu z dovzhinoyu dovilno blizkoyu do d x y Dlya mnozhin na yakih viznacheno dodavannya X X X d nazivayut translyacijnoyu invariantnoyu metrikoyu yaksho d x y d x a y a displaystyle d x y d x a y a dlya vsih x y a X displaystyle x y a in X Div takozhPovnij metrichnij prostir Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Metric mathematics angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi gruden 2018 Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad